高考数学专题复习（精选精讲）练习6-直线习题精选精讲

1、直线方程直线方程 例例 1求经过两点 A(2，1)，B(m，2)(mR)的直线 的斜率，并求出其倾斜角及其取值范围l 分析：分析：斜率公式成立的条件是，所以应先就 m 的值是否等于 2 进行讨论 21 xx 解：解：当 m=2 时，2 21 xx 直线 垂直于轴，故其斜率不存在，此时，倾斜角=lx 2 当 m2 时，k 2 1 m 当 m2 时，0 此时arctan（，）k 2 1 m 2 当 m2 时，0 此时+arctan（，）k 2 1 m 2 说明：说明：通过讨论确定直线的斜率存在与不存在是解决直线斜率问题常用的方法 例例 2已知两点 A(-3，4)，B(3，2)，过点 P(2，1)的

2、直线 l 与线段 AB 有公共点 （1）求直线 l 的斜率的取值范围（2）求直线 l 的倾斜角的取值范围 分析：分析：如图 1，为使直线 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的倾斜角应介于直线 PB 的倾斜角与直线 PA 的倾斜角之 间，所以，当 l 的倾斜角小于 90时，有；当 l 的倾斜角大于 90时，则有 PB kk PA kk 解：解：如图 1，有分析知 1， PA k 23 ) 1(4 3 PB k 23 ) 1(2 （1）或1k3k （2）arctan3 4 3 说明：说明：学生常错误地写成1k3，原因是与倾斜 角分不清或误以为正切函数 在上单调递增, 0 例例 3判断下列命题

3、是否正确： 一条直线 l 一定是某个一次函数的图像； 一次函数的图像一定是一条不过原点的直线；bkxy 如果一条直线上所有点的坐标都是某一个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程； 如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这个方程的直线 解：解：不正确直线，不是一次函数；02 x 不正确当时，直线过原点0bxy2 不正确第一、三象限角的平分线上所有的点都是方程的解，但此方程不是第一、三象0yxyx 限角平分线的方程 不正确以方程 ()的解为坐标的点都在第一象限的角平分线上，但 此直线不是方程 xy 0 xxy ()的图像0 x O 图 1 A B y x P 说

4、明：说明：直线方程概念中的两个条件缺一不可，它们和在一起构成充要条件 例例 4设直线的斜率为 k，且，指出直线倾斜角的范围 3 3 3k 分析：分析：倾斜角与斜率有关，根据公式和正切函数的单调性，由斜率的范围可以得到倾斜角的范围，可以tank 画图，利用数形结合来帮助解决问题 解：解： ，由已知得 tgak 3 3 tan3a ，, 0 , 3 2 6 , 0 直线的倾斜角的范围是 , 3 2 6 , 0 说明：说明：注意正切函数在范围的单调性，最好结合图形，不容易出错, 0 例例 5已知两点 A(1，5)，B(3，2)，直线 l 的倾斜角是直线倾斜角的一半，求直线 l 的斜率AB 解解 1：

5、设直线 l 的倾斜角为，则直线的倾斜角为 2AB tan2， AB k ) 1(3 )5(2 4 3 2 tan1 tan2 4 3 化简得 3tan2+8tan30， 解得 tan 或 tan3 3 1 tan20， 4 3 0290， 0 mb ma b a 证明：证明：如图 2， 在坐标平面上取点 A(m，m)，B(a，b)， 则 AB 的中点为 C(，) 2 ma 2 mb 显然 OA、OB、OC 的斜率满足 图 2 B C O x y A ， OAOCOB kkk 又 ，1 OB k b a OC k mb ma OA k 所以 mb ma b a 说明说明：本题与前边不等式的证明联

6、系紧密，此处提供了一种新颖的证明，有助于学生对解析法的理解同时本题 为构造性证明，不易想到事实上，把分式看成斜率是常用的方法 例例 7 设直线 过原点，其倾斜角为，将直线 绕坐标原点沿逆时针方向旋转 45，得到直线，则直线的倾斜ll 1 l 1 l 角为（） A B C45135135 D当时为，当时为135045180135135 分析：分析：倾斜角的范围是，因此，只有当，即时，的倾斜角才是 180,0180,0451350 1 l 而，所以必须讨论的情况，结合图形和倾斜角的概念，即可得到451800180135180135 时的倾斜角为故应选 D 1 l135 答案：答案：D 说明：说明：

7、在求直线的倾斜角时，应该重视的是：(1)注意角的取值范围；(2)数形结合是一种常用而有效的方法 例例 8 若三点，共线，求的值A)3, 2(B)2, 3(C), 2 1 (mm 分析：分析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在 解答：解答：由、三点共线，则ABC ACAB kk ，解得 2 2 1 3 23 32 m 2 1 m 说明：说明：由三点共线求其中参数的方法很多，如两点间的距离公式，定比分点坐标公式，面积公式等，但用斜率m 公式求的方法最简便m 例例 9 (1)直线 过点和点，求 的斜率和倾斜角；l) 1, 2(A)5,6(Bl (2)若直线过，两点，且，求此直线的倾

8、斜角)0, 0(O)sin,(cosH0 2 (3)已知直线 过点和，求 的倾斜角和斜率l)2, 1 (A)3,(aBl 分析：分析：(1)中直线 上两点与均为已知点，故 是确定的，其斜率和倾斜角自然也是确定的，直接利用斜率公式lABl 求解即可；(2)中的直线 上的点是已知的，点的横纵坐标与角有关，应注意条件中地取值范围；(3)中的直线lOH 上的点是已知的，而点的横坐标不确定，它的取值将影响直线的斜率及倾斜角，应对类讨论，以直线 的斜率lABal 是否存在为分类的标准根据倾斜角和斜率的概念进行求解 解：解：设直线 的斜率为，倾斜角为lk (1)直线 过点和点，l) 1, 2(A)5,6(B

