高考数学专题复习：专题3数列 第1讲

1、专题三第一讲专题三第一讲 一、选择题 1(文)(2014东北三省三校联考)等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a2a4a6 12， 则 S7的值是() A21 B24 C28 D7 答案C 解析a2a4a63a412，a44， 2a4a1a78，S728. 7a1a7 2 7 8 2 (理)(2013新课标理，7)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，Sm12，Sm0，Sm1 3，则 m() A3B4 C5D6 答案C 解析SmSm1am2，Sm1Smam13， dam1am321， Sma1m10， mm1 2 ama1(m1)12， a13m. 代入得 3mm2 0， m2 2 m 2

2、 m0(舍去)或 m5，故选 C. 2(文)已知 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 S11，4，则的值为() S4 S2 S6 S4 A. B. 9 4 3 2 C. D4 5 3 答案A 解析由等差数列的性质可知 S2，S4S2，S6S4成等差数列，由4 得3， S4 S2 S4S2 S2 则 S6S45S2， 所以 S44S2，S69S2， . S6 S4 9 4 (理)(2014全国大纲文， 8)设等比数列an的前 n 项和为 Sn.若 S23， S415， 则 S6() A31B32 C63D64 答案C 解析解法 1：由条件知：an0，且Error! Error!q2. a11，

3、S663. 126 12 解法 2： 由题意知， S2， S4S2， S6S4成等比数列， 即(S4S2)2S2(S6S4)， 即 1223(S6 15)，S663. 3(文)设 Sn为等比数列an的前 n 项和，且 4a3a60，则() S6 S3 A5B3 C3D5 答案D 解析4a3a60，4a1q2a1q5，a10，q0， q34，1q35. S6 S3 a11q6 1q a11q3 1q 1q6 1q3 (理)(2013新课标理，3)等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S3a210a1，a59， 则 a1() A.B 1 3 1 3 C.D 1 9 1 9 答案C 解析S3a2

4、10a1，a1a2a3a210a1，a39a1a1q2，q29， 又a59，9a3q29a3，a31， 又 a39a1，故 a1 . 1 9 4(2014新乡、许昌、平顶山调研)设an是等比数列，Sn是an的前 n 项和，对任意 正整数 n，有 an2an1an20，又 a12，则 S101的值为() A2B200 C2D0 答案A 解析设公比为 q，an2an1an20，a12a2a30，a12a1qa1q20， q22q10，q1，又a12， S1012. a11q101 1q 211101 11 5 (2014哈三中二模)等比数列an， 满足 a1a2a3a4a53， a a a a a

5、 2 12 23 22 42 5 15，则 a1a2a3a4a5的值是() A3B. 5 CD55 答案D 解析由条件知Error!，5， a11q5 1q a1a2a3a4a55. a11q5 1q a11q5 1q 6 (2013镇江模拟)已知公差不等于 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn， 如果 S321， a7是 a1与 a5的等比中项，那么在数列nan中，数值最小的项是() A第 4 项B第 3 项 C第 2 项D第 1 项 答案B 解析设等差数列an的公差为 d，则由 S3a1a2a33a221，得 a27，又 由 a7是 a1与 a5的等比中项，得 a a1a5，即(a25

6、d)2(a2d)(a23d)，将 a27 代入， 2 7 结合 d0，解得 d2，则 nanna2(n2)d2n211n，对称轴方程 n2 ，又 nN*， 3 4 结合二次函数的图象知，当 n3 时，nan取最小值，即在数列nan中数值最小的项是第 3 项 二、填空题 7 (2013广东六校联考)设曲线 yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标 为 xn，则 log2013x1log2013x2log2013x2012的值为_ 答案1 解析因为 y(n1)xn，所以在点(1,1)处的切线的斜率 kn1， 所以n1，所以 xn， 01 xn1 n n1 所以 log201

