高考数学专题复习（精选精讲）练习4-三角函数方法公式精选精讲

1、三角函数方法谈 三角函数是数学的重点内容，也是高考考查的着力点，其中三角函数的概念与性质常以选择题、填空题的形式出现，三角恒等变换 常以解答题的形式出现，它们多是容易题或中档题，是不应失分的题目因为三角函数内容丰富、公式众多，考查形式灵活，其题目也绚 丽多姿本文针对三角函数的六类重、热点问题归纳总结，以巩固所学，提高能力，实现三角函数知识的升级 一、单调性问题 此类问题主要考查三角函数的增减性，各象限中各个三角函数值的符号等很多情况下，需要通过三角恒等变换将已知函数式化为一个 角的一个三角函数式的形式来求解 例 1（07 湖南文）已知函数 2 ( )12sin2sincos 888 f xxx

2、x 求：函数的单调增区间( )f x 解析： ( )cos(2)sin(2) 44 f xxx 2sin(2)2sin(2)2cos2 442 xxx 当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间2 22 kxk 2 kxkkZ( )2cos2f xx( )f x 是（） 2 kk，kZ 点评：在求单调区间时，要注意利用诱导公式、特殊角三角函数值、两角和与差公式、倍角公式、函数的性质等基sin()yAx 础知识，考查基本运算能力利用三角公式将所给函数化为一个角的三角函数。在求的单调区间时还应注意的sin()yAx 正、负，同学们可以自己求一下的单调递减区间，并与本例所求得的区间对比一下 2

3、sin2 6 yx 二、根据三角函数性质确定函数解析式问题 这类问题主要考查三角函数图象的性质以及识图的能力.关键是根据图象的位置求出相关参数 A，等。 例 2（江西） 如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为 2cos()(0 0) 2 yxxR，y(03)， （1）求和的值； （2）已知点，点是该函数图象上一点，点是 0 2 A ，P 00 ()Q xy， 的中点，当PA ，时，求的值 0 3 2 y 0 2 x ， 0 x 解 析 ： （ 1 ） 将，代 入 函 数0 x 3y 2cos()yx ， 因 为 3 cos 2 ，所以 0 2 6 由已知，且，得T 0 22 2

4、T （2）因为点，是的中点，所以点的坐标为 0 2 A ， 00 ()Q xy，PA 0 3 2 y P 0 23 2 x ， 又因为点在的图象上，且，所以，P 2cos 2 6 yx 0 2 x 0 53 cos 4 62 x y x 3 O A P ，从而得或，即或 0 7519 4 666 x 0 511 4 66 x 0 513 4 66 x 0 2 3 x 0 3 4 x 解析：本题主要考查三角函数图象的性质以及识图的能力.解决本题的关键是在于根据图象性质确定所给函数中的参数的值，根据题意图 象与轴相交于点建立等式关系凭借的限制条件就能确定的值；本题的第二问实际是已知三角函数值求角问

5、题，利用中点公y(03)， 式借助点将点表示出来代入函数式，凭借特殊角的三角函数值求角即可. 00 ()Q xy，P 三、求值与证明问题 此类题是高考中出现较多的题型，要求同学们掌握从题设条件入手、以题目结论或要求为目标，正确运用各类三角公式，消除角的差异， 实现函数名称的转化，达到解（证）题的目的 深刻理解三角函数的概念，熟练掌握各类三角公式，熟悉三角恒等变换的常用思想方法和变换技巧，是解决问题的关键 例 3（2007 四川）已知 cos=,cos(-)，且 00，求 y=(sinx+a)(cosx+a)的最大值与最小值。 解：， 2 cossin)cos(sin)(cos(sinaxxxx

6、aaxaxy 设 sinx+cosx=t，则且，代入已知式得：。22t) 1( 2 1 cossin 2 txx) 1( 2 1 )( 2 1 22 aaty （1）若，则当 t=-a 时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为。20 a) 1( 2 ay2t 2 1 2 2 aay （ 2 ） 若， 则 当时 ， 函 数 取 得 最 小 值 为， 当时 ， 函 数 取 得 最 大 值 为2a2t 2 1 2 2 aay2t 。 2 1 2 2 aay 二、整体替换 用整体替换解一些三角习题，即把已知式或待求式视为一个整体进行变形替换。 例 3 已知，求 cosx+cosy 的变化范围。 2

