新课标版高考数学复习题库考点18空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积

1、 考点 18 空间几何体的结构及其三视图和直观图、考点 18 空间几何体的结构及其三视图和直观图、 空间几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积与体积 1.（2010陕西高考理科7）若某空间几何体的三视图如图所示， 则该几何体 的体积是（ ） (A) 1 3 (B) 2 3 (C) 1 (D) 2 【命题立意】本题考查三视图的概念及空间想象能力，属中档题. 【思路点拨】三视图几何体是直三棱柱该几何体 的体积. 【规范解答】 选 C.由该几何体的三视图可知， 该几何体是直三棱柱， 且棱柱的底 面是两直角边长分别为2和 1 的直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体 的体积 1 (2 1)21. 2

2、 V 2.（2010辽宁高考文科11）已知 S，A，B，C 是球O表面上的点，SA平面ABC,ABBC，SA=AB=1， BC=2,则球O的表面积等于（ ） （A）4(B）3 (C)2(D) 【命题立意】本题考查了空间两点间距离公式和球的表面积公式. 【思路点拨】 【规范解答】选 A.SA 平面 ABC，AB，AC平面 ABC， SAAB ，SA AC ， 故可以 A 为原点，AC 所在的直线为y轴，AS 所在的直线为z轴建立如图所示的空间直 角坐标系 A-xyz，则 (0,0,0)A , 63 (,0) 33 B , (0, 3,0)C , (0,0,1)S ,设球心 O 坐标为000 (,

3、)xyz ，则点 O 到各顶点 S，A，B，C 的距离相等，都等于球的半径 R. 建立空间坐标系设球心坐标球的半径球的表面积 2222 000 2222 000 2222 000 2222 000 63 ()()(0) 33 (0)(3)(0) (0)(0)(1) xyzR xyzR xyzR xyzR ， 解得 2 000 31 0,1 22 xyzR ， 球的表面积为 2 4414R .故选 A. 【方法技巧】1.选用球心到各顶点的距离都相等来确定球心，才能求出半径， 2.也可用另外的方法找到球心， 因为ABC 是直角， 所以 AC 是过 A， B， C 三点的小圆的直径， 所以球心在过

4、AC 和平面 ABC 垂直的平面上，可知球心在平面 SAC 中，又因为球心到点 S，A，C 的距离都相等，且SAC 是直角三角形，所以球心就是斜边 SC 的中点，球的半 径为 SC 的一半， 3.另外，可将三棱锥 S-ABC 补成一个长方体进行求解. 3.（2010辽宁高考理科12）有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 a 的直铁条，使这六根铁 条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 a 的取值 范围是（ ） (A)（0,62） (B)（1,2 2） (C) (62,62） (D) （0,2 2） 【命题立意】以三棱锥为背景考查三角形中的三边关系，考查空间想象能力和运算能力. 【

5、思路点拨】分两种情况，一种是长度为 a 的棱在一个三角形中，另一种情况是长度为 a 的棱不在一个三 角形中，分别讨论. 【规范解答】选 A. 对于第一种情况，取 BC 的中点 D 连结 PD，AD，则 2 PD3 AD1,a ，在PAD 中， 对于第二种情况同理可以得到02 2a， 综合两种情况，及04a，所以 a 的取值范围是（0,62）. 4.（2010安徽高考理科8）一个几何体的三视图如图， 该几何体的表面积为（ ） (A)280(B)292 (C)360(D)372 【命题立意】本题主要考查三视图知识，考查考生的空间想 象能力 【思路点拨】把三视图转化为直观图，进而运算求解. 【规范解

6、答】选 C.由几何体的三视图可知，该几何体由两个长方 体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面面积之和.其中下面的长方体的三边分别为 8,10,2, 上面的长方体的三边分别为 6,2,8,所以该几 何体的表面积为 2(8 108 2 10 2)2(6 82 8)360 ，故 C 正确. 【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决此题的关键，由三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画 出直观图，得出各个棱的长度，把几何体的表面积转化为下面长方体的表面积加上面长方体的 4 个侧面面 积之和. 5.（2010浙江高考文科8）若某几何体的三视图 （单位：cm）如图所示，则此几何