7、3x1log2013x2log2013x2012 log2013(x1x2x2012) log2013( ) 1 2 2 3 2012 2013 log20131. 1 2013 8 (2014中原名校二次联考)若bn为等差数列， b24， b48.数列an满足 a11， bn an1an(nN*)，则 a8_. 答案57 解析bnan1an，a8(a8a7)(a7a6)(a2a1)a1b7b6b1 a1. 由bn为等差数列，b24，b48 知 bn2n 数列bn的前 n 项和为 Snn(n1) a8S7a17(71)157. 9(2014辽宁省协作校联考)若数列an与bn满足 bn1anbn

8、an1(1)n1，bn ，nN，且 a12，设数列an的前 n 项和为 Sn，则 S63_. 31n1 2 答案560 解析bnError!， 又 a12， a21， a34， a42， a56， a6 31n1 2 3， S63a1a2a3a63(a1a3a5a63)(a2a4a6a62)(246 64)(12331)1056496560. 三、解答题 10(2014豫东、豫北十所名校联考)已知 Sn为数列an的前 n 项和，且 a2S231，an 13an2n(nN*) (1)求证：an2n为等比数列； (2)求数列an的前 n 项和 Sn. 解析(1)由 an13an2n可得 an12n

9、13an2n2n13an32n3(an2n)， 又 a23a12，则 S2a1a24a12， 得 a2S27a1431，得 a15，a12130， 3，故an2n为等比数列 an12n1 an2n (2)由(1)可知 an2n3n1(a12)3n，故 an2n3n， Sn2n1 . 212n 12 313n 13 3n1 2 7 2 一、选择题 11(文)(2013山西四校联考)已知等比数列an中，各项都是正数，且 a1， a3,2a2成等 1 2 差数列，则() a8a9 a6a7 A1B122 C32D3222 答案C 解析由条件知 a3a12a2， a1q2a12a1q， a10，q22

10、q10， q0，q1，2 q232. a8a9 a6a7 2 (理)在等差数列an中，a1a2a33，a18a19a2087，则此数列前 20 项的和等于 () A290B300 C580D600 答案B 解析由 a1a2a33，a18a19a2087 得， a1a2030， S20300. 20 a1a20 2 12(文)已知数列an，bn满足 a1b11，an1an2，nN，则数列ban bn1 bn 的前 10 项的和为() A. (491)B. (4101) 4 3 4 3 C. (491)D. (4101) 1 3 1 3 答案D 解析由 a11，an1an2 得，an2n1， 由2

11、，b11 得 bn2n1， bn1 bn ban2an122(n1)4n1， 数列ban前 10 项和为 (4101) 1 410 1 41 1 3 (理)若数列an为等比数列，且 a11，q2，则 Tn等于() 1 a1a2 1 a2a3 1 anan1 A1B. (1) 1 4n 2 3 1 4n C1D. (1) 1 2n 2 3 1 2n 答案B 解析因为 an12n12n1，所以 anan12n12n24n1， 所以 ( )n1，所以也是等比数列， 1 anan1 1 2 1 4 1 anan1 所以 Tn (1)，故选 B. 1 a1a2 1 a2a3 1 anan1 1 2 1

12、1 1 4n 11 4 2 3 1 4n 13给出数列 ，在这个数列中，第 50 个值等于 1 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1 1 k 2 k1 k 1 的项的序号是() A4900B4901 C5000D5001 答案B 解析根据条件找规律，第 1 个 1 是分子、分母的和为 2，第 2 个 1 是分子、分母的 和为 4，第 3 个 1 是分子、分母的和为 6，第 50 个 1 是分子、分母的和为 100，而分子、 分母的和为 2 的有 1 项，分子、分母的和为 3 的有 2 项，分子、分母的和为 4 的有 3 项，分子、分母的和为 99 的有 98 项，分子、分母的和为 1

13、00 的项依次是：， ， 1 99 2 98 ， ， ， ， 第 50 个 1 是其中第 50 项， 在数列中的序号为 1239850 3 97 50 50 51 49 99 1 504901. 98198 2 点评本题考查归纳能力，由已知项找到规律，“1”所在项的特点以及项数与分子、分 母的和之间的关系，再利用等差数列求和公式即可 14(2014唐山市一模)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 a1a3 ，a2a4 ， 5 2 5 4 则() Sn an A4n1B4n1 C2n1D2n1 答案C 解析设公比为 q，则 a1(1q2) ，a2(1q2) ，q ，a1 a1 ，a12.

