人教版高三数学总复习第七章单元质量检测

1、第七章单元质量检测第七章单元质量检测 时间：90 分钟分值：100 分 一、选择题(每小题 4 分，共 40 分) 1以下关于几何体的三视图的叙述中，正确的是() A球的三视图总是三个全等的圆 B正方体的三视图总是三个全等的正方形 C水平放置的各面均为正三角形的四面体的三视图都是正三角 形 D水平放置的圆台的俯视图是一个圆 解析：画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的 视角，其三视图总是三个全等的圆 答案：A 2用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为 ，则球 的体积为() A. B. 8 3 8 2 3 C8 D.2 32 3 解析：S圆r2r1，而截面圆圆心与球心的距

2、离 d1，所 以球的半径为 R.所以 V R3，故选 B.r2d22 4 3 8 2 3 答案：B 3设 、 是三个互不重合的平面，m、n 是两条不重合的直 线，下列命题中正确的是() A若 ，则 B若 m，n，则 mn C若 ，m，则 m D若 ，m，m，则 m 解析：对于 A，若 ， 可以平行，也可以相交，A 错；对于 B，若 m，n，则 m，n 可以平行，可以相交， 也可以异面，B 错；对于 C，若 ，m，则 m 可以在平面 内， C 错；易知 D 正确 答案：D 4 一个棱长为 2 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的 三视图如图所示，则该几何体的体积为() A7 B.22 3

3、C. D. 47 6 23 3 解析 ： 依题意可知该几何体的直观图如图所示，其体积为 232 111. 1 3 1 2 23 3 答案：D 5 已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， 底面 ABCD 为正方形， AA1 2AB，E 为 AA1的中点，则异面直线 BE 与 CD1所成角的余弦值为 () A.B. C.D. 10 10 1 5 3 10 10 3 5 解析： 如图，以 D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 设 AA12AB2，则 B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)， (0，1,1)，(0，1,2)， BE CD1 cos，. BE C

4、D1 12 2 5 3 10 10 答案：C 6如图所示，正四棱锥 PABCD 的底面积为 3，体积为，E 2 2 为侧棱 PC 的中点，则 PA 与 BE 所成的角为() A. B. 6 4 C. D. 3 2 解析：连接 AC，BD 交于点 O，连接 OE，易得 OEPA，所以所 求角为BEO. 由所给条件易得 OB，OE PA，BE. 6 2 1 2 2 2 2 所以 cosOEB ，所以OEB60，选 C. 1 2 答案：C 7 如图为棱长是 1 的正方体的表面展开图， 在原正方体中给出下 列三个命题： 点 M 到 AB 的距离为；三棱锥 CDNE 的体积是 ；AB 2 2 1 6 与

5、 EF 所成的角是 2 其中正确命题的个数是() A0 B1 C2 D3 解析： 依题意可作出正方体的直观图如图， 显然 M 到 AB 的距离为 MC 1 2 ，正确；而 VCDNE 111 ，正确；AB 与 EF 2 2 1 3 1 2 1 6 所成的角等于 AB 与 MC 所成的角，即为 ，正确 2 答案：D 8正ABC 与正BCD 所在平面垂直，则二面角 ABDC 的 正弦值为() A.B. C.D. 5 5 3 3 2 5 5 6 3 解析： 取 BC 中点 O，连接 AO，DO.建立如图所示坐标系，设 BC1， 则 A， B， D.， ( 0，0， 3 2 )( 0，1 2，0) (

6、 3 2 ，0，0)OA ( 0，0， 3 2 ) BA ，.由于为平面 BCD ( 0，1 2， 3 2 ) BD ( 3 2 ，1 2，0) OA ( 0，0， 3 2 ) 的一个法向量，可进一步求出平面 ABD 的一个法向量 n(1，3 1)，cosn，sinn，. OA 5 5 OA 2 5 5 答案：C 9正三棱柱 ABCA1B1C1的棱长都为 2，E，F，G 为 AB，AA1， A1C1的中点，则 B1F 与平面 GEF 所成角的正弦值为() A. B. 3 5 5 6 C. D. 3 3 10 3 6 10 解析： 如图，取 AB 的中点 E，建立如图所示空间直角坐标系 Exyz

