高考数学复习练习第3部分专题一第三讲“2道”拉分题专练卷（一～二）

1、“2 道”拉分题专练卷(一) 1已知函数 f(x)ln xax2(2a)x. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)设 a0，证明：当 0xf； 1 a ( 1 ax ) ( 1 ax ) (3)若函数 yf(x)的图像与 x 轴交于 A，B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 x0，证明： f(x0)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增； 若 a0，则由 f(x)0 得 x ，且当 x时，f(x)0；当 x 时，f(x)0， 1 a ( 0，1 a ) 1 a 所以 f(x)在上单调递增，在上单调递减 ( 0，1 a )( 1 a，) (2)证明：设函数 g(x)ff，则 ( 1 ax )(

2、 1 ax ) g(x)ln(1ax)ln(1ax)2ax， g(x)2a. a 1ax a 1ax 2a3x2 1a2x2 当 0x0，而 g(0)0，所以 g(x)0， 1 a 故当 0xf. 1 a ( 1 ax ) ( 1 ax ) (3)证明：由(1)可得，当 a0 时，函数 yf(x)的图像与 x 轴至多有一个交点，故 a0， 从而 f(x)的最大值为 f，且 f0. ( 1 a )( 1 a ) 不妨设 A(x1,0)，B(x2,0)，0x1x2， 则 0x1 f(x1)0. ( 2 ax 1 )( 1 a 1 ax 1 ) 从而 x2 x1，于是 x0 . 2 a x1x2 2

3、 1 a 由(1)知，f(x0)b0)的左、右顶点分别 x2 a2 y2 b2 为 A、B，右焦点为 F，过 F 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于 R、S 两点，若线段 RS 的长 为. 10 3 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 Q(9，m)是直线 x9 上的点，直线 QA、QB 与椭圆 C 分别交于点 M、N，求证： 直线 MN 必过 x 轴上的一定点，并求出此定点的坐标 解：(1)依题意，椭圆过点， ( 2，5 3 ) 故Error!解得Error! 所以椭圆 C 的方程为 1. x2 9 y2 5 (2)由题意知，直线 QA 的方程为 y(x3)，代入椭圆方程， m 12 得(8

4、0m2)x26m2x9m27200， 设 M(x1，y1)，则3x1x1， 9m2720 m280 2403m2 m280 所以 y1(x13)， m 12 m 12( 2403m2 m280 3) 40m m280 故点 M 的坐标为. ( 2403m2 m280 ， 40m m280) 同理， 直线 QB 的方程为 y (x3)， 代入椭圆方程， 得(20m2)x26m2x9m2180 m 6 0， 设 N(x2，y2)，则 3x2x2， 9m2180 m220 3m260 m220 所以 y2 (x23)， m 6 m 6( 3m260 m220 3) 20m m220 故点 N 的坐标

5、为. ( 3m260 m220 ， 20m m220) 若m240，直线 MN 的方程为 x1，与 x 轴交于点(1,0)； 2403m2 m280 3m260 m220 若 m240，直线 MN 的方程为 y， 20m m220 10m 40m2(x 3m260 m220 ) 令 y0，解得 x1. 综上所述，直线 MN 必过 x 轴上的定点(1,0) “2 道”拉分题专练卷(二) 1(2013温州八校联考)已知函数 f(x)ex2x23x. (1)求曲线 yf(x)在点(1，f(x)处的切线方程； (2)当 x 时，若关于 x 的不等式 f(x) x2(a3)x1 恒成立，试求实数 a 的

6、取值范 1 2 5 2 围 解：(1)f(x)ex4x3，则 f(1)e1， 又 f(1)e1，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 ye1(e1)(x1)，即(e 1)xy20. (2)由 f(x) x2(a3)x1，得 5 2 ex2x23x x2(a3)x1， 5 2 即 axex x21. 1 2 x ，a 1 2 ex1 2x 21 x 令 g(x). ex1 2x 21 x 则 g(x). exx11 2x 21 x2 令 (x)ex(x1) x21， 1 2 则 (x)x(ex1) x ，(x)0，(x)在上单调递增， 1 2 1 2，) (x) 0， ( 1 2 )

7、 7 8 1 2 e 因此 g(x)0，故 g(x)在上单调递增， 1 2，) 则 g(x)g2 . ( 1 2 ) e1 81 1 2 e 9 4 a 的取值范围是. ( ，2 e9 4 2经过点 F(0,1)且与直线 y1 相切的动圆的圆心轨迹为 M.点 A、D 在轨迹 M 上， 且关于 y 轴对称， 过线段 AD(两端点除外)上的任意一点作直线 l， 使直线 l 与轨迹 M 在点 D 处的切线平行，设直线 l 与轨迹 M 交于点 B、C. (1)求轨迹 M 的方程； (2)证明：BADCAD； (3)若点 D 到直线 AB 的距离等于|AD|，且ABC 的面积为 20，求直线 BC 的方

8、程 2 2 解：(1)法一：设动圆圆心为(x，y)，依题意得，|y1|.x2y12 整理，得 x24y.所以轨迹 M 的方程为 x24y. 法二：设动圆圆心为 P，依题意得点 P 到定点 F(0,1)的距离和点 P 到定直线 y1 的 距离相等， 根据抛物线的定义可知，动点 P 的轨迹是抛物线 且其中定点 F(0,1)为焦点，定直线 y1 为准线 所以动圆圆心 P 的轨迹 M 的方程为 x24y. (2)证明：由(1)得 x24y，即 y x2，则 y x. 1 4 1 2 设点 D，由导数的几何意义知，直线 l 的斜率为 kBC x0. ( x0，1 4x 2 0 ) 1 2 由题意知点 A

9、，设点 C，B，则 kBC x0， ( x0，1 4x 2 0 )( x1，1 4x 2 1 )( x2，1 4x 2 2 ) 1 4x 2 11 4x 2 2 x1x2 x1x2 4 1 2 即 x1x22x0. 因为 kAC，kAB， 1 4x 2 11 4x 2 0 x1x0 x1x0 4 1 4x 2 21 4x 2 0 x2x0 x2x0 4 所以 kACkAB0，即 kACkAB. x1x0 4 x2x0 4 x 1x22x0 4 所以BADCAD. (3)法一：由点 D 到 AB 的距离等于|AD|，可知BAD45. 2 2 不妨设点 C 在 AD 上方，即 x2x1，直线 AB

10、 的方程为 y x (xx0) 1 4 2 0 由Error! 解得点 B 的坐标为. ( x04，1 4 x 0 4 2 ) 所以|AB|(x04)(x0)|2|x02|.22 由(2)知CADBAD45， 同理可得|AC|2|x02|.2 所以ABC 的面积 S 2|x02|2|x02|4|x 4|20，解得 x03. 1 2 22 2 0 当 x03 时，点 B 的坐标为，kBC ， ( 1，1 4) 3 2 直线 BC 的方程为 y (x1)，即 6x4y70. 1 4 3 2 当 x03 时，点 B 的坐标为，kBC ， ( 7，49 4 ) 3 2 直线 BC 的方程为 y (x7)，即 6x4y70. 49 4 3 2 法二：由点 D 到 AB 的距离等于|AD|，可知BAD45. 2 2 由(2)知CADBAD45，所以CAB90，即 ACAB. 由(2)知 kAC，kAB， x1x0 4 x2x