7、体的体积是（ ） （A） 352 3 cm3 （B） 320 3 cm3 （C） 224 3 cm3 （D） 160 3 cm3 【命题立意】本题主要考查了对三视图所表达的空间几何体的 识别以及几何体体积的计算，属容易题. 【思路点拨】解答本题要先由三视图，想象出直观图，再求体积. 【规范解答】选 B.此几何体上方为正四棱柱、下方为四棱台.所以其体积为 2223 1320 422(484 8) 33 Vcm （cm3）. 【方法技巧】对于不规则几何体求体积时可分为几部分规则的几何体，再求体积和. 6.（2010北京高考理科3）一个长方体 去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视 图与侧（左）视

8、图分别如图所示，则该几何 体的俯视图为（ ） 【命题立意】本题考查三视图知识，考查同学们的空间想象能力. 【思路点拨】结合正、侧视图，想象直观图. 【规范解答】选 C.由主、左视图可知直观图如图所示： 因此，俯视图是选项 C. 7.（2010北京高考理科8）如图，正方体 ABCD- 1111 ABC D的棱长为 2，动点 E，F 在棱 11 AB上，动点 P，Q 分别在棱 AD，CD 上，若 EF=1， 1 AE=x，DQ=y，D（，大于零） ，则四面体 PE的体积 （ ） （）与 ，都有关 （）与有关，与，无关 （）与有关，与，无关 （）与有关，与，无关 【命题立意】本题考查几何体体积的求法

9、，关键是找到易求面积的底面与高.考查空间想象能力，运算能 力. 【思路点拨】把四面体 PEFQ 的体积表示出来，由于EFQ中，1EF ，Q 到 EF 的距离为侧面的对角线 长，故选择EFQ为底面.点 P 到EFQ的距离，即是点 P 到对角面 11 ABCD的距离. 【规范解答】选 D.SEFQ 1 1 2 22 2 EFQ S ，点 P 到平面 EFQ 的距离 h= 2 2 z， 1 3 P EFQEFQ VSh SEFQh 1 3 z. （A） （B） （C） （D） AB CD 1 A 1 B 1 C 1 D EF P Q 因此体积只与z有关，而与, x y无关. 8.（2010北京高考文

10、科8）如图，正方体 1111 ABCD-A B C D 的棱长为 2，动点 E，F 在棱 11 A B上.点 Q 是 CD 的中点，动点 P 在 棱 AD 上，若 EF=1，DP=x， 1 AE=y(x,y 大于零)，则三棱锥 P-EFQ 的 体积（ ） （A）与 x，y 都有关 （B）与 x，y 都无关 （C）与 x 有关，与 y 无关 （D）与 y 有关，与 x 无关 【命题立意】本题考查几何体体积的相关知识，关键是找到易求面积的底面与高. 【思路点拨】把EFQ 看作底面，点 P 到对角面 11 ABCD的距离即为对应的高. 【规范解答】选 C. 1 2 22 2 EFQ SEF ，点 P

11、 到平面 EFQ 的距离 h= 2 2 x. 1 1 2 22 2 112 2 3323 P EFQEFQ x VShx ,与 x 有关，与 y 无关. AB CD 1 A 1 B 1 C 1 D EF P Q AB CD 1 A 1 B 1 C 1 D EF P Q AB CD 1 A 1 B 1 C 1 D EF P Q 9.（2010 海南宁夏高考理科 T10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长为a，顶点都在一个球面 上，则该球的表面积为（ ） （A） 2 a （B） 2 7 3 a （C） 2 11 3 a （D） 2 5 a 【命题立意】本小题主要考查了几何体的外接球问题. 【思路

12、点拨】找出球与棱柱的相应关系，找出球的半径与三棱柱棱长之间的关系. 【规范解答】选.设球心为O，设正三棱柱上底面为ABC，中心为 O ，因为三棱柱所有棱的长为a， 则可知 OO 2 a ， 3 3 O Aa ，又由球的相关性质可知，球的半径 22 21 6 ROOO Aa，所以 球的表面积为 22 7 4 3 Ra，故选. 10.（2010福建高考文科3）若一个底面是正三角形的三棱柱的正 视图如图所示，则其侧面积等于（ ） (A)3 (B)2 (C)2 3 (D)6 【命题立意】本题考查三棱柱的三视图、侧面积. 【思路点拨】由题意判断几何体的形状，结合三视图的数据求出侧面积. 【规范解答】选

13、D.由正视图知：三棱柱是以底面边长为 2，高为 1 的正三棱柱，侧面积为 321=6. 11.（2010广东高考理科6）如图， ABC 为正三角形， AA / BB / CC , CC 平面 ABC 且 3 AA = 3 2 BB = CC =AB,则多面体 ABC -A B C 的正视图（也称主视图）是（ ） 【命题立意】本题考查三视图的画法. AB CA B C 11 1 【思路点拨】可由投影的方法得到. 【规范解答】选D.由 AA / BB 及3 AA = 3 2 BB 可得四边形 ABB A的投影为梯形，再由3 AA = 3 2 BB = CC =AB 及底面为正三角形可得正视图为D.

