高考数学专题复习练习第七章立体几何章末质量检测

1、(时间 120 分钟，满分 150 分) 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.(2010株州模拟)已知某空间几何体的主视图、侧视图、俯视图均为如图 所 已知某空间几何体的主视图、侧视图、俯视图均为如图 所 示的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为示的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为 1，那么这个几何体，那么这个几何体 的表面积为的表面积为 () A.B. 2 2 3 2 2 C. D. 3 2 3 3 2

2、 解析：解析：根据三视图可以画出该几何体的直观图如图所示，CD 垂直于等腰 直角三角形 ABC 所在平面，于是，易得 SS ABCSACDSCBD 1 2 . 1 2 3 2 1 2 3 3 2 答案：答案：D 2设设 ， 是三个互不重合的平面，是三个互不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是 () A若若 ，则，则 B若若 ，m ，m，则，则 m C若若 ，m，则，则 m D若若 m，n，则，则 mn 解析：解析：A 中 与 可以平行，C 中可能有 m，D 中 m 与 i 可以平行 答案：答案：B 3已知两条不同直线已知两条不同直

3、线 l1和和 l2及平面及平面 ，则直线，则直线 l1l2的一个充分条件是的一个充分条件是 () Al1 且且 l2Bl1 且且 l2 Cl1 且且 l2 Dl1 且且 l2 解析：解析：根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行可知 B 为 l1l2的一个充分条件 答案：答案：B 4若平面若平面 ，满足，满足 ，l，P，P l，则下列命题中的假命题为，则下列命题中的假命题为() A过点过点 P 垂直于平面垂直于平面 的直线平行于平面的直线平行于平面 B过点过点 P 在平面在平面 内作垂直于内作垂直于 l 的直线必垂直于平面的直线必垂直于平面 C过点过点 P 垂直于平面垂直于平面 的直线在平面的直

4、线在平面 内内 D过点过点 P 垂直于直线垂直于直线 l 的直线在平面的直线在平面 内内 解析：解析：根据面面垂直的性质定理，有选项 B、C 正确对于 A，由于过点 P 垂直于平面 的直线必平行于 内垂直于交线的直线，因此平行于平面 .因此 A 正确 答案：答案：D 5如图，在正方体如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，中，P 为棱为棱 DC 的中点，则的中点，则 D1P 与与 BC1所在直线所所在直线所 成角的余弦值等于成角的余弦值等于 () A. B. 4 5 10 5 C. D. 1 2 5 10 解析：解析：过 C1作 D1P 的平行线交 DC 的延长线于点 F，连结 BF， 则

5、BC1F 或其补角等于异面直线 D1P 与 BC1所成的角设正方 体的棱长为 1，由 P 为棱 DC 的中点，则易得 BC1，2 C1F ，BF .12 1 2 2 5 2 12 1 2 2 5 2 在BC1F 中，cosBC1F. 2 2 5 2 2 5 2 2 2 2 5 2 10 5 答案：答案：B 6.理理如图，在正三棱柱如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，已知中，已知 AB1，D 在棱在棱 BB1 上，且上，且 BD1，则，则 AD 与平面与平面 AA1C1C 所成角的正弦值为所成角的正弦值为() A. B. 6 4 3 4 C. D. 6 2 7 2 解析 ：解析 ： 如图，取

6、 C1A1、CA 的中点 E、F，连接 B1E 与 BF，则 B1E 平面 CAA1C1，过 D 作 DHB1E，则 DH平面 CAA1C1，连接 AH， 则DAH 为所求的角，又 DHB1E，DA，所以 sinDAH 3 2 2 . DH DA 6 4 答案：答案：A 文文如右图所示，在立体图形如右图所示，在立体图形 DABC 中，若中，若 ABBC，ADCD，E 是是 AC 的中点，则下列命题中正确的是的中点，则下列命题中正确的是 () A平面平面 ABC平面平面 ABD B平面平面 ABD平面平面 BDC C平面平面 ABC平面平面 BDE，且平面，且平面 ADC平面平面 BDE D平面

