高考数学复习专题练习第6讲空间向量及其运算

1、第 6 讲 空间向量及其运算 一、选择题 1在下列命题中： 若向量 a，b 共线，则向量 a，b 所在的直线平行； 若向量 a，b 所在的直线为异面直线，则向量 a，b 一定不共面； 若三个向量 a，b，c 两两共面，则向量 a，b，c，共面； 已知空间的三个向量 a，b，c，则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x，y，z 使得 pxaybzc. 其中正确命题的个数是 () A0 B1 C2 D3 解析a 与 b 共线，a，b 所在直线也可能重合，故不正确；根据自由向量 的意义知，空间任两向量 a，b 都共面，故错误；三个向量 a，b，c 中任两 个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不

2、正确；只有当 a，b，c 不共 面时，空间任意一向量 p 才能表示为 pxaybzc，故不正确，综上可知 四个命题中正确的个数为 0，故选 A. 答案A 2在空间四边形 ABCD 中，()AB CD AC DB AD BC A1 B0 C1 D不确定 解析 法一：如图，在空间四边形 ABCD 中，连接对角线 AC， BD，得三棱锥 ABCD，不妨令其各棱长都相等，即为正四面 体，正四面 体的对棱互相垂直， 0，0，AB CD AC DB 0.AD BC 0.AB CD AC DB AD BC 法二：在法一的图中，选取不共面的向量， ，为基底，AB AC AD 则原式()()()AB AD AC

3、 AC AB AD AD AC AB 0.AB AD AB AC AC AB AC AD AD AC AD AB 答案 B 3若a，b，c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是 () Aa，ab，ab Bb，ab，ab Cc，ab，ab Dab，ab，a2b 解析若 c、ab、ab 共面，则 c(ab)m(ab)(m)a(m)b， 则 a、b、c 为共面向量，此与a，b，c为空间向量的一组基底矛盾，故 c，a b，ab 可构成空间向量的一组基底 答案C 4. 如图所示，已知空间四边形 OABC，OBOC，且AOB AOC ，则 cos， 的值为 () 3 OA BC A0 B.

4、 1 2 C. D. 3 2 2 2 解析设a，b，c，OA OB OC 由已知条件a，ba，c ，且|b|c|， 3 a(cb)acab |a|c| |a|b|0，cos， 0.OA BC 1 2 1 2 OA BC 答案A 5以下四个命题中正确的是 () A空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B若a，b，c为空间向量的一组基底，则ab，bc，ca构成空间向 量的另一组基底 CABC 为直角三角形的充要条件是0AB AC D任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底 解析若 ab、bc、ca 为共面向量，则 ab(bc)(ca)，(1)a (1)b()c， 不可能同时为 1，设 1

5、，则 abc， 1 1 1 则 a、b、c 为共面向量，此与a，b，c为空间向量基底矛盾 答案B 6正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 M 在上且，N 为 B1BAC1 AM 1 2MC 1 的中点，则|为()MN A. B. 21 6 6 6 C. D. 15 6 15 3 解析 如图，设a，b，c，AB AD AA1 则 abbcca0. 由条件知 (abc)a c a b cMN MA AB BN 1 3 1 2 2 3 1 3 1 6 2 a2 b2 c2MN 4 9 1 9 1 36 21 36 |.MN 21 6 答案 A 二、填空题 7在下列条件中，使 M 与 A、

6、B、C 一定共面的是_ 2；OM OA OB OC OM 1 5OA 1 3OB 1 2OC 0；0；MA MB MC OM OA OB OC 解析0， ， 则、为共面向量，MA MB MC MA MB MC MA MB MC 即 M、A、B、C 四点共面 答案 8已知 O 是空间中任意一点，A，B，C，D 四点满足任意三点不共线，但四点 共面，且2x3y4z，则 2x3y4z_.OA BO CO DO 解析 A，B，C，D 四点共面，来源:学|科|网 Z|X|X|K mnp，且 mnp1.OA OB OC OD 由条件知2x3y4z，OA OB OC OD (2x)(3y)(4z)1. 2x

