高考数学专题复习（精选精讲）练习3-正弦定理习题精选精讲

1、正、余弦定理的五大命题热点 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。在 近年高考中主要有以下五大命题热点： 一、求解斜三角形中的基本元素一、求解斜三角形中的基本元素 是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题 例 1(2005 年全国高考江苏卷) 中，BC3，则的周长为（ ）ABC 3 AABC A BC D3 3 sin34 B3 6 sin34 B3 3 sin6 B3 6 sin6 B 分析：由正弦定理，求出 b 及 c，或整体求出

2、bc，则周长为 3bc 而得到结果 解：由正弦定理得：， 3 2 sinsinsinsin sinsinsin() 33 bcbcbc BCBC BB 得 bcsinBsin(B)故三角形的周长为：3bc，故选(D)2 3 2 3 6sin() 6 B 3 6 sin6 B 评注：由于本题是选择题也可取ABC 为直角三角形时，即 B，周长应为 33，故排除(A)、(B)、(C)而选(D) 6 3 例 2(2005 年全国高考湖北卷) 在ABC 中，已知，AC 边上的中线 BD=，求 sinA 的值 6 6 cos, 3 64 BAB5 分析：本题关键是利用余弦定理，求出 AC 及 BC，再由正

3、弦定理，即得 sinA 解：设 E 为 BC 的中点，连接 DE，则 DE/AB，且，设 BEx 3 62 2 1 ABDE 在BDE 中利用余弦定理可得：，BEDEDBEEDBEBDcos2 222 ，解得，（舍去）xx 6 6 3 62 2 3 8 5 2 1x 3 7 x 故 BC=2，从而，即又， 3 28 cos2 222 BBCABBCABAC 3 212 AC 6 30 sinB 故， 2 21 2 3 sin30 6 A 14 70 sinA 二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状 例

4、 3(2005 年北京春季高考题)在中，已知，那么一定是（ ）ABCCBAsincossin2ABC A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形 解法 1：由sin(AB)sinAcosBcosAsinB，CBAsincossin2 即 sinAcosBcosAsinB0，得 sin(AB)0，得 AB故选(B) 解法 2：由题意，得 cosB，再由余弦定理，得 cosB sin 2sin2 Cc Aa 222 2 acb ac ，即 a2b2，得 ab，故选(B) 222 2 acb ac 2 c a 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：统一化为角，再判断(如解法 1)，

5、统一化为边，再判断(如解法 2) 三、三、 解决与面积有关问题解决与面积有关问题 主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题 例 4(2005 年全国高考上海卷) 在中，若，ABC120A 5AB 7BC 则的面积 S_ABC 分析：本题只需由余弦定理，求出边 AC，再运用面积公式 SABACsinA 即可解决 2 1 解：由余弦定理，得 cosA ，解得 AC3 2222 25491 2102 ABACBCAC ABACAC SABACsinA ABACsinAACh，得 hAB sinA，故选(A) 2 1 4 315 2 1

6、2 1 2 23 四、求值问题四、求值问题 例 5(2005 年全国高考天津卷) 在中，所对的边长分别为，ABCCBA、cba、 设满足条件和，求和的值cba、 222 abccb3 2 1 b c ABtan 分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理 解：由余弦定理，因此， 2 1 2 cos 222 bc acb A60A 在ABC 中，C=180AB=120B. 由已知条件，应用正弦定理 B B B C b c sin )120sin( sin sin 3 2 1 解得从而, 2 1 cot 2 3 sin sin120coscos120sin B B BB , 2c

7、otB. 2 1 tanB 五、正余弦定理解三角形的实际应用五、正余弦定理解三角形的实际应用 利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下： （一.）测量问题 例 1 如图 1 所示，为了测河的宽度，在一岸边选定 A、B 两点，望对岸标记物 C， 测得CAB=30，CBA=75，AB=120cm，求河的宽度。 分析：求河的宽度，就是求ABC 在 AB 边上的高，而在河的一边，已测出 AB 长、CAB、CBA，这个三角形可确定。 解析：由正弦定理得，AC=AB=120m，又 sinsin ACAB CBAACB ，解得 CD=60