7、平面 ABC平面平面 ADC，且平面，且平面 ADC平面平面 BDE 解析：解析：BEAC，DEACAC平面 BDE，故平面 ABC平面 BDE，平面 ADC 平面 BDE. 答案：答案：C 7已知直线已知直线 m、n 及平面及平面 ，其中，其中 mn，那么在平面，那么在平面 内到两条直线内到两条直线 m、n 距离相等距离相等 的点的集合可能是 ：的点的集合可能是 ： (1)一条直线 ；一条直线 ； (2)一个平面 ；一个平面 ； (3)一个点 ；一个点 ； (4)空集其中正确的是空集其中正确的是() A(1)(2)(3) B(1)(4) C(1)(2)(4) D(2)(4) 解析：解析：如图

8、 1，当直线 m 或直线 n 在平面 内时不可能有符合题意的点；如图 2，直线 m、n 到已知平面 的距离相等且两直线所在平面与已知平面 垂直，则已知平面 为 符合题意的点；如图 3，直线 m、n 所在平面与已知平面 平行，则符合题意的点为一 条直线，从而选 C. 答案：答案：C 8设有如下三个命题：设有如下三个命题： 甲：相交直线甲：相交直线 l、m 都在平面都在平面 内，并且都不在平面内，并且都不在平面 内；内； 乙：直线乙：直线 l、m 中至少有一条与平面中至少有一条与平面 相交；相交； 丙：平面丙：平面 与平面与平面 相交相交 当甲成立时当甲成立时 () A乙是丙的充分而不必要条件乙是

9、丙的充分而不必要条件 B乙是丙的必要而不充分条件乙是丙的必要而不充分条件 C乙是丙的充分且必要条件乙是丙的充分且必要条件 D乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 解析：解析：当甲成立，即“相交直线 l、m 都在平面 内，并且都不在平面 内”时，若 “l、m 中至少有一条与平面 相交” ，则“平面 与平面 相交”成立；若“平面 与平面 相交” ，则“l、m 中至少有一条与平面 相交”也成立，故选 C. 答案：答案：C 二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 35 分请把正确答案填在题中横线上分请把正确答案填在

10、题中横线上) 9.用一些棱长是用一些棱长是 1 cm 的小正方体堆放成一个几何体，其正视图和俯视图如图所示，则这的小正方体堆放成一个几何体，其正视图和俯视图如图所示，则这 个几何体的体积最多是个几何体的体积最多是_ 解析：解析：由正视图与俯视图可知小正方体最多有 7 块，故体积最多为 7 cm3. 答案：答案：7 cm3 10过平行六面体过平行六面体 ABCDA1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面任意两条棱的中点作直线，其中与平面 DBB1D1 平行的直线共有平行的直线共有_条条 解析：解析：如图，P、E、F、H 分别为 AD、AB、A1B1、A1D1的中点，则平面 PEFH 平面

11、 DBB1D1，所以四边形 PEFH 的任意两顶点的连线都平行 于平面 DBB1D1， 共 6 条，同理在另一侧面也有 6 条，共 12 条 答案：答案：12 11(2010湘潭模拟)已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为 4、4、7，若，若 此三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积是此三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积是_ 解析：解析：补成长方体易求 4R281， S4R281. 答案：答案：81 12(2009辽宁高考)设某几何体的三视图如下设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为尺寸的长度单位为 m) 则该几何

12、体的体积为则该几何体的体积为_m3. 解析：解析：由三视图可知原几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为 2，底面三角形的一 边长为 4，且该边上的高为 3， 故所求三棱锥的体积为 V 2 344 m3， 1 3 1 2 答案：答案：4 13理理如图，如图，AD平面平面 BCD，BCD90，ADBCCDa，则二面角，则二面角 CAB D 的大小为的大小为_ 解析：解析：取 BD 的中点 E，连结 CE，则 CE面 ABD，作 EFAB， CFAB 得CFE 为所求 又 CEa，CF， 2 2 6a 3 sinCFE. CE CF 3 2 答案：答案：60 文文如图，正方体如图，正方体 ABCDA1B

