置换群与对称群

1、1.6置换群，由群g构成的群称为n阶对称群Sn，置换群是n阶对称群Sn的子群。根据凯莱定理，任何有限群都必须与置换群同构，因此有必要对置换群进行更详细的讨论。在这一节中，我们将把置换群分解成循环积，并得到置换群的一些初步性质。1.6.1置换的循环分解如前所述，置换可以表示如下，其中i1i2是1、2和n的排列，Def:让它是n次置换，满足(1) (i1)=i2，(i2)=i3，(IR)=i1；(2)保持1、2和n中的其他元素不变。然后，它被称为长度为r的循环，或r阶的循环。将其写成=(i1i2 ir)，例如，它是长度为4的循环，或四阶循环。两个循环=(i1i 2 IR)=(jj J2 js)称为

2、不相交。如果任何k，l都有ik jl，则两个置换的乘积一般是不可交换的，但可以证明两个不相交圈的乘积是可交换的。Th 1的任何第n个置换都可以分解成每两个不相交的循环的乘积，并且这个分解公式是唯一的，除了因子的顺序不同。为了证明：首先证明分解公式的存在：从1、2和n中选择任意数作为i1，依次找出(i1)=i2，(i2)=i3，直到在这个序列中出现第一次重复。这个第一次重复必须是i1，也就是说，有ir，这样(ir)=i1，然后循环1=(i1i2 ir被获得)然后取j1 (i1i2 ir)，并重复上述步骤得到2=(jj J2 js)，并且根据映射的定义，1和2没有共同的元素。这样继续下去，直到每个

3、元素都在某个循环中，这样就得到分解公式=1 2k，然后证明分解公式的唯一性：如果有两个不同的分解公式，就必须有两个数字ij，在一个分解公式中，j出现在I的旁边，而在另一个分解公式中，j不在I的旁边。这说明(i)=j来自第一个分解公式，而(i) j来自第二个分解公式是矛盾的。例子：1.6.2置换的置换分解，def:长度为2的循环称为置换。Th 2的任何第n个置换都可以分解成置换的乘积，即=1 1 s，并且无论分解方法如何，s的奇偶性都是唯一确定的。证明了每个循环=(i1i2 ir)可以写成交换的乘积(i1i2 ir )=(i1i2) (i1i3)(i1 ir)，它是r-1交换的乘积。因此，任何n

4、次置换都可以分解成交换的乘积。然后证明分解中交换数的奇偶性的唯一性：证明的基本思想是用一对交换数=(a b)来乘右，让N()表示分解中的交换数，那么N(a b)和N()具有相反的奇偶性，并注意N()=0(这里是恒等式变换)。为了证明N(a(b)与N(a)具有相反的奇偶性，我们注意下面的等式：(ac1c 2ch)(bd1d 2d k)(a b)=(ac1c hb1 dk)(ac1c hb1 dk)(ab)=(ac1c 2ch)(bd1d 2d k)。事实上，由于(ab)对于第二个等式，可以从图像中验证它们作用于每一个数1、2和n。由于上述两个等式，如果(a)b向右相乘，并且a和b出现在相同的循环

5、中，那么n(a(b)=n()-1；如果a和b出现在不同的循环中，那么N(a(b)=N(1)。总之，N(a(b)=N(1)。目前，有一个表达式=(a b) (cd) (pq)表示为m的倒数的乘积。因为(a b) -1=(a b)，(pq) (cd) (a b)=e.然而，N(e)=0，所以N(1)1 10，所以m和N(1)具有相同的奇偶性。证明实例：如果置换可以分解为偶(奇)交换的乘积，这意味着交换乘积的任何表达式中包含的交换数是偶(奇)。这时，排列被称为偶排列(奇排列)。置换积的性质是： 1。两个偶置换的乘积是偶置换；2.两个奇数排列的乘积是一个偶数排列；3.偶数排列和奇数排列的乘积是奇数排列。例如，让安=锡，如果它是一个偶数排列，它将是一个相同的排列，和安(关闭)。注意-1=