8、m。 11 sin 22 ABC SAB ACCABAB CD 点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。 （二.）遇险问题 例 2 某舰艇测得灯塔在它的东 15北的方向，此舰艇以 30 海里/小时的速度向正 东前进，30 分钟后又测得灯塔在它的东 30北。若此灯塔周围 10 海里内有暗礁，问 此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？ 解析：如图舰艇在 A 点处观测到灯塔 S 在东 15北的方向上；舰艇航行半小时 西 北 南 东 ABC 3015 图 2 图 1 A B C D 后到达 B 点，测得 S 在东 30北的方向上。 在ABC 中， 可知 AB=300.5=15，AB

9、S=150，ASB=15，由正弦定理得 BS=AB=15，过点 S 作 SC直线 AB，垂足为 C，则 SC=15sin30=7.5。 这表明航线离灯塔的距离为 7.5 海里，而灯塔周围 10 海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。 点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1） 准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语； （2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3） 分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。 （三.）追击问题 例 3 如图 3，甲船在 A 处，乙船在 A 处的南偏东 45 方向，距 A 有 9n mi

10、le 并以 20n mile/h 的速度沿南 偏西 15方向航行，若甲船以 28n mile/h 的速度航 行，应沿什么方向，用多少 h 能尽快追上乙船？ 解析：设用 t h，甲船能追上乙船，且在 C 处相遇。 在ABC 中，AC=28t，BC=20t，AB=9， 设ABC=，BAC=。 =1804515=120。根据余弦定理， 222 2cosACABBCAB BC ， （4t3） （32t+9）=0， 221 2881202 9 20() 2 ttt 2 12860270tt 解得 t=，t=（舍） 3 4 9 32 AC=28=21 n mile，BC=20=15 n mile。 3 4

11、 3 4 根据正弦定理，得，又=120， 为锐角，=arcsin，又，arcsin 3 15 sin5 3 2 sin 2114 BC AC 5 3 14 5 3 14 7 2 14 2 2 ， 5 3 144 甲船沿南偏东arcsin的方向用h 可以追上乙船。 4 5 3 14 3 4 点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ABC、AB 边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知， 所以，这两边均与时间 t 有关。这样根据余弦定理，可列出关于 t 的一元二次方程，解出 t 的值。 五、交汇问题五、交汇问题 是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体

12、几何(特别是求角与距离)、解析几何、实际问题等知识交汇 例 6(2005 年全国高考卷三试题)ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a，b，c 成等比数列，. 4 3 cosB （）求 cotA+cotC 的值； （）设，求 ac 的值. 3 2 BA BC 分析：本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理、余弦定理等 解：（）由, 4 7 ) 4 3 (1sin, 4 3 cos 2 BB得 由 b2=ac 及正弦定理得 .sinsinsin 2 CAB 则 11coscossincoscossin cotcot tantansinsinsin

13、sin ACCACA AC ACACAC 图 3 A B C 北 45 15 22 sin()sin14 7. sinsinsin7 ACB BBB （）由，得 cacosB，由B，可得 ac2，即 b22 3 2 BA BC 3 2 3 4 由余弦定理 b2=a2+c22ac+cosB， 得 a2+c2=b2+2accosB=5. 3, 9452)( 222 caaccaca 易错题解析易错题解析 例题 1在不等边ABC 中，a 为最大边，如果，求 A 的取值范围。abc 222 错解：。则abcbca 222222 0， ，由于 cosA 在（0，180）上为减函数cos A bca bc

14、 222 2 0 且cos90090，A 又A 为ABC 的内角，0A90。 辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是为最大边，而错解中只把 a 看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。a 正解：由上面的解法，可得 A90。 又a 为最大边，A60。因此得 A 的取值范围是（60，90） 。 例题 2在ABC 中，若，试判断ABC 的形状。 a b A B 2 2 tan tan 错解：由正弦定理，得 sin sin tan tan 2 2 A B A B 即 sin sin sin cos cos sin sinsin 2 2 00 A B A A B B AB， 。，即sincossin

