新课标版高考数学复习题库考点21直线与圆

1、 考点 21 直线与圆 考点 21 直线与圆 1.（2010安徽高考文科4）过点（1，0）且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是（ ） （A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0 【命题立意】本题主要考查直线平行问题. 【思路点拨】可设所求直线方程为20 xyc，代入点（1，0）得c值，进而得直线方程. 【规范解答】选 A，设直线方程为20 xyc，又经过(1,0)，故1c ，所求方程为210 xy . 2.(2010广东高考文科6） 若圆心在 x 轴上、 半径为5的圆 O 位于 y 轴左侧， 且与直线 x+2y=0 相切， 则圆 O

2、的方程是（ ） (A) 22 (5)5xy (B) 22 (5)5xy (C) 22 (5)5xy (D) 22 (5)5xy 【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系. 【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解. 【规范解答】选D.设圆心为( , 0) (0)aa ，则 22 2 0 5 12 a r ，解得5a ， 所以所求圆的方程为： 2 2 (5)5xy，故选D. 3.（2010 海南宁夏高考理科 T15）过点 A(4,1)的圆 C 与直线10 xy 相切于点 B(2,1) 则圆 C 的方程为 . 【命题立意】 本题主要考察了圆的相关知识， 如何灵活转化题目中的条件求解圆的

3、方程是解决问题的关键. 【思路点拨】 由题意得出圆心既在线段 AB 的中垂线上， 又在过点 B(2,1)且与直线10 xy 垂直的直线 上，进而可求出圆心和半径,从而得解. 【规范解答】 由题意知，圆心既在过点 B(2,1)且与直线10 xy 垂直的直线上，又在线段 AB 的中垂线 上.可求出过点 B(2,1)且与直线10 xy 垂直的直线为30 xy，AB 的中垂线为3x ，联立 半径2rCA，所以，圆的方程为 22 (3)2xy. 【答案】 22 (3)2xy 4.（2010广东高考理科2）已知圆心在 x 轴上，半径为2的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线 x+y=0 相切，则圆 O 的方

4、程是 【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系. 【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解. 【规范解答】设圆心坐标为( , 0)a，则 0 2 2 a ，解得2a ，又圆心位于y轴左侧，所以2a . 故圆 O 的方程为 22 (2)2xy. 【答案】 22 (2)2xy 5.（2010天津高考文科4） 已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切.则圆 C 的方程为 【命题立意】考查点到直线的距离、圆的标准方程、直线与圆的位置关系. 【思路点拨】圆心到与圆的切线的距离即为圆的半径. 【规范解答】由题意可得圆心的坐标为（-1,0

5、） ，圆心到直线 x+y+3=0 的距离即为圆的半径，故 2 2 2 r ，所以圆的方程为 2 x+1y2 2 （）. 【答案】 2 x+1y2 2 （） 6.（2010江苏高考9）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆4 4 2 22 2 y yx x上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是_ 【命题立意】本题考查直线与圆的位置关系. 【思路点拨】 由题意分析，可把问题转化为坐标原点到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1，从而求出 c 的取值 范围. 【规范解答】如图，圆4 4 2 22 2 y yx x的半径为 2， 圆上有且仅有四个点到直线

6、 12x-5y+c=0 的距离为 1, 问题转化为坐标原点（0，0）到直线 12x-5y+c=0 的 距离小于 1. 22 1,13,1313. 125 c cc 即 【答案】1313c 7.（2010山东高考理科16）已知圆C过点（1,0） ，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：1yx被 圆C所截得的弦长为2 2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为 【命题立意】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了考生的分析问题解决 问题的能力、推理论证能力和运算求解能力. 【规范解答】由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知： 22 |a-1| ()

7、 +2=(a-1) 2 ，解得a=3或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0） ， 因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=-3，故所求的直线方程为x+y-3=0. 【答案】x+y-3=0 【方法技巧】 （1）研究直线与圆的位置关系，尽可能简化运算，要联系圆的几何特性.如“垂直于弦的直 径必平分弦” ， “圆的切线垂直于过切点的半径” ， “两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时 应注意灵活运用. （2）直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧. 8.（2010山东高考文科6）已知圆 C 过点（1,0）