14、 12.（2010 海南宁夏高考理科 T14）正视图为一个三角形的几何体可以是 (写出三种) 【命题立意】本题主要考查空间几何体的三视图的相关知识. 【思路点拨】一般来说，锥体的正视图中才会出现三角形. 【规范解答】由几何体的三视图可知，正视图为三角形的可以是三棱锥、圆锥、四棱锥等. 【答案】三棱锥、圆锥、四棱锥（不唯一） 13.（2010天津高考文科12）一个几何体的三视图如图所示， 则这个几何体的体积为 . 【命题立意】本题主要考查三视图的基础知识，和柱体体积的计算， 属于容易题. 【思路点拨】由三视图还原几何体的形状. 【规范解答】由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则由正视图 和侧视

15、图可知该几何体的高为 1，结合三个视图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何 体的体积为 1 += 2 （1 2） 2 1 3. 【答案】3 【方法技巧】根据三视图还原几何体实物，要仔细分析和认真观察三视图，进行充分的空间想象，结合三 视图的形状，从不同的角度去还原，看图和想图是两个重要的步骤， “想”与“看”中，形体分析的 看图方法是解决此类问题的常见方法. 14.（2010湖南高考文科13）如图中的三个直角三角形是一个 体积为 20 cm3的几何体的三视图，则 h= cm. 【命题立意】考查空间想象能力和把三视图等价转化 为直观图的能力. 【思路点拨】三视图直观图，特别注意数据

16、转化. 【规范解答】在长方体 ABCD-A1B1C1D1中体会三视图， 得到三视图的直观图是三棱锥 D1-DAC，D1DDA， D1DDC，且 DC=5，DA=6，则 V= 3 1 2 1 DADCh=20,h=4cm. 【答案】4 【方法技巧】在把三视图转化为直观图时，常常利用长方体为载体进行分析，常常注意三个方面：虚线和 实线，面高和体高，垂直. 15.（2010辽宁高考理科15） 如图，网格纸的小正方形的边长是 1，在其上用粗线画出了某多面体的 三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为_. 【命题立意】考查了几何体的三视图和几何体中的简单计算. 【思路点拨】由三视图作出该几何体的直观图，判

17、断出最长的棱，计算得出答案. 【规范解答】由三视图可知该几何体是一个四棱锥， （如图）底面 ABCD 是正方形， 边长是2，PCABCD 底面， 高PC2，PBPD2 2 ， 222 PA2222 3， 所以最长的棱是 PA，长为2 3. 【答案】2 3 16.（2010浙江高考理科12）若某几何体的三视图（单位：cm） 如图所示，则此几何体的体积是_ 3 cm. 【命题立意】本题考查三视图、体积的计算公式，考查空间想象能力、 运算能力. 【思路点拨】先由三视图想象出直观图，再分解求体积. 【规范解答】该几何体的直观图：上面是一个正四棱柱 （底面边长 4，高 2） ，下面是一个四棱台（上底面边

18、长为 4， 下底面边长为 8，高为 3）.因此， 其体积为： 222 1 42(484 8) 3144 3 . 【答案】144 【方法技巧】 （1） 在由三视图画直观图时，要注意三视图中的尺寸与直观图中尺寸间的对应关系.（2） 求 复杂几何体的体积一般先把它分成几个简单的几何体，再分别求体积. 17.（2010天津高考理科2）一个几何体的三视图如图所示，则 这个几何体的体积为 . 【命题立意】考查三视图的概念及锥体的体积公式. 【思路点拨】由三视图还原几何体的形状. 【规范解答】 由三视图可得该几何体是一个组合体，上面是一个高为 1 的 正四棱锥，其底是边长为 2 的正方形，下面是一个长为 1、宽为 1、 高为 2 的长方体，所以所求几何体的体积为 1410 2 2 122 333 V . 【答案】 10 3 【方法技巧】根据三视图还原几何