7、 2 sinsinyx 解：设 u=cosx+cosy，将已知式与待求式两边平方得： ， （1）yyxx 22 sinsinsin2sin 2 1 。 （2）yyxxu 222 coscoscos2cos （1）+（2）得：，即，)cos(22 2 1 2 yxu 2 3 )cos(2 2 uyx 因为，2)cos(22yx 所以，2 2 3 2 2 u 解得。 2 14 2 14 u 所以。 2 14 coscos 2 14 yx 三、引入参数 通过引入参变量调节命题结构，把问题转化为对参变量的讨论。 例 5 已知，其中，求 tan。 5 1 cossin0 解：设，则t 10 1 sint

8、 10 1 cos ，解得：。若，则，不合题意，舍去。1) 10 1 () 10 1 ( 22 tt 10 7 t 10 7 t0 5 3 sin 若，则，故。 10 7 t 5 4 sin 5 3 cos 3 4 tan 例 6 求函数的最大值与最小值。 xx xx y sincos1 cossin 解：设，cosx=s-t，由，得，tsxsin1cossin 22 xx 22 2 1 st 因为，所以。0 2 t 2 2 |s 于是有， 2 1 21 ) 2 1 )( 2 1 (2 21 2 1 2 21 2 22 s s ss s s s ts y 因为， 2 2 2 2 s 所以。 2

9、 1 2 2 2 1 2 1 2 2 s 所以函数 y 的最大值为，最小值为。 2 1 2 2 2 1 2 2 四、降次换元 如果所求问题的条件或结论中的各项次数较高，可用“代换法”达到降次的目的，这是简化问题的最佳策略。 例 7 已知，求证：1coscossincsc 2222 222 sintancot 证明：设，则已知条件式化为a 2 cotb 2 tanc 2 sin ，化简即得：ab=c。1)1 ( 1 1 ) 1 1 1)(1 ( c bb a 所以。 222 sintancot 例 8 已知，求证：。1 sin sin cos cos 2 4 2 4 B A B A 1 sin

10、sin cos cos 2 4 2 4 A B A B 证明：设，则由得：，即aA 2 cosbB 2 cos1 sin sin cos cos 2 4 2 4 B A B A 1 1 )1 ( 22 b a b a ，化简得：，即 a=b，所以有。)1 ()1 ()1 ( 22 bbabba0)( 2 baBA 22 coscos 故。1sincos sin sin cos cos sin sin cos cos 22 2 4 2 4 2 4 2 4 AA A A A A A B A B 五、三角替换 对于有些三角问题，如果能依据其特征，合理地引入三角替换，把问题结构转化，这样解题构思别致，

11、解题过程简捷巧妙。 例 9 求函数的值域。|sin|sin 4 1 2 xxy 解：由题意知：，即。 4 1 sin0 2 x 2 1 sin 2 1 x 设，其中，则。sin 2 1 sinx 22 sin 2 1 cos 2 1 y 当时， 2 0 ) 4 sin( 2 2 y 因为， 2 0 444 所以，1) 4 sin( 2 2 即。 2 2 2 1 y 当时，因为，0 2 ) 4 cos( 2 2 y0 2 444 所以，即。1) 4 cos( 2 2 2 2 2 1 y 综上述，所求函数的值域为。 2 2 2 1 y 例 10 锐角、满足条件，求证。1 sin cos cos s

12、in 2 4 2 4 2 证明：由已知可设：， cos cos sin 2 sin sin cos2 则， （1）coscossin 2 ， （2）sinsincos2 （1）+（2）得： ，所以，k21)cos(Zkk2 所以， 22 coscoscossin ， 22 sinsinsincos 因为、为锐角，所以，) 2 sin(cossin 所以，即有。 22 例 11 已知，求证：。1 tan tan sec sec 2 4 2 4 1 tan tan sec sec 2 4 2 4 证明：由已知可设：， sec sec sec2 tan tan tan 2 则， （1）secsecs

13、ec2 ， （2）tantantan 2 （1）-（2）得： ，整理、变形又得：1tantansecsec ，k21)cos( 所以，)(2Zkk 所以， 22 secsecsecsec 22 tantantantan 所以。1tansec tan tan sec sec tan tan sec sec 22 2 4 2 4 2 4 2 4 向量与三角综合题分类解析 平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和 挑战性。若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理。可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度。下

14、面举列说明。 一、求三角式的值 例 1. 设（0，），a 与 c 的夹角为 与 c 的夹角为，且，求的值。 解析：因为 又因为与的夹角为，所以 又 而与的夹角为，所以 又 所以 所以 二、求两向量所成的角 例 2. 已知，其中。 （1）求证：与互相垂直； （2）若与（）的长度相等，求。 解析：（1）因为 所以与互相垂直。 （2） 所以 因为 所以 有 因为，故 又因为 所以 三、判断三角形的形状 例 3. 已知在ABC 中，且，判断ABC 的形状。 解析：因为 所以 所以 所以由向量的夹角公式，得： 所以 A60，又 所以ABC 为等边三角形。 四、求向量的模 例 4. ABC 中，三个内角分

