2012电磁场与电磁波08_静电场2-电位.ppt

1、电磁场与电磁波Electromagnetic Fields and Waves 静电场2电位,谢泽明 华南理工大学电子与信息学院 Email:,内容,电位 导体对静电场的影响 电位的帕松方程和拉普拉斯方程,电位-静电场的辅助函数,静电场无旋性（ ）告诉我们，电场可用一个标量函数的梯度表示 称为电场的位函数（电位）。 电场 为矢量，对应三个标量函数，而电位 为一标量函数。显然，计算电位更容易。,借助电位求电场的方法，称为辅助函数法，广泛应用于电磁场理论。,从静电场公式 不能看出，点电荷的电位为 为满足 的任意标量函数。,直接从 不能唯一确定电位。实际中，常通过选取电位参考点消除不唯一性。,体分布

2、的电位 面分布的电位 线分布的电位,【电压】两点间电场的线积分,可见，两点间的电压等于两点的电位差，且与积分路径无关； 如果选取某点Q为电位参考点（电位零点），那么任一场点P的电位就等于该点与参考点之间的电位差：,参考点选取具有任意性。实际中，常选择无限远、大地表面或接地导体为电位参考点。 电压和电位的物理意义 电压为把单位正的点电荷从一点到另一点电场力做的功 电位是把单位正的点电荷从场点移到参考点电场力做的功,【电力线】两点间电场的线积分,电力线方程 电力线的特点：,始于正电荷，终于负电荷； 线的疏密对应电场的强弱； 垂直于等位面； 互不相交。,点电荷与不接地导体的电场,问题 (1) 电力线

3、是不是点电荷在电场中的运动轨迹（设此点电荷电场力外不受其它力的作用）？ (2) 两条电力线能否相切？同一条电力线上任意两点的电位能否相等？ (3) 不同电位的两个等位面能否相交或相切？同一等位面任意两点的场强是否一定相等？场强在等位面上的切向分量是否一定等于0？电位在带电面两侧会不会突变？,【例5-1】在真空中xoy平面上有一半径为a的圆形线电荷，其线密度为 ，求轴线上离圆心z处点P(0,0,z)的电位和电场强度。,解：在圆上取一线元 ，其上所带电荷为,由于电荷分布的对称性，该处的电场强度仅有 z 方向的分量，即,应用圆柱坐标系，P点电位为,解：取一线元，其上所带电荷量为 ，源点到场点P的距离

4、为,【例5-2】求电荷密度 ，半径为a的均匀带电圆盘轴线上的电场强度。,利用前例中圆形线电荷在轴线上产生的电位的公式，将 dr 很小形成的圆环看成是圆形线电荷，其相应的线电荷密度 满足：,解：在圆盘上取一半径为r、宽为dr的圆环，由于dr很小，源点到场点P的距离即为 ，,并代入 a=r ，则同样可得,整个圆盘上的电荷在 P点的电位（z 0）,当 时，相当与无限大带电荷平面在其一侧（ z 0）附近产生的场：,可见，只要 z 有限，则 E 是均匀的，且与 z 无关。,应用圆柱坐标系中的梯度表达式，可得到电场强度为,静电场中的导体,导体中带有可以自由移动的电荷（自由电子、自由离子）； 有外静电场时，

5、导体中的自由电荷受电场力作用移动，积累在导体表面； 积累在表面的电荷产生附加电场，在导体内与外电场相抵消； 达到平衡后，导体内电场为零，电荷不再移动，称为静电平衡状态。,【静电平衡过程】,【导体的静电特性】,静电平衡后，导体内电场强度为0； 静电平衡后，导体是等位体，表面为等位面； 静电平衡后，导体表面的电场强度垂直于导体表面； 静电平衡后，导体的电荷只分布在表面。,静电场中的导体,例:真空中有电荷以体密度均匀分布于一半径为R的球中，如图所示。求球内、外的电场强度及电位。,应用高斯通量定理，有,解：（1）求电场强度。以球心为球坐标系原点，因为分布仅与球坐标系变量r有关，故电场强度也仅是r的函数

6、，且方向应是ar方向。选某r半径球面为闭合面 S（也称高斯面），则在此球面上，,如果用球内全部电荷 Q 来表示，以 代入可得,球内任意点的电位为,当 r = R 时为球面电位,（2）求电位。选无穷远处为电位参考点，则球外任一点的电位为,例：两无限大平行板电极，板间距离为d，电压为U0 ，并充满密度为 0 x/d的体电荷。求板间电场强度和极板面上的电荷面密度。,解 因为 (x)= 0 x/d ，仅是x的函数，故可设电场强度为 E=axE(x),也仅是x的函数。再设x=0处电位为0，极板上面电荷密度为s(0)；在x=d处，电位为U0，极板面电荷密度为s(d)。显然，由于两极板面无限大，板间电场为均

7、匀场，故s(0) 、 s(d) 均为常数。作一柱形闭合面，底面积为S，下底在x=0的极板内，上底在x处，侧柱面与ax平行。在此闭合面上应用高斯通量定理，有,由：,又因为：,即：,若将闭面S在x 处的上底面放到xd的极板内再用高斯通量定理，则有,可得,即：,代入 E(x)表达式，有,故：,电位的帕松方程和拉普拉斯方程,帕松方程和拉普拉斯方程是电位满足的微分方程。 帕松方程 若无源，则演化为拉普拉斯方程,Possion方程,Laplace方程,【拉普拉斯算子】,直角坐标系,圆柱坐标系,球坐标系,例：已知导体球的电位为（无穷远处的电位为0) U，球的半径为a，求球外的电位函数。,解,球外的电位满足拉普拉斯方程，且电场