13、1C1D1中，中，MA1B，NB1C，A1M B1N，有以下四个结论：，有以下四个结论： A1AMN； ACMN； MN 与平面与平面 ABCD 成成 0角；角； MN 与与 AC 是异面直线是异面直线 其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是_ 解析：解析：易知正确 答案：答案： 14母线长为母线长为 1 的圆锥的侧面展开图的圆心角等于的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 ，则该圆锥的体积为，则该圆锥的体积为_ 4 3 解析：解析：圆锥的侧面展开图扇形的弧长，即底面圆的周长为 1 ，于是设底面圆 4 3 4 3 的半径为 r， 则有 2r ，所以 r ， 4 3 2 3 于是圆锥的高为 h，1 2

14、 3 2 5 3 故圆锥的体积为 V. 4 5 81 答案：答案： 4 5 18 15(2010永州模拟)棱长为棱长为 a 的正方体的正方体 ABCDA1B1C1D1的的 8 个顶点都在球个顶点都在球 O 的表面 上， 的表面 上， E、F 分别是棱分别是棱 AA1、DD1的中点，则直线的中点，则直线 EF 被球被球 O 截得的线段长为截得的线段长为_ 解析 ：解析 ： 因为正方体内接于球，所以 2R，Ra，过球心 O 和点 E、Fa2a2a2 3 2 的大圆的截面图如图所示，则直线被球截得的线段为 QR，过点 O 作 OPQR 于点 P， 所以，在 QPO 中，QR2QP2 a. 3 2 a

15、 2 1 2 a 2 2 答案：答案：a2 三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 75 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤) 16(本小题满分本小题满分 12 分分)(2010岳阳模拟)如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视 图、侧视图图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸 如图所示如图所示) (1)求四棱锥求四棱锥 PABCD 的体积；的体积； (2)证明：证明：

16、BD平面平面 PEC； (3)若若 G 为为 BC 上的动点，求证：上的动点，求证：AEPG. 解：解：(1)由几何体的三视图可知，底面 ABCD 是边长为 4 的正方 形， PA平面 ABCD，PAEB，且 PA4，BE2，ABAD22 CDCB4， VPABCD PASABCD 444. 1 3 1 3 2 64 2 3 (2)证明：连结 AC 交 BD 于 O 点， 取 PC 中点 F，连结 OF， EBPA，且 EB PA， 1 2 又 OFPA，且 OF PA， 1 2 EBOF，且 EBOF， 四边形 EBOF 为平行四边形， EFBD. 又 EF平面 PEC，BD 平面 PEC，

17、所以 BD平面 PEC. (3)连结 BP，EBABAP90， EB AB BA PA 1 2 EBABAP，PBABEA， PBABAEBEABAE90， PBAE. 又BC平面 APEB，BCAE， AE平面 PBG，AEPG. 17(本小题满分本小题满分 12 分分)已知直角梯形已知直角梯形 ABCD 中，中，ABCD，ABBC，AB1，BC 2，CD1，过，过 A 作作 AECD，垂足为，垂足为 E，G、F 分别为分别为 AD、CE 的中的中3 点，现将点，现将ADE 沿沿 AE 折叠，使折叠，使 DEEC. (1)求证：求证：BC平面平面 CDE； (2)求证：求证：FG平面平面 B

18、CD； (3)求四棱锥求四棱锥 DABCE 的体积的体积 解：解：(1)证明：由已知得： DEAE，DEEC，DE平面 ABCE. DEBC.又 BCCE，CEDEE， BC平面 DCE. (2)证明：取 AB 中点 H，连结 GH，FH， GHBD，FHBC， GH平面 BCD，FH平面 BCD. 又 GHFHH， 平面 FHG平面 BCD， FG平面 BCD(由线线平行证明亦可) (3)V 12. 1 3 3 2 3 3 18(本小题满分本小题满分 12 分分)(2010常德模拟)如图，如图，PA 垂直于矩形垂直于矩形 ABCD 所在的平面，所在的平面，AD PA2，CD2，E、F 分别是

19、分别是 AB、PD 的中点的中点2 (1)求证：求证：AF平面平面 PCE； (2)求证：平面求证：平面 PCE平面平面 PCD； (3)求四面体求四面体 PEFC 的体积的体积 解：解：(1)证明：设 G 为 PC 的中点，连结 FG，EG， F 为 PD 的中点，E 为 AB 的中点， FG 綊 CD，AE 綊 CD 1 2 1 2 FG 綊 AE，AFGE GE平面 PEC，AF平面 PCE； (2)证明：PAAD2，AFPD 又PA平面 ABCD，CD平面 ABCD， PACD，ADCD，PAADA， CD平面 PAD， AF平面 PAD，AFCD. PDCDD，AF平面 PCD， G