15、别是 A、B、C，向量，当时，求。 解析：因为，则 又，即所以所以，故 五、其它综合问题 例 5. 若向量，试判断数列是等差数列还是等比数列？ 解析：因为 所以 所以数列是等差数列。 三角形中的三角习题汇编 1.在中，求的值和的面积ABCsincosAA 2 2 AC 2AB 3tgAABC 3、解法一：sinA+cosA=cos(A45)=，cos(A45)= 2 2 2 2 1 又 0A180A45=60，A=105 tgA=tg(45+60)=2 31 31 3 sinA=sin105=sin(45+60)=sin45cos60+cos45sin60= 4 62 SABC=ACABsin

16、A=23=(+) 2 1 2 1 4 62 4 3 26 解法二：sinA+cosA= (sinA+cosA)2=， 2sinAcosA=. 2 2 2 1 2 1 又A0, cosA0.00 , 2 3 cossin21)cos(sin 2 AAAA. 2 6 cossinAA +得： . -得： 4 62 sin A. 4 62 cos A (以下同解法一) . 32 62 4 4 62 cos sin A A tgA 解法三：sinA+cosA= (sinA+cosA)2=， 2sinAcosA= sin2A= 2 2 2 1 2 11 2 又00A1800, 002A3600 2A=2

17、100 或 3300 A=1050 或 1650 但当 A=1650时，sinA+cosA= sin1650+cos1650= sin150cos1500，不满足条件，舍去 1650 故：A=1050 (以下同解法一) 解法四：sinA+cosA= (sinA+cosA)2=， 2sinAcosA= 2 2 2 1 2 1 22 sincos1 sincos4 AA AA ，； 2 tan1 tan14 A A 2 tan4tan10AA 412 tan23 2 A 又A18, 当时，A=1800150 =1650 （此时由解法三可知不满足） ；00tan23A 当时，A=1800750 =1

18、050 (以下同解法一)tan23A 2.在中，A、B、C 为三角形的三个内角，且，求的值。ABCABC 44 sincos 2 55 BAC ， cos2A 解： 中 ABCABC 2 AB ， 022ABABC ， 4 sin 5 B 4 sin 5 AC 3 cos 5 AC 4 cos 2 5 AC 3 sin 2 5 AC 7 sinsin2sin 2coscos 2sin 25 AACACACACACAC 2 2 7527 cos21 2sin1 2 25625 AA 3.已知中，A、B、C 为三角形的三个内角，分别是角 A，B，C 的对边，已知，ABCabc， ， 22 2 2

19、sinsinsinACabB 的外接圆的半径为ABC2 （1）求C （2）求面积的最大值。ABCS 解：（1），又 由正弦定理得： 22 2 2 sinsinsinACabB22 2R 22 2 2 222 acb ab RRR 222 acabb 222 abcab 又由余弦定理得： 222 2cosabcabC2cosabCab 1 cos 2 C 又 0C， 3 C （2）方法一： 113 sinsin2 sin2 sin2 3sinsin 2234 SabCabRARBAB 3 coscosABAB 2 3 AB 3 3cos 2 SAB 故：当，即时cos1AB 3 AB max 3

20、3 3 3 22 S 方法二： 113 sinsin2 sin2 sin2 3sinsin 2234 SabCabRARBAB 22231 2 3sincos2 3sinsincoscossin2 3sincossin 33322 AAAAAAAA 31313333 3 3sin21 cos23sin2cos23sin 23 222226222 AAAAA 当，即时2 62 A 3 A max 3 3 2 S 4.在中，分别是角 A，B，C 的对边，ABCabc， ， 且 2 7 4sincos2 22 BC A （1）求的度数；A （2）若，b+c=3，求和的值。3a bc 解：（1） 2

21、7 4sincos2 22 BC A 2222 77 4sin2cos14cos2cos1 2222 AA AA ， 2 7 2 cos12cos1 2 AA 2 2cos10A 1 cos 2 A 3 A （2） 或 222 2cos 3 33 abcbc abc ， 22 2 13 320 23 cbcbc cc bbc 2 1 c b 5.已知在ABC 中，sinA（sinBcosB）sinC0，sinBcos2C0，求 A、B、C 的大小。 解法一 由得0sin)cos(sinsinCBBA . 0 )sin(cossinsinsinBABABA 所以即 . 0 sincoscossincossinsinsinBABABABA . 0 )cos(sinsinAAB 因为所以，从而), 0(B0sinB.sincosAA 由知 从而.), 0(A. 4 A 4 3 CB 由 . 0 ) 4 3 (2cossin02cossinBBCB得