15、cossinsinAABBAB22 2A2B，即 AB。故ABC 是等腰三角形。 辨析：由，得 2A2B。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。sinsin22AB 正解：同上得，2Asinsin22AB22kB 或。222AkB kZ() 或。000AbkAB，则AB 2 故ABC 为等腰三角形或直角三角形。 例题 3在ABC 中，A60，b1，求的值。S ABC 3 abc ABC sinsinsin 错解：A60，b1，又，S ABC 3S ABC 1 2 bcAsin ，解得 c4。3 1 2 csin60 由余弦定理，得abcbcA 22 2116860

16、coscos13 又由正弦定理，得。sinsinCB 6 39 3 2 39 ， 。 abc ABC sinsinsin 1314 3 2 3 2 39 6 39 辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。 正解：由已知可得。由正弦定理，得ca413， 。2 13 60 2 39 3 R a A sinsin abc ABC R sinsinsin 2 2 39 3 例题 4在ABC 中，C30，求 ab 的最大值。c 62 错解：C30，AB150，B150A。 由正弦定理，得 a A b Asinsin()sin 150 62 30 ，aA262()sin bA26

17、2150()sin() 又sinsin()AA11501， 。ab262262462()()() 故的最大值为。ab462() 辨析：错因是未弄清 A 与 150A 之间的关系。这里 A 与 150A 是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA 与 sin(150A)不能 同时取最大值 1，因此所得的结果也是错误的。 正解：C30，AB150，B150A。 由正弦定理，得 a A b Asinsin()sin 150 62 30 因此abAA262150()sinsin() 2( 62) sin75 cos(75 ) 62 4( 62)cos(75 ) 4 (84 3)cos(75 )84

18、3 A A A ab 的最大值为。84 3 例题 5在ABC 中，已知 a2，b，C15，求 A。2 2 错解：由余弦定理，得cabab 222 215cos 62 482 2 2 284 3 4 。c 62 又由正弦定理，得sin sin A aC c 1 2 而。 0000 018030150AAA， 或 辨析 ： 由题意，。因此 A150是不可能的。错因是没有认真审题，未利用隐含条件。在解题时，要善于应用题中的条件，baBA 特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生。 正解：同上，cAba62 1 2 ，sin 。 000 018030BAAA，且， 例题 6在ABC 中，判断A

19、BC 的形状。coscosAb 错解：在ABC 中，由正弦定理aAbBcoscos 得22RAARBBsincossincos sinsin222222180ABABAB，且 AB 且 AB90 故ABC 为等腰直角三角形。 辨析：对三角公式不熟，不理解逻辑连结词“或” 、 “且”的意义，导致结论错误。 正解：在ABC 中，由正弦定理，aAbBcoscos 得。2222RAARBBABsincossincossinsin， 2A2B 或 2A2B180，AB 或 AB90。 故ABC 为等腰三角形或直角三角形。 例题 7若 a，b，c 是三角形的三边长，证明长为的三条线段能构成锐角三角形。ab

20、c， 错解：不妨设，只要考虑最大边的对角为锐角即可。0 abc 。cos ()()() abc a b abc ab 222 22 由于 a，b，c 是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有，即。abccos 0 长为的三条线段能构成锐角三角形。abc， 辨析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：三条边满足三角形边长关系；最长线段的对角是锐角。显然错解只验证了第二个条 件，而缺少第一个条件。 正解：由错解可得cos 0 又abc abcabc abc ()() 2 ()2 0 abcabcab abcabcabc 即长为的三条线段能构成锐角三角形。abc， 高考试题展示 1、 （06 湖北

21、卷）湖北卷）若的内角满足，则ABCA 2 sin2 3 A sincosAA A. B C D 15 3 15 3 5 3 5 3 解：由 sin2A2sinAcosA0，可知 A 这锐角，所以 sinAcosA0， 又，故选 A 2 5 (sincos)1 sin2 3 AAA 2、 （06 安徽卷）安徽卷）如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则 111 ABC 222 A B C A和都是锐角三角形 111 ABC 222 A B C B和都是钝角三角形 111 ABC 222 A B C C是钝角三角形，是锐角三角形 111 ABC 222 A B C D是锐角三角形，是钝