7、.则 E(0,0,0) ， F( 1,0,1) ， B1(1,0,2) ， A1( 1,0,2) ， C1(0 ， 2) ，3 G. ( 1 2， 3 2 ，2) (2,0，1)，(1,0,1)，. B1F EF FG ( 1 2， 3 2 ，1) 设平面 GEF 的一个法向量为 n(x，y，z)， 由Error!得Error! 令 x1，则 n(1，1)，设 B1F 与平面 GEF 所成角为 ，3 则 sin|cosn，| . B1F |nB1F | |n|B1F | 3 5 答案：A 10 如 图 ， 在 正 四 棱 柱 ( 底 面 是 正 方 形 的 直 四 棱 柱)ABCDA1B1C1

8、D1中，E、F 分别是 AB1、BC1的中点，则下列结论 不成立的是() AEF 与 BB1垂直 BEF 与 BD 垂直 CEF 与 CD 异面 DEF 与 A1C1异面 解析： 连接 B1C，AC，则 B1C 交 BC1于 F，且 F 为 B1C 的中点， 又 E 为 AB1的中点，所以 EF 綊 AC， 1 2 而 B1B平面 ABCD，所以 B1BAC， 所以 B1BEF，A 正确； 又 ACBD，所以 EFBD，B 正确； 显然 EF 与 CD 异面，C 正确； 由 EF 綊 AC，ACA1C1，得 EFA1C1，故不成立的选项为 D. 1 2 答案：D 二、填空题(每小题 4 分，共

9、 16 分) 11已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 _ 解析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，底面是底边长为 4 ，高为 2 的等腰三角形，棱锥的高为 2，故体积为 V 43 1 3 1 2 3 22. 8 3 3 答案： 8 3 3 12已知球与棱长均为 2 的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面 积为_ 解析： 将该三棱锥放入正方体内，若球与三棱锥各棱均相切等价于球与 正方体各面均相切，所以 2R，R，则球的表面积为 S4R22 2 2 4 2. 1 2 答案：2 13三棱锥 SABC 中，SBASCA90，ABC 是斜边 AB a 的等腰直角三角形，则以下结论中： 异面直

10、线 SB 与 AC 所成的角为 90； 直线 SB平面 ABC； 平面 SBC平面 SAC； 点 C 到平面 SAB 的距离是 a. 1 2 其中正确结论的序号是_ 解析： 由题意知 AC平面 SBC，故 ACSB，SB平面 ABC，平面 SBC 平面 SAC，正确 ； 取 AB 的中点 E，连接 CE，(如图)可证得 CE 平面 SAB，故 CE 的长度即为 C 到平面 SAB 的距离 a，正确 1 2 答案： 14如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC1，EFBC 且 AE 2EB，G 为 BC 的中点，K 为 AF 的中点沿 EF 将矩形折成 120的二 面角 AEFB，此时 KG 的

11、长为_ 解析： 如图，过 K 作 KMEF，垂足 M 为 EF 的中点，则向量与 MK FC 的夹角为 120， ， 60.又， 2 KM FC KG KM MG KM FC KG 222 11211cos603.|. KM FC KM FC KG 3 答案： 3 三、解答题(共 4 小题，共 44 分，解答应写出必要的文字说明、 计算过程或证明步骤) 15(10 分)一个几何体是由圆柱 ADD1A1和三棱锥 EABC 组合 而成，点 A，B，C 在圆 O 的圆周上，其正(主)视图，侧(左)视图的面 积分别为 10 和 12，如图所示，其中 EA平面 ABC，ABAC，AB AC，AE2. (

12、1)求证：ACBD. (2)求三棱锥 EBCD 的体积 解：(1)因为 EA平面 ABC，AC平面 ABC， 所以 EAAC，即 EDAC. 又因为 ACAB，ABEDA，所以 AC平面 EBD. 因为 BD平面 EBD，所以 ACBD. (2)因为点 A，B，C 在圆 O 的圆周上，且 ABAC， 所以 BC 为圆 O 的直径 设圆 O 的半径为 r，圆柱高为 h，根据正(主)视图，侧(左)视图的 面积可得，Error!解得Error! 所以 BC4，ABAC2 . 2 以下给出求三棱锥 EBCD 体积的两种方法： 方法 1：由(1)知，AC平面 EBD， 所以 VEBCDVCEBD SEB