7、3y4z1. 答案 1 9已知在一个 60的二面角的棱上，如图有两个点 A，B，AC，BD 分别是在这 个二面角的两个半平面内垂直于 AB 的线段， 且 AB 4 cm，AC6 cm，BD8 cm，则 CD 的长为 _ 解析设a，b，c，BD AB AC 由已知条件|a|8，|b|4，|c|6， a，b90， b，c90， a，c60 |2|2|cba|2CD CA AB BD a2b2c22ab2ac2bc68， 则|2.CD 17 答案2 cm17 10如图， 空间四边形 OABC 中，OA8， AB6， AC 4， BC5， OAC45， OAB60， 则 OA 与 BC 所成角的余弦值

8、等于_ 解析设a，b，c.OA OB OC OA 与 BC 所成的角为 ， a(cb)acaba(a)a(a)a2aa2aOA BC AC AB AC AB 2416 . 2 cos . |OA BC | |OA |BC | 2416 2 8 5 32 2 5 答案32 2 5 三、解答题 11已知 A、B、C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足OM () 1 3 OA OB OC (1)判断、三个向量是否共面；MA MB MC (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内 解(1)由已知3 ，OA OB OC OM ()()，OA OM OM OB OM OC 即，MA

9、BM CM MB MC ，共面MA MB MC (2)由(1)知，共面且基线过同一点 M，MA MB MC 四点 M，A，B，C 共面，从而点 M 在平面 ABC 内 12如右图，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， G 为BC1D 的重心， (1)试证：A1、G、C 三点共线； (2)试证：A1C平面 BC1D； (3)求点 C 到平面 BC1D 的距离 (1)证明，CA1 CB BA AA1 CB CD CC1 可以证明： ()，CG 1 3 CB CD CC1 1 3CA 1 ，即 A1、G、C 三点共线CG CA1 (2)证明设a，b，c，则|a|b|c|a，CB CD

10、 CC1 且 abbcca0， abc，ca，(abc)(ca)c2a20，CA1 BC1 CA1 BC1 ，即 CA1BC1，同理可证：CA1BD，因此 A1C平面 BC1D.CA1 BC1 (3)解abc， 2a2b2c23a2， CA1 CA1 即|a，因此|a.CA1 3CG 3 3 即 C 到平面 BC1D 的距离为a. 3 3 13如图，直三棱柱 ABCA1B1C1，底面ABC 中，CACB1，BCA 90，棱 AA12，M、N 分别是 A1B1，A1A 的中点 (1)求的模；BN (2)求 cos，的值；BA1 CB1 (3)求证：A1BC1M. 解 如图，建立空间直角坐标系 O

11、xyz， (1)依题意得 B(0,1,0)、N(1,0,1)， |.BN 1020121023 (2)依题意得 A1(1,0,2)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、B1(0,1,2)， (1，1,2)，BA1 (0,1,2)，3，CB1 BA1 CB1 |，|，BA1 6CB1 5 cos，.BA1 CB1 BA1 CB1 |BA1 |CB1 | 1 10 30 (3)证明：依题意，得 C1(0,0,2)、M，(1,1，2)， ( 1 2， 1 2，2) A1B C1M . ( 1 2， 1 2，0) 00，来源:Z#xx#k.ComA1B C1M 1 2 1 2 .A1BC1M.A1B

12、C1M 14 如图所示， 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长 都等于 1， 点 E， F， G 分别是 AB、AD、CD 的中点，计 算： (1)；(2)；(3)EG 的长；EF BA EF DC (4)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值 解设a，b，c.AB AC AD 则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60， (1) c a，a，bc，EF 1 2BD 1 2 1 2 BA DC (a) a2 ac ，EF BA ( 1 2c 1 2a) 1 2 1 2 1 4 (2) (ca)(bc)EF DC 1 2 (bcabc2ac) ； 1 2 1 4 (3) aba c bEG EB BC CG 1 2 1 2 1 2 a b c， 1