22、角三角形 111 ABC 222 A B C 解 ：解 ：的三个内角的余弦值均大于 0， 则是锐角三角形， 若是锐角三角形， 由， 111 ABC 111 ABC 222 A B C 211 211 211 sincossin() 2 sincossin() 2 sincossin() 2 AAA BBB CCC 得，那么，所以是钝角三角形。故选 D。 21 21 21 2 2 2 AA BB CC 222 2 ABC 222 A B C 3、 （06 辽宁卷）辽宁卷）的三内角所对边的长分别为设向量ABC, ,A B C, ,a b c ,若,则角的大小为(, )pac b (,)qba ca

23、 /pq C (A) (B) (C) (D) 6 3 2 2 3 【解析】【解析】，利用余弦定理可得，即，故 222 /()()()pqac cab babacab 2cos1C 1 cos 23 CC 选择答案 B。 【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。 4、 （06 辽宁卷）辽宁卷）已知等腰的腰为底的 2 倍，则顶角的正切值是（）ABCA 3 2 3 15 8 15 7 解：解：依题意，结合图形可得，故，选 D 15 tan 215 A 2 2 15 22tan 15 152 tan 715 1 tan 1 () 2 15

24、A A A 5、 （06 全国卷 I）（06 全国卷 I）的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a、b、c 成等比数列，且，则ABC2cacosB A B C D 1 4 3 4 2 4 2 3 解：解：中，a、b、c 成等比数列，且，则 b=a，ABC2ca2 =，选 B. 222 cos 2 acb B ac 222 2 423 44 aaa a 6、06 山东卷）06 山东卷）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A=,a=,b=1，则 c= 3 3 (A) 1 （B）2 （C）1 （D）33 解：解：由正弦定理得 sinB，又 ab，所以 AB，故 B30

25、，所以 C90，故 c2，选 B 1 2 7、 （06 四川卷）四川卷）设分别是的三个内角所对的边，则是的, ,a b cABC, ,A B C 2 ab bc2AB （A）充要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件 解析：解析：设分别是的三个内角所对的边，若，, ,a b cABC, ,A B C 2 ab bc 则，则， 2 sinsin(sinsin)ABBC 1 cos21 cos2 sinsin 22 aB BC ， 1 (cos2cos2 )sinsin 2 BABCsin()sin()sinsinBAABBC 又， ， ，sin()sinA

26、BCsin()sinABBABB2AB 若ABC 中，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到，2AB 2 ab bc 所以是的充要条件，选 A. 2 ab bc2AB 8、 （06 北京卷）在中，若，则的大小是_.ABCsin:sin:sin5:7:8ABC B 解： abc578 设 a5k，b7k，c8k，sin:sin:sin5:7:8ABC 由余弦定理可解得的大小为.B 3 9、 （06 湖北卷）湖北卷）在ABC 中，已知，b4，A30，则 sinB . 4 33 a 3 2 解：由正弦定理易得结论 sinB。 3 2 10、 （06 江苏卷）江苏卷）在ABC 中，已知 BC12，A60

27、，B45，则 AC 【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识 【正确解答】由正弦定理得，解得 sin45sin60 ACBC 4 6AC 【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理 11、 （06 全国全国 II）已知ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，且 AB1，BC4，则边 BC 上的中线 AD 的长为 解析: 由的三个内角 A、B、C 成等差数列可得 A+C=2B 而 A+B+C=可得ABC 3 B AD 为边 BC 上的中线可知 BD=2,由余弦定理定理可得 。 3AD 本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。

28、12、 （06 上海春）上海春）在中，已知，三角形面积为 12，ABC5, 8ACBC 则 .C2cos 解：解：由三角形面积公式，得，即 1 sin20sin12 2 BCCACC 3 sin 5 C 于是从而应填 2 7 cos21 2sin 25 CC 7 25 13、 （06 湖南卷）湖南卷）如图 3,D 是直角ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记CAD=,ABC=. （1）证明 ;sincos20 （2）若 AC=DC,求的值.3 解：(1)如图 3，(2 )2,sinsin(2)cos2 222 即sincos20 （2） 在中，由正弦定理得ABC 3 ,.sin3sin s

29、insin()sinsin DCACDCDC 由(1)得，sincos2 2 sin3cos23(12sin), 即 2 33 2 3sinsin30.sinsin 23 解得或 3 0,sin,. 223 14、 （06 江西卷）江西卷）在锐角中，角所对的边分别为，ABCABC， ，abc， ， 已知， 2 2 sin 3 A （1）求的值； 22 tansin 22 BCA （2）若，求的值2a 2 ABC S b 解：（1）因为锐角ABC 中，ABC，所以 cosA，则 2 2 sin 3 A 1 3 BDC A 图 3 2 222 2 BC sin BCAA 2 tansinsin B