13、DCA， 1 3 因为 EA平面 ABC，AB平面 ABC， 所以 EAAB，即 EDAB. 其中 EDEADA224， 因为 ABAC，ABAC2，2 所以 SEBD EDAB 424， 1 2 1 2 22 所以 SEBCD 42. 1 3 22 16 3 方法 2：因为 EA平面 ABC， 所以 VEBCDVEABCVDABC SABCEA SABCDA S 1 3 1 3 1 3 ABCED. 其中 EDEADA224， 因为 ABAC，ABAC2，2 所以 SABC ACAB 224， 1 2 1 2 22 所以 VEBCD 44. 1 3 16 3 16(10 分)如图，ABAD，

14、BAD90，M，N，G 分别是 BD， BC，AB 的中点，将等边BCD 沿 BD 折叠成BCD 的位置，使得 ADCB. (1)求证：平面 GNM平面 ADC. (2)求证：CA平面 ABD. 证明：(1)因为 M，N 分别是 BD，BC的中点， 所以 MNDC.因为 MN平面 ADC， DC平面 ADC，所以 MN平面 ADC. 同理 NG平面 ADC.又因为 MNNGN， 所以平面 GNM平面 ADC. (2)因为BAD90，所以 ADAB. 又因为 ADCB，且 ABCBB， 所以 AD平面 CAB. 因为 CA平面 CAB，所以 ADCA. 因为BCD 是等边三角形，ABAD， 不妨

15、设 AB1，则 BCCDBD，可得 CA1.2 由勾股定理的逆定理，可得 ABCA. 因为 ABADA，所以 CA平面 ABD. 17(12 分)如图，直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的 平面互相垂直，ABCD，ABBC，AB2CD2BC，EAEB. (1)求证：ABDE； (2)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值； (3)线段 EA 上是否存在点 F， 使 EC平面 FBD？若存在， 求出； EF EA 若不存在，请说明理由 解： (1)证明：取 AB 的中点 O，连接 EO，DO. 因为 EBEA，所以 EOAB. 因为四边形 ABCD 为直角梯形 AB2CD2

16、BC，ABBC， 所以四边形 OBCD 为正方形，所以 ABOD. 因为 EODO0. 所以 AB平面 EOD，所以 ABED. (2)因为平面 ABE平面 ABCD，且 EOAB， 所以 EO平面 ABCD，所以 EOOD. 由 OB，OD，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz. 因为三角形 EAB 为等腰直角三角形，所以 OAOBODOE， 设 OB1， 所 以 O(0,0,0) ， A( 1,0,0) ， B(1,0,0) ， C(1,1,0) ， D(0,1,0) ， E(0,0,1) 所以(1,1，1)， EC 平面 ABE 的一个法向量为(0,1,0) OD 设直

17、线 EC 与平面 ABE 所成的角为 ， 所以 sin|cos， EC OD |EC OD | |EC |OD | 3 3 即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为. 3 3 (3)存在点 F，且 时，有 EC平面 FBD. EF EA 1 3 证明如下：由， EF 1 3EA ( 1 3，0， 1 3) F，所以，(1,1,0) ( 1 3，0， 2 3) FB ( 4 3，0， 2 3) BD 设平面 FBD 的法向量为 v(a，b，c)， 则有Error!所以Error! 取 a1，得 v(1,1,2) 因为v(1,1，1)(1,1,2)0， EC 且 EC平面 FBD，所以 EC

18、平面 FBD， 即点 F 满足 时，有 EC平面 FBD. EF EA 1 3 18(12 分)如图，AB 为圆 O 的直径，点 E，F 在圆 O 上，AB EF，矩形 ABCD 所在的平面与圆 O 所在的平面互相垂直已知 AB 2，EF1. (1)求证：平面 DAF平面 BCF； (2)求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小； (3)当 AD 的长为何值时，平面 DFC 与平面 FCB 所成的锐二面角 的大小为 60？ 解：(1)证明：平面 ABCD平面 ABEF，CBAB，平面 ABCD 平面 ABEFAB，CB平面 ABEF， AF平面 ABEF，AFCB， 又 AB 为圆 O 的直径，AFBF，又 BFCBB， AF平面 CBF. AF平面 ADF，平面 DAF平面 CBF. (2)由(1)知 AF平面 CBF， FB 为 AB 在平面 CBF