高三数学总复习学案2

1、学案学案 2命题及其关系、充分条件与必要条件命题及其关系、充分条件与必要条件 导学目标：导学目标： 1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系. 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义 自主梳理自主梳理 1命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫 做真命题，判断为假的语句叫做假命题 2四种命题及其关系 (1)四种命题 一般地， 用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论， 用綈 p 和綈 q 分别表示 p 和 q 的否定， 于是四种命题的形式就是 原命题：若 p 则 q(pq)； 逆命题：若 q 则 p(qp)； 否命题

2、：若綈 p 则綈 q(綈 p綈 q)； 逆否命题：若綈 q 则綈 p(綈 q綈 p) (2)四种命题间的关系 (3)四种命题的真假性 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性 两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系 3充分条件与必要条件 若 pq，则 p 叫做 q 的充分条件；若 qp，则 p 叫做 q 的必要条件；如果 pq，则 p 叫做 q 的充要条件 自我检测自我检测 1(2010湖南)下列命题中的假命题是() AxR，lg x0 BxR，tan x1 CxR，x30 DxR,2x0 答案C 解析对于 C 选项，当 x0 时，030，因此xR，x30 是假命题 2(2010陕西)

3、“a0”是“|a|0”的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案A 解析a0|a|0，|a|0a0，“a0”是“|a|0”的充分不必要条件 3(2009浙江)“x0”是“x0”的() A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案A 解析对于“x0”“x0” ，反之不一定成立，因此“x0”是“x0”的充分而不必要条 件 4若命题 p 的否命题为 r，命题 r 的逆命题为 s，则 s 是 p 的逆命题 t 的() A逆否命题 B逆命题 C否命题 D原命题 答案C 解析由四种命题逆否关系知，s 是 p 的逆命题 t 的

4、否命题 5(2011宜昌模拟)与命题“若 aM，则 bM”等价的命题是() A若 aM，则 bM B若 bM，则 aM C若 aM，则 bM D若 bM，则 aM 答案D 解析因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可 探究点一四种命题及其相互关系 例 1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假 (1)实数的平方是非负数； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧 解题导引给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判 断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定 解(

5、1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数真命题 否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数真命题 逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数真命题 (2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高真命题 否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等真命题 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高假命题 (3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分 线真命题 否命题 ： 若一条直线不是弦的垂直平分线， 则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧 真 命题 逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条

6、直线不是弦的垂直平分 线真命题 变式迁移 1有下列四个命题： “若 xy0，则 x，y 互为相反数”的逆命题； “全等三角形的面积相等”的否命题； “若 q1，则 x22xq0 有实根”的逆否命题； “不等边三角形的三个内角相等”的逆命题 其中真命题的序号为_ 答案 解析的逆命题是“若 x，y 互为相反数，则 xy0” ，真；的否命题是“不全等 的三角形的面积不相等” ，假；若 q1，则 44q0，所以 x22xq0 有实根，其 逆否命题与原命题是等价命题，真； 的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形” ，假 探究点二充要条件的判断 例 2 给出下列命题，试分别指出 p 是 q 的什么

7、条件 (1)p：x20；q：(x2)(x3)0. (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等 (3)p：m2；q：方程 x2xm0 无实根 (4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等 解(1)x20(x2)(x3)0； 而(x2)(x3)0 x20. p 是 q 的充分不必要条件 (2)两个三角形相似两个三角形全等； 但两个三角形全等两个三角形相似 p 是 q 的必要不充分条件 (3)m2方程 x2xm0 无实根； 方程 x2xm0 无实根m2. p 是 q 的充分不必要条件 (4)矩形的对角线相等，pq； 而对角线相等的四边形不一定是矩形，qp. p 是 q 的充分不必要条件 变式

8、迁移 2(2011邯郸月考)下列各小题中，p 是 q 的充要条件的是() p：m6；q：yx2mxm3 有两个不同的零点； p：1；q：yf(x)是偶函数； fx fx p：cos cos ；q：tan tan ； p：ABA；q：UBUA. A B C D 答案D 解析q：yx2mxm3 有两个不同的零点q：m24(m3)0q：m6p；当 f(x)0 时，由 qp；若 ，k ，kZ 时，显然 cos cos ，但 2 tan tan ；p：ABAp：ABq：UAUB.故符合题意 探究点三充要条件的证明 例 3 设 a，b，c 为ABC 的三边，求证：方程 x22axb20 与 x22cxb2

9、0 有公 共根的充要条件是A90. 解题导引有关充要条件的证明问题， 要分清哪个是条件， 哪个是结论， 由 “条件” “结 论” 是证明命题的充分性，由“结论” “条件” 是证明命题的必要性证明要分两个环节： 一是充分性；二是必要性 证明(1)必要性：设方程 x22axb20 与 x22cxb20 有公共根 x0， 则 x 2ax0b20，x 2cx0b20， 2 02 0 两式相减可得 x0，将此式代入 x 2ax0b20， b2 ca 2 0 可得 b2c2a2，故A90， (2)充分性：A90， b2c2a2，b2a2c2. 将代入方程 x22axb20， 可得 x22axa2c20，