30、C 222 cos 2 1cos BC11cosA17 1cosA 1cosBC21cosA33 （ ） （ ） （ ） （2），则 bc3。 ABCABC 112 2 S2SbcsinAbc 223 因为，又 将 a2，cosA，c代入余弦定理：中得 1 3 3 b 222 abc2bccosA 42 b6b90 解得 b 3 15、 （06 江西卷）江西卷）如图，已知ABC 是边长为 1 的正三角形， M、N 分别是边 AB、AC 上的点，线段 MN 经过ABC 的中心 G， 设MGA（） 2 33 （1）试将AGM、AGN 的面积（分别记为 S1与 S2）表示为的函数 （2）求 y的最大

31、值与最小值 22 12 11 SS 解：（1）因为 G 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心， 所以 AG，MAG， 233 323 6 由正弦定理得 GMGA sinsin 66 （ ） 3 GM 6sin 6 （ ） 则 S1GMGAsin，同理可求得 S2 1 2 sin 12sin 6 （ ） sin 12sin 6 （ ） （2）y72（3cot2） ， 22 12 11 SS 22 2 144 sinsin sin66 （ ）（ ） 因为，所以当或时，y 取得最大值 ymax240 2 33 3 2 3 当时，y 取得最小值 ymin216 2 16、 （06 全国卷 I）（0

32、6 全国卷 I）的三个内角为，求当 A 为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。ABCABC、 、cos2cos 2 BC A .解: 由 A+B+C=, 得 = , 所以有 cos =sin . B + C 2 2 A 2 B + C 2 A 2 cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin =2(sin )2+ B + C 2 A 2 A 2 A 2 A 2 1 2 3 2 当 sin = , 即 A=时, cosA+2cos取得最大值为 A 2 1 2 3 B + C 2 3 2 D A B C M N 17、 （06全国全国II）在,求 2 5 45 ,10,

33、cos 5 ABCBACC中， （1）?BC (2)若点DAB是的中点，求中线C D 的长度。 解：（1）由 2 55 cossin 55 CC得 23 10 sinsin(18045)(cossin) 210 ACCC 由正弦定理知 10 3 10 sin3 2 sin102 2 AC BCA B （2）， 105 sin2 sin52 2 AC ABC B 1 1 2 BDAB 由余弦定理知 22 2 2cos1 182 1 3 213 2 CDBDBCBD BCB 18、 （06 四川卷）四川卷）已知是三角形三内角，, ,A B CABC 向量，且 1, 3 ,cos ,sinmnAA

34、1m n （）求角；A （）若，求 22 1 sin2 3 cossin B BB tan B 解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。 （） 即1m n 1, 3cos ,sin1AA3sincos1AA , 31 2 sincos1 22 AA 1 sin 62 A 5 0, 666 AA 66 A 3 A （）由题知，整理得 22 12sincos 3 cossin BB BB 22 sinsincos2cos0BBBB cos0B 2 tantan20BB 或tan2B tan1B 而使，舍去 tan1B 2

35、2 cossin0BBtan2B tantanCAB tan AB tantan 1tantan AB AB 23 1 2 3 85 3 11 19、 （06 天津卷）天津卷）如图，在中，ABC2AC 1BC 4 3 cosC （1）求的值；AB （2）求的值. CA2sin 本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考察 基 本运算能力及分析解决问题的能力.满分 12 分. （）解： 由余弦定理， 222 2.cosABACBCAC BCC 3 4 12 2 12. 4 那么，2.AB （）解：由，且得 3 cos 4 C 0,C 2 7 sin1 co

36、s. 4 CC 由正弦定理，解得。, sinsin ABBC CA sin14 sin 8 BCC A AB 所以，。由倍角公式， 5 2 cos 8 A 5 7 sin2sin2cos 16 AAA 且， 2 9 cos212sin 16 AA 故. 3 7 sin 2sin2 coscos2 sin 8 ACACAC 20、 （07 重庆理 5）在中，则 BC =（ ）ABC,75,45, 3 00 CAAB A. B. C.2 D.33233 【答案】：【答案】：A 【分析】【分析】：由正弦定理得： 00 3,45 ,75 ,ABAC 3 , sinsinsin45sin7562 4 a