20、E平面 PCD， GE平面 PEC， 平面 PCE平面 PCD； (3)由(2)知，GE平面 PCD， 所以 EG 为四面体 PEFC 的高， 又 GFCD，所以 GFPD， EGAF，GF CD，2 1 2 2 S PCF PDGF2. 1 2 得四面体 PEFC 的体积 V S PCFEG . 1 3 2 2 3 19(本小题满分本小题满分 13 分分)如图所示，四棱锥如图所示，四棱锥 PABCD 中，中，ABAD，ADDC，PA底底 面面 ABCD，PAADDC AB1，M 为为 PC 的中点，的中点，N 点在点在 AB 上且上且 AN NB. 1 2 1 3 (1)证明：证明：MN平面

21、平面 PAD； (2)求直线求直线 MN 与平面与平面 PCB 所成的角所成的角 解：解：(1)证明：过 M 作 MECD 交 PD 于 E， 连接 AE. AN NB， 1 3 AN AB DCEM. 1 4 1 2 又 EMDCAB，EM 綊 AN， AEMN 为平行四边形， MNAE，又 AE平面 PAD，MN 平面 PAD， MN平面 PAD. (2)过 N 点作 NQAP 交 BP 于点 Q，NFCB 交 CB 于点 F， 连接 QF，过 N 点作 NHQF 交 QF 于 H，连接 MH. 易知 QN平面 ABCD，QNBC，而 NFBC， BC平面 QNF， BCNH，而 NHQF

22、，NH平面 PBC， NMH 为直线 MN 与平面 PCB 所成的角 通过计算可得 MNAE，QN ，NF， 2 2 3 4 3 4 2 NH， QNNF QF QNNF QN2NF2 6 4 sinNMH，NMH60. NH MN 3 2 直线 MN 与平面 PCB 所成的角为 60. 20.(本小题满分本小题满分 13 分分)(2010长沙模拟)如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，中，ACBCCC12，ACBC，D 为为 AB 的中点的中点 (1)求证：求证：AC1平面平面 B1CD； (2)求二面角求二面角 BB1CD 的正弦值的正弦值 解：解：(1)证明：如图，

23、连接 BC1交 B1C 于点 E， 则 E 为 BC1的中点 D 为 AB 的中点，在ABC1中，AC1DE 又 AC1 平面 B1CD，DE平面 B1CD， AC1平面 B1CD (2)ACBC，D 为 AB 的中点， CDAB.又平面 ABC平面 ABB1A1， CD平面 ABB1A1. 平面 B1CD平面 B1BD， 过点 B 作 BHB1D，垂足为 H，则 BH平面 B1CD， 连接 EH， B1CBE，B1CEH， BEH 为二面角 BB1CD 的平面角 在 RtBHE 中，BE，BH，2 BB1BD B1D 2 3 则 sinBEH. BH BE 6 3 即二面角 BB1CD 的正

24、弦值为. 6 3 21.理理(本小题满分本小题满分 13 分分)(2009东北四市模拟)如图，正四棱柱如图，正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，中，AA12AB4，点，点 E 在在 CC1上，且上，且 CECC1. (1) 为何值时，为何值时，A1C平面平面 BED； (2)若若 A1C平面平面 BED，求二面角，求二面角 A1BDE 的余弦值的余弦值 解：法一：解：法一：(1)连接 B1C 交 BE 于点 F，连接 AC 交 BD 于点 G， ACBD，由垂直关系得，A1CBD， 若 A1C平面 BED，则 A1CBE， 由垂直关系可得 B1CBE， BCEB1BC， ， CE BC BC BB1 1 2 CE1， . CE CC1 1 4 (2)连接 A1G，连接 EG 交 A1C 于 H，则 A1GBD. A1C平面 BED， A1GE 是二面角 A1BDE 的平面角 A1G3，EG，A1E，2317 cosA1GE， 183 17 2 3 3 2 6 9 法二：法二：(1)以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半轴，射线 DC 为 y 轴的正半轴， 射线 DD1为 z 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系 Dxyz. 依题设，D(0,0