10、即(xac)(xac)0. 将代入方程 x22cxb20， 可得 x22cxc2a20，即(xca)(xca)0. 故两方程有公共根 x(ac) 所以方程 x22axb20 与 x22cxb20 有公共根的充要条件是A90. 变式迁移 3已知 ab0，求证：ab1 的充要条件是 a3b3aba2b20. 证明(1)必要性：ab1，ab10. a3b3aba2b2 (ab)(a2abb2)(a2abb2) (ab1)(a2abb2)0. (2)充分性： a3b3aba2b20， 即(ab1)(a2abb2)0. 又 ab0，a0 且 b0. a2abb2(a )2 b20. b 2 3 4 ab

11、10，即 ab1. 综上可知，当 ab0 时，ab1 的充要条件是 a3b3aba2b20. 转化与化归思想的应用 例 (12 分)已知两个关于 x 的一元二次方程 mx24x40 和 x24mx4m24m5 0，且 mZ.求两方程的根都是整数的充要条件 【答题模板】【答题模板】 解mx24x40 是一元二次方程， m0. 2 分 另一方程为 x24mx4m24m50，两方程都要有实根， Error! 解得 m ，1 6 分 5 4 两根为整数，故和与积也为整数， Error!，m 为 4 的约数， 8 分 m1 或 1，当 m1 时， 第一个方程 x24x40 的根为非整数， 而当 m1 时

12、，两方程均为整数根， 两方程的根均为整数的充要条件是 m1. 12 分 【突破思维障碍】【突破思维障碍】 本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决， 两方程有实根易想 0.求出 m 的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与 两根之积都是整数 【易错点剖析】【易错点剖析】 易忽略一元二次方程这个条件隐含着 m0， 不易把方程的根都是整数转化为两根之和与 两根之积都是整数 1研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果，那 么”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同 的真假性 2在解决充分条件、必要条件

13、等问题时，要给出 p 与 q 是否可以相互推出的两次判断， 同时还要弄清是 p 对 q 而言，还是 q 对 p 而言还要分清否命题与命题的否定的区别 3本节体现了转化与化归的数学思想 (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1(2010天津模拟)给出以下四个命题： 若 ab0，则 a0 或 b0；若 ab，则 am2bm2；在ABC 中，若 sin Asin B，则 AB；在一元二次方程 ax2bxc0 中，若 b24ac0，则方程有实数根其中 原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是() A B C D 答案C 解析对命题，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否

14、命题为假 ； 对命题，其原 命题和逆否命题为假，但逆命题和否命题为真 ； 对命题，其原命题、逆命题、否命题、逆 否命题全部为真；对命题，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假 2(2010浙江)设 0x ，则“xsin2x1”是“xsin x1”的() 2 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案B 解析0x ，0sin x1. 2 xsin x1xsin2x1，而 xsin2x1xsin x1. 故选 B. 3(2009北京)“ 2k(kZ)”是“cos 2 ”的() 6 1 2 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充

15、分也不必要条件 答案A 解析由 2k(kZ)可得到 cos 2 . 6 1 2 由 cos 2 得 22k (kZ) 1 2 3 k (kZ) 6 所以 cos 2 不一定得到 2k(kZ) 1 2 6 4(2011威海模拟)关于命题“若抛物线 yax2bxc 的开口向下，则x|ax2bx c0”的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是() A都真 B都假 C否命题真 D逆否命题真 答案D 解析本题考查四种命题之间的关系及真假判断 对于原命题：“若抛物线 yax2bxc 的开口向下，则x|ax2bxc0” ，这是一 个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若x|ax2bxc0，则

16、抛物线 yax2bxc 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式 ax2bxc0，即抛物线的开口可以向上因此否命题也是假命题 5(2011枣庄模拟)集合 Ax|x|4，xR，Bx|x5”的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案B 解析Ax|4x4，若 AB，则 a4，a4a5，但 a5a4.故选 B. 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6“x10 且 x20”是“x1x20 且 x1x20”的_条件 答案充要 7(2011惠州模拟)已知 p：(x1)(y2)0，q：(x1)2(y2)20，则 p 是 q 的 _条件 答案必要不充分 解析由(x

17、1)(y2)0 得 x1 或 y2，由(x1)2(y2)2 0 得 x1 且 y2，所 以由 q 能推出 p，由 p 推不出 q, 所以填必要不充分条件 8已知 p(x)：x22xm0，如果 p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数 m 的取值范围 为_ 答案3,8) 解析因为 p(1)是假命题，所以 12m0， 解得 m3；又因为 p(2)是真命题，所以 44m0， 解得 m8.故实数 m 的取值范围是 3m8. 三、解答题(共 38 分) 9(12 分)(2011许昌月考)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它 们的真假 (1)若 q1，则方程 x22xq0 有实根； (2

18、)若 ab0，则 a0 或 b0； (3)若 x2y20，则 x、y 全为零 解(1)逆命题：若方程 x22xq0 有实根，则 q1，为假命题 否命题：若 q1，则方程 x22xq0 无实根，为假命题 逆否命题：若方程 x22xq0 无实根，则 q1，为真命题(4 分) (2)逆命题：若 a0 或 b0，则 ab0，为真命题 否命题：若 ab0，则 a0 且 b0，为真命题 逆否命题：若 a0 且 b0，则 ab0，为真命题(8 分) (3)逆命题：若 x、y 全为零，则 x2y20，为真命题 否命题：若 x2y20，则 x、y 不全为零，为真命题 逆否命题：若 x、y 不全为零，则 x2y20，为真命题(12 分) 10(12 分)设 p：实数 x 满足 x24ax