37、cBCAB AC 33.BC 21、 （07 北京文 12 理 11）在中，若，则ABC 1 tan 3 A 150C 1BC AB 解析：在中，若， A 为锐角，则根据正弦定理ABC 1 tan 3 A 150C 1 sin 10 A 1BC AB sin sin BCC A =。 10 2 22、 （07 湖南理 12）在中，角所对的边分别为，若，b=，ABCABC， ，abc， ，1a 7 ，则 3c B 【答案】 5 6 【解析】由正弦定理得，所以 1 373 cos, 22 13 B 5 . 6 B 23、 （07 湖南文 12） 在中，角 A、B、C 所对的边分别为，ABCabc、

38、 、 若，则 A=.1,3, 3 acC 【解析】由正弦定理得，所以 A= 2 1 3 2 3 sin sin sinsin c Ca A C c A a 6 24、 （07 重庆文 13）在ABC 中，AB=1,BC=2,B=60，则 AC。 【答案】：【答案】：3 【分析】【分析】：由余弦定理得： 222 122 1 2 cos603.3.ACAC 24、 （07 北京文理 13）2002 年在北京召开的国际数学家大会，会标 是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全 等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图） 如果 小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角

39、三角形中较小 的锐角为，那么的值等于cos2 解析：图中小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25， 每一个直角三角形的面积是 6，设直角三角形的两条直角边长分别为 a, b，则 ， 22 25 1 6 2 ab ab 两条直角边的长分别为 3，4， 设直角三角形中较小的锐角为，cos=，cos2=2cos21=。 5 47 25 25、 （07 福建理 17）在中，ABC 1 tan 4 A 3 tan 5 B （）求角的大小；C （）若最大边的边长为，求最小边的边长ABC17 本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分 12 分 解：（）

40、，()CAB 13 45 tantan()1 13 1 45 CAB 又，0C 3 4 C （），边最大，即 3 4 C AB17AB 又，角最小，边为最小边tantan0ABAB ， ，ABC 由且， 22 sin1 tan cos4 sincos1 A A A AA ， ， 0 2 A ， 得由得： 17 sin 17 A sinsin ABBC CA sin 2 sin A BCAB C 所以，最小边2BC 26、 （07 广东理 16）已知顶点的直角坐标分别为，ABC(3 4)A ，(0 0)B ，( 0)C c， （1）若，求的值；5c sinA （2）若是钝角，求的取值范围Ac 解

41、析： （1），若 c=5， 则，( 3, 4)AB (3, 4)ACc (2, 4)AC ，sinA； 6 161 coscos, 5 2 55 AAC AB 2 5 5 2）若A 为钝角，则解得，c 的取值范围是； 39 160 0 c c 25 3 c 25 (,) 3 28、 （07 湖北理 16）已知的面积为，且满足，设和的夹角为ABC306AB AC AB AC （I）求的取值范围；（II）求函数的最大值与最小值 2 ( )2sin3cos2 4 f 本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力 解：（）设中角的对边分别为，AB

42、CABC， ，abc， ， 则由，可得， 1 sin3 2 bc0cos6bc0cot1 4 2 ， （） 2 ( )2sin3cos2 4 f 1 cos23cos2 2 (1 sin2 )3cos2 sin23cos212sin 21 3 ， 4 2 ， 2 2 363 ， 22sin 213 3 即当时，；当时， 5 12 max ( )3f 4 min ( )2f 29、 （07 全国卷 1 理 17）设锐角三角形的内角的对边分别为，ABCABC， ，abc， ，2 sinabA （）求的大小；B （）求的取值范围cossinAC 解：（）由，根据正弦定理得，所以，2 sinabAsi

43、n2sinsinABA 1 sin 2 B 由为锐角三角形得ABC 6 B （）cossincossinACAA cossin 6 AA 13 coscossin 22 AAA3sin 3 A 由为锐角三角形知，ABC 22 AB 2263 B ，所以 2 336 A 13 sin 232 A 由此有， 33 3sin3 232 A 所以，的取值范围为cossinAC 3 3 22 ， 30、 （07 全国卷 2 理 17）在中，已知内角，边设内角，周长为ABCA 2 3BC Bxy （1）求函数的解析式和定义域；( )yf x （2）求的最大值y 解：（1）的内角和，由得ABCABC 00A

