高数知识点总结1-7课件

1、各章知识点总结,第一章 函数与 极限,一、函数,1. 特性,有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性,2. 反函数,3. 复合函数,4. 初等函数,二、 极限,1. 极限定义的等价形式,(以 为例 ),(即 为无穷小),有,第一章 函数与 极限,2. 极限存在准则及极限运算法则,3. 无穷小,无穷小的性质;,无穷小的比较 ;,常用等价无穷小:,第一章 函数与 极限,4. 两个重要极限,或,第一章 函数与 极限,总结：求极限的方法,1. 利用极限的定义,第一章 函数与 极限,5. 夹逼准则(数列极限),3.四则运算法则,2. 利用单调有界必有极限 (数列有界),4. 利用函数的连续性,第一章 函数与

2、 极限,8. 利用洛必达法则,10. 利用定积分的定义,9. 利用泰勒公式,6. 利用两个重要极限,7. 等价无穷小的转化,三、 连续与间断,1. 函数连续的等价形式,有,第一章 函数与 极限,2. 函数间断点,第一类间断点,第二类间断点,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,有界定理;,最值定理;,零点定理;,介值定理.,3. 闭区间上连续函数的性质,第一章 函数与 极限,第二章 导数与 微分,一、导数和微分的概念及应用,导数:,当,时,为右导数,当,时,为左导数,微分:,关系:,可导,可微,应用:,(1) 利用导数定义解决的问题,(3) 求曲线的切线与法线,(2) 用导数定义求极

3、限,求分段函数在分界点处的导数,由导数定义证明一些命题,(4) 微分在近似计算与误差估计中的应用,第二章 导数与 微分,第二章 导数与 微分,二、导数和微分的求法,1. 正确使用导数及微分公式和法则,2. 熟练掌握求导方法和技巧,(1) 求分段函数的导数,注意讨论界点处左右导数是否存在和相等,(2) 隐函数求导法,对数微分法,(3) 参数方程求导法,极坐标方程求导,导出,第二章 导数与 微分,(4) 复合函数求导法,(可利用微分形式不变性),(5) 高阶导数的求法,逐次求导归纳;,间接求导法;,利用莱布尼茨公式.,第三章 微分中值定理与导数的应用,拉格朗日中值定理,1. 微分中值定理及其相互关

4、系,罗尔定理,柯西中值定理,一、微分中值定理及其应用,2. 微分中值定理的主要应用,(1) 研究函数或导数的性态,(2) 证明恒等式或不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,3. 有关中值问题的解题方法,利用逆向思维，设辅助函数. 一般解题方法:,(1) 证明含一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,可用原函数法找辅助函数.,(2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数，可考虑用柯西中值定理 .,第三章 微分中值定理与导数的应用,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值,必须多次应用中值定理 .,(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,有时也可考虑对导数用中值定理.,(5) 若结论为

5、不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.,第三章 微分中值定理与导数的应用,第三章 微分中值定理与导数的应用,二、 导数应用,1. 研究函数的性态:,增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率,2. 解决最值问题,目标函数的建立与简化,最值的判别问题,3. 其他应用:,求未定式极限;,几何应用;,相关变化率;,证明不等式;,研究方程实根等.,第四章 不定积分,一、 求不定积分的基本方法,1. 直接积分法,通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法 .,2. 换元积分法,(代换: ),3. 分部积分法,使用原则:,1) 由,易求出 v ;,2),比,好求 .,一般经验: 按“反, 对,

6、 幂, 指, 三” 的顺序,排前者取为u ,排后者取为,第四章 不定积分,二、几种特殊类型的积分,1. 一般积分方法,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,第四章 不定积分,2. 需要注意的问题,(1) 一般方法不一定是最简便的方法,要注意综合,使用各种基本积分法, 简便计算.,(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数,因此不一定都能积出.,例如,第四章 不定积分,第五章 定积分,1. 求定积分(常义积分和反常积分),定积分的定义,定积分的几何意义,定积分换元法,定积分的分部积分法,2. 定积分中值定理,第五章 定积分,4. 变限函数

7、的求导,5. 与定积分有关的求极限问题,3. 用定积分性质估值,定积分定义,洛必达法则,夹逼准则,第六章 定积分的应用,一、平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,直角坐标方程,上下限分别对应曲线的起点和终点,课本P360-361: 星形线、摆线、心形线、阿基米德螺线、双纽线,第六章 定积分的应用,二、旋转体的体积,1.曲线y=y(x)(axb)绕 x 轴旋转,(柱壳法),2.曲线y=y(x)(axb)绕 y 轴旋转,第六章 定积分的应用,三、平行截面面积为已知的立体体积,四、平面曲线的弧长,弧微分:,注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小,第六章 定积分的应用,2. 参数方程方程,1

8、. 直角坐标方程,第六章 定积分的应用,3. 极坐标方程,第七章 微分方程,一. 微分方程的概念,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.,微分方程的解：使方程成为恒等式的函数.,通解:解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同.,特解:不含任意常数的解,其图形称为积分曲线,第七章 微分方程, 确定通解中任意常数的条件.,n 阶方程的初始条件(或初值条件):,定解条件,说明: 通解不一定是方程的全部解 .,有解,后者是通解 , 但不包含前一个解 .,例如, 方程,y = x 及 y = C,第七章 微分方程,二、一阶微分方程求解,1. 一阶标准类型方程求解,关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤,2. 一阶非标准类型方程求解,变量代换法,代换因变量,代换某组合式,三个标准类型,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,代换自变量,第七