14、5 2 5 4 1 2 1 4 5 2 ana1qn12( )n1，Sn41( )n，2(2n1 ) 1 2 211 2 n 11 2 1 2 Sn an 411 2 n 2 1 2 n1 1 2 2n1. 点评用一般解法解出 a1、q，计算量大，若注意到等比数列的性质及求，可简明解 Sn an 答如下： a2a4q(a1a3)，q ， 1 2 2n1. Sn an a11qn 1q a1qn1 1qn 1qqn1 1 1 2n 1 2 1 2n1 二、填空题 15(2014新乡、许昌、平顶山调研)如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称 为一个群，从上到下顺次为第一群，第二群，第 n 群

15、，第 n 群恰好 n 个数，则第 n 群中 n 个数的和是_ 答案32n2n3 解析由图规律知， 第 n 行第 1 个数为 2n1， 第 2 个数为 32n2， 第 3 个数为 52n3 设这 n 个数的和为 S 则 S2n132n252n3(2n3)2(2n1)20 2Sn2n32n152n2(2n3)22(2n1)21 得 Sn2n22n122n222222(2n1) 2n2n2n12322(2n1) 2n(2n1) 412n1 12 2n2n142n1 32n2n3. 16在数列an中，若 a ap(n2，nN*)(p 为常数)，则称an为“等方差数 2 n2n1 列” 下列是对“等方差

16、数列”的判断： 若数列an是等方差数列，则数列a 是等差数列； 2 n 数列(1)n是等方差数列； 若数列an既是等方差数列，又是等差数列，则该数列必为常数列； 若数列an是等方差数列，则数列akn(k 为常数，kN*)也是等方差数列 其中正确命题的序号为_ 答案 解析由等方差数列的定义、等差数列、常数列的定义知均正确 三、解答题 17 (文)(2013浙江理， 18)在公差为 d 的等差数列an中， 已知 a110， 且 a1,2a22,5a3 成等比数列 (1)求 d，an； (2)若 d0，求|a1|a2|a3|an|. 解析(1)由题意得 a15a3(2a22)2，a110， 即 d2

17、3d40.故 d1 或 d4. 所以 ann11，nN*或 an4n6，nN*. (2)设数列an的前 n 项和为 Sn.因为 d0， 由(1)得 d1，ann11.则 当 n11 时，|a1|a2|a3|an|Sn n2n. 1 2 21 2 当 n12 时，|a1|a2|a3|an|Sn2S11 n2n110. 1 2 21 2 综上所述，|a1|a2|a3|an| Error! (理)(2013天津十二区县联考)已知函数 f(x)，数列an满足 a11，an1f()， 2x3 3x 1 an nN*. (1)求数列an的通项公式； (2)令 bn(n2)，b13，Snb1b2bn，若 S

18、n对一切 nN*成立， 1 an1an m2004 2 求最小的正整数 m. 解析(1)an1f()an ， 1 an 23an 3 2 3 an是以 为公差，首项 a11 的等差数列， 2 3 an n . 2 3 1 3 (2)当 n2 时， bn 1 an1an 1 2 3n 1 3 2 3n 1 3 ()， 9 2 1 2n1 1 2n1 当 n1 时，上式同样成立 Snb1b2bn (1 ) 9 2 1 3 1 3 1 5 1 2n1 1 2n1 (1)， 9 2 1 2n1 Sn，即 (1)对一切 nN*成立， m2004 2 9 2 1 2n1 m2004 2 又 (1)随 n 递增，且 (1)成立的最小正整数 n 的 2 2n1an 9 10 值 解析本题主要考查等差数列的概念及有关计算，数列求和的方法，简单分式不等式 的解法，化归转化思想及运算求解能力等 (1)解法 1：an是等差数列， Snna1dna12 nn1 2 nn1 2 n2(a11)n. 又由已知 Snpn22n， p1，a112，a13， ana1(n1)d2n1，p1，an2n1. 解法 2：由已知 a1S1p2，S24p4， 即 a1a24p4，a23p2. 又等差数列的公差为 2，a2a12， 2p2，p1，a1p23， a