44、BC ， 2 0B 应用正弦定理，知， 2 3 sinsin4sin sin sin BC ACBxx A 2 sin4sin sin BC ABCx A 因为，yABBCAC 所以， 22 4sin4sin2 3 0 3 yxxx （2）因为 1 4 sincossin2 3 2 yxxx ， 5 4 3sin2 3xx 所以，当，即时，取得最大值x x y6 3 32、 （07 山东文 17）在中，角的对边分别为ABCABC， ，tan3 7abcC ， ， ， （1）求；cosC （2）若，且，求 5 2 CB CA 9abc 解：（1） sin tan3 73 7 cos C C C

45、， 又解得 22 sincos1CC 1 cos 8 C ，是锐角tan0C C 1 cos 8 C （2）， 5 2 CB CA 5 cos 2 abC20ab 又9ab 22 281aabb 22 41ab 222 2cos36cababC6c 33、 （07 上海理 17）在中，分别是三个内角的对边ABCabc， ，ABC， ， 若，求的面积 4 , 2Ca 5 52 2 cos B ABCS 解： 由题意，得为锐角， 3 cos 5 BB， 5 4 sinB ， 10 27 4 3 sin)sin(sin BCBA 由正弦定理得 ， 7 10 c 111048 sin2 22757 S

46、acB 34、 （07 天津文 17）在中，已知，ABC2AC 3BC 4 cos 5 A （）求的值；sin B （）求的值sin 2 6 B 本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力满分 12 分 （）解：在中，ABC 2 2 43 sin1 cos1 55 AA 由正弦定理，所以 sinsin BCAC AB 232 sinsin 355 AC BA BC （）解：因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是 4 cos 5 A AB ， 2 2 221 cos1 sin1 55 BB ， 2 2117 cos22cos121 525 BB

47、2214 21 sin22sincos2 5515 BBB sin 2sin2 coscos2 sin 666 BBB 4 213171 252252 12 717 50 35、 （07 浙江理 18）已知的周长为，且ABC21sinsin2sinABC （I）求边的长；AB （II）若的面积为，求角的度数ABC 1 sin 6 CC 解：（I）由题意及正弦定理，得，21ABBCAC2BCACAB 两式相减，得1AB （II）由的面积，得，ABC 11 sinsin 26 BC ACCC 1 3 BC AC 由余弦定理，得， 222 cos 2 ACBCAB C AC BC 22 ()21 2

48、2 ACBCAC BCAB AC BC 所以60C 36、 （07 天津文理 15） 如图，在中，ABC是边120 ,2,1,BACABACD 上一点，则BC2,DCBDAD BC _. 【答案】 8 3 【分析】法一：由余弦定理得 222222 cos 22 ABACBCABADBD B ABACABBD 可得，7BC 13 , 3 AD 又夹角大小为，,AD BC ADB 222 3298 cos 29 4 13791 BDADAB ADB BDAD 所以 . 8 cos 3 AD BCADBCADB 法二：根据向量的加减法法则有:BCACAB ,此时 112 () 333 ADABBDA

49、BACABACAB 22 12122 ()() 33333 AD BCACAB ACABACAC ABAB . 1818 3333 正、余弦定理的五大命题热点 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。 在近年高考中主要有以下五大命题热点： A B D C 一、求解斜三角形中的基本元素 是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题 例 1(2005 年全国高考江苏卷) 中，BC3，则的周长为（ ）ABC 3 AABC A BC D3 3 sin

50、34 B3 6 sin34 B3 3 sin6 B3 6 sin6 B 分析：由正弦定理，求出 b 及 c，或整体求出 bc，则周长为 3bc 而得到结果 解：由正弦定理得：， 3 2 s ins ins ins in s ins ins in () 33 bcbcbc BCBC BB 得 bcsinBsin(B)故三角形的周长为：3bc，故选(D)2 3 2 3 6sin() 6 B 3 6 sin6 B 评注：由于本题是选择题也可取ABC 为直角三角形时，即 B，周长应为 33，故排除(A)、(B)、(C)而选(D) 6 3 例 2(2005 年全国高考湖北卷) 在ABC 中，已知，AC