8、，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l：1yx被 该圆所截得的弦长为2 2，则圆 C 的标准方程为 . 【命题立意】本题考查了点到直线的距离、直线与圆的关系，圆的标准方程等知识，考查了考生的分析问 题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】根据弦长及圆心在x轴的正半轴上求出圆心坐标，再求出圆的半径即可得解. 【规范解答】设圆心坐标为(a,0)，圆的半径为r，则由题意知： 22 |a-1| () +2=(a-1) 2 ，解得a=3或-1，又 因为圆心在x轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0） ， 222 (1)(3 1)4,ra故所求圆的 方程为 22 (3)4.xy

9、. 【答案】 22 (3)4xy 【方法技巧】 （1）研究直线与圆的位置关系，尽可能简化运算，要联系圆的几何特性.如“垂直于弦的直 径必平分弦” ， “圆的切线垂直于过切点的半径” ， “两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时 应注意灵活运用. （2）直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧. 9.（2010湖南高考文科14）若不同两点 P,Q 的坐标分别为（a，b） ， （3-b，3-a） ，则线段 PQ 的垂直 平分线 l 的斜率为 ,圆（x-2）2+（y-3）2=1 关于直线对称的圆的方程为 . 【思路点拨】第一问直接利用“如果两直线的斜率存在，那

10、么相互垂直的充要条件是斜率之积等于-1” ； 第二问把圆的对称转化为圆心关于直线的对称. 【规范解答】设 PQ 的垂直平分线的斜率为 k，则 k ab ba 3 3 =-1，k=-1，而且 PQ 的中点坐标是 ( 2 3ba , 2 3ba )，l 的方程为：y- 2 3ba =-1(x- 2 3ba )，y=-x+3,而圆心(2,3)关于 直线 y=-x+3 对称的点坐标为(0,1)，所求圆的方程为：x2+(y-1)2=1. 【答案】-1 x2+(y-1)2=1 【方法技巧】一个图形关于一条直线的对称图形的方程的求法，如果对称轴的斜率为1，常常把横坐标 代入得到纵坐标，把纵坐标代入得到横坐标

11、，如(a,b)关于 y=x+c 的对称点是(b-c,a+c). 10.（2010北京高考理科9）在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（-1,1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 1 3 . (1)求动点 P 的轨迹方程. (2)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N，问：是否存在点 P 使得PAB 与PMN 的面积相等？若存 在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由. 【命题立意】本题考查了动点轨迹的求法，第（2）问是探究性问题，考查了考生综合运用知识解决问题 的能力，考查了数学中的转化与化归思想. 【思路点拨】 （1）设出

12、点 P 的坐标，利用 AP 与 BP 的斜率之积为 1 3 ，可得到点 P 的轨迹方程.（2）方法 一：设出 00 (,)P xy，把PAB和PMN的面积表示出来，整理求解；方法二：把PAB 与PMN 的面积 相等转化为 | | PAPN PMPB ，进而转化为 00 00 |1|3| |3|1| xx xx . 【规范解答】 （1）因为点 B 与点 A( 1,1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1, 1). 设点P的坐标为( , )x y， 由题意得 111 113 yy xx ， 化简得 22 34(1)xyx . 故动点P的轨迹方程为 22 34(1)xyx . （2）方法一：设点P的

13、坐标为 00 (,)xy，点M，N得坐标分别为(3,) M y,(3,) N y. 则直线AP的方程为 0 0 1 1(1) 1 y yx x ，直线BP的方程为 0 0 1 1(1) 1 y yx x ， 令3x 得 00 0 43 1 M yx y x ， 00 0 23 1 N yx y x ， 于是PMN的面积为 2 000 0 2 0 |(3)1 |(3) 2|1| PMNMN xyx Syyx x ， 又直线AB的方程为0 xy，| 2 2AB ， 点P到直线AB的距离 00 | 2 xy d ， 于是PAB的面积为 00 1 | 2 PAB SAB dxy ， 当 PABPMN SS 时，有 2 000 00 2 0 |(3) | |1| xyx xy x ， 又 00 | 0 xy， 所以 2 0 (3)x= 2 0 |1|x，解得 0 5 3 x . 因为 22 00 34xy，所以 0 33 9 y ， 故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为 533533 (,),- 3939 或（） 方法二：若存在点P使得PAB与PMN的面积相等，设点P的坐标为 00