51、边上的中线 BD=，求 sinA 的值 6 6 cos, 3 64 BAB5 分析：本题关键是利用余弦定理，求出 AC 及 BC，再由正弦定理，即得 sinA 解：设 E 为 BC 的中点，连接 DE，则 DE/AB，且，设 BEx 3 62 2 1 ABDE 在BDE 中利用余弦定理可得：，BEDEDBEEDBEBDcos2 222 ，解得，（舍去）xx 6 6 3 62 2 3 8 5 2 1x 3 7 x 故 BC=2，从而，即又，故， 3 28 cos2 222 BBCABBCABAC 3 212 AC 6 30 sinB 6 30 3 212 sin 2 A 14 70 sinA 二

52、、判断三角形的形状 给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状 例 3(2005 年北京春季高考题)在中，已知，那么一定是（ ）ABCCBAsincossin2ABC A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形 解法 1：由sin(AB)sinAcosBcosAsinB，即 sinAcosBcosAsinB0，得 sin(AB)0，得 AB故选CBAsincossin2 (B) 解法 2：由题意，得 cosB，再由余弦定理，得 cosB sin 2sin2 Cc Aa 222 2 acb ac ，即 a2b2，得 ab，故选(B) 222 2 acb ac 2 c a 评注：判

53、断三角形形状，通常用两种典型方法：统一化为角，再判断(如解法 1)，统一化为边，再判断(如解法 2) 三、 解决与面积有关问题 主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题 例 4(2005 年全国高考上海卷) 在中，若，则的面积 S_ABC120A 5AB 7BC ABC 分析：本题只需由余弦定理，求出边 AC，再运用面积公式 SABACsinA 即可解决 2 1 解：由余弦定理，得 cosA ，解得 AC3 2222 25491 2102 ABACBCAC ABACAC SABACsinA ABACsinAACh，得 hAB sinA，故选(A) 2 1 4 315 2 1 2 1

54、 2 23 四、求值问题 例 5(2005 年 全 国 高 考 天 津 卷 ) 在中 ，所 对 的 边 长 分 别 为， 设满 足 条 件ABCCBA、cba、cba、 和，求和的值 222 abccb3 2 1 b c ABtan 分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理 解：由余弦定理，因此， 在ABC 中，C=180AB=120B. 2 1 2 cos 222 bc acb A60A 由已知条件，应用正弦定理 B B B C b c sin )120sin( sin sin 3 2 1 解得从而, 2 1 cot 2 3 sin sin120coscos120sin

55、B B BB , 2cotB. 2 1 tanB 五、交汇问题 是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体几何(特别是求角与距离)、解析几何、实际问题等知识交汇 例 6(2005 年全国高考卷三试题)ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a，b，c 成等比数列，. 4 3 cosB （）求 cotA+cotC 的值； （）设，求 ac 的值. 3 2 BA BC 分析：本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理、余弦定理等 解：（）由由 b2=ac 及正弦定理得 , 4 7 ) 4 3 (1sin, 4 3 cos 2 BB得.sin

56、sinsin 2 CAB 则 B CA CA ACAC C C A A CA CA 2 sin )sin( sinsin sincoscossin sin cos sin cos tan 1 tan 1 cotcot .7 7 4 sin 1 sin sin 2 BB B （）由，得 cacosB，由B，可得 ac2，即 b22 3 2 BA BC 3 2 3 4 由余弦定理 b2=a2+c22ac+cosB，得 a2+c2=b2+2accosB=5. 3, 9452)( 222 caaccaca 正余弦定理解三角形的实际应用 利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下： 一、 测量问题 例 1 如图 1 所示，为了测河的宽度，在一岸边选定 A、B 两点，望对岸标记物 C， 测得CAB=30，CBA=75，AB=120cm，求河的宽度。 分析：求河的宽度，就是求ABC 在 AB 边上的高，而在河的一边，已测出 AB 长、CAB、CBA，这个三角形可确定。 解析：由正弦定理得，AC=AB=120m，又 sinsin