9、 它的斜率 2 1 )2(6 ) 1(5 k 于是0 2 1 tan ， 0, 2 ) 2 1 arctan( , 0 的倾斜角，l) 2 1 arctan( 即：) 2 1 arctan( (2)因为，所以所以斜率：0 2 0cos )tan(tan cos sin k 因为，所以0 2 2 所以，直线的倾斜角为 (3)当时，直线 与轴垂直所以，倾斜角， 没有斜率1alx90l 当时，斜率1a 1 1 1 23 aa k 若，则；1a 1 1 arctan a 若，则1a 1 1 arctan a 因此，当时，直线没有斜率1a90 当时，1a 1 1 arctan a 1 1 a k 当时，

10、1a 1 1 arctan a 1 1 a k 说明：说明：由斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的取值范围是当倾斜角不是特殊角而必须用反正切表示时，应注, 0 意 2 arctan 2 a (1)当直线的倾斜角是时，斜率是但反过来，当直线的斜率是时，直线的倾斜角不一定是)90(tantan (2)在用公式时，要注意两点： 12 12 xx yy k 斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时颠倒 当，（即直线和轴垂直）时，不能用此公式，此时倾斜角是，直线没有斜率 21 xx 21 yy x90 (3)解答本题易出错的地方是对参数未进行讨论或讨论不完整 解题方法指导解题方法

11、指导 直接写出直线方程利用公式求直线方程通过直线系求直线方程结合向量知识求直线方程借助相关点求直线方程轨迹法 1 2 3 4 5 利用参数求直线方程通过分析结构求直线方程 6 7 三、范例剖析 1、直接法 例 1. 直线 在轴上的截距为 3，且倾斜角的正弦值为，求直线 的方程。ly 4 5 l 解： ，直线的斜率故所求直线 的方程为 4 sin 5 3 cos 5 4 3 k 4 3 3 yx 即或4390 xy4390 xy 评注：由题意直接选择直线方程五种形式中的任何一个，写出形式适当的方程即为直接法。同时，求解本例时不要混淆概念，倾斜角应在 内，从而有两个解。0, )cos 2、公式法

12、例 2. 过点 P（2，1）作直线 交轴、轴正方向于 A、B，求使的面积最小时的直线 的方程。lxyAOBl y B P(2,1) O A x 解：设所求直线方程为，则由直线 过点 P（2，1），得 x a y b 1l 21 100 ab ab()， 即，由，得所以b a a 2 b 0a 2Saba a a AOB 1 2 1 22 22 144 2(2)22 aa aa 14 (2) 22 a a 14 (2)4 22 a a 14 2(2)44 22 a a 当且仅当，即时，取得最小值为 4a a 2 4 2 ab42，S AOB 此时所求直线方程为，即 xy 42 1xy240 评注

13、：由题意直接选择直线方程五种形式中最恰当的一种形式来假设方程，再求解方程，称为公式法。这里选择了截距式方程。 3、直线系法 直线系的定义：具有某种共同性质的直线的集合，叫做直线系它的方程叫做直线系方程 例 3. 求过与的交点且与直线平行的直线方程。lxy 1 2320：lxy 2 3420：440 xy 解：设与交点的直线方程为l1l2()()(*)2323420 xyxy 即因为所求直线与平行所以，解得()()2334220 xy440 xy 23 4 34 1 14 19 将代入(*)，得所求直线方程为 14 19 4660 xy 4、向量法 例 4. 求与直线夹角相等，且过点（4，5）的

14、直线 的方程。lxylxy 12 347012560：， ：l 解：设所求直线l的方程为即其方向向量为yk x54()kxyk450(1)k ， 又直线与的方向向量分别为与l1l2(4 3)，a(512)，b 由已知条件及向量内积公式，得即解得或 | | ab a b |43 5 512 13 kk k 9 7 7 9 故所求直线方程为或评注：利用l9710 xy79730 xy | cos | a b a b 5、相关点法 利用相关点法求直线的方程实质上是轨迹法。 例 5. 求直线关于直线的对称直线方程。lxy： 20lxy：330 解：设所求的对称直线上任意一点坐标为（x，y）关于直线 的

15、对称点为，则l()xy 00 ， 3 22 30 31 00 0 0 xxyy yy xx 解得因为在直线上所以 xxy yxy 0 0 4 5 3 5 9 5 3 5 4 5 3 5 ()xy 00 ，xy20 xy 00 20 即()() 4 5 3 5 9 5 3 5 4 5 3 5 20 xyxy7220 xy 6、参数法 例 6. 过点 P（3，0）作一直线，使它夹在两直线和之间的线段 AB 恰被 P 点平分，求此直线方lxy 1 220：lxy 2 30： 程。 解：设所求直线分别与交于 A、B 因为 A 在直线上故可设又 P（3，0）为 AB 的中点ll 12 、l1A tt()

16、，22 由中点坐标公式，得由 B 在上，得解得，即Btt()622，l2()()62230ttt 11 3 A() 11 3 16 3 ， 由两点式得所求直线方程为8240 xy 7、结构分析法 例 7.若两条直线相交于点 P（1， 2） ， 试求经过点与的直线方程。la xb yla xb y 111222 33：， ：A ab() 11 ，B ab() 22 ， 解：将与的交点 P（1，2）代入与的方程，得，l1l2l1l2ab 11 23ab 22 23 根据以上两式的结构特点易知：点与的坐标都适合方程A ab() 11 ，B ab() 22 ，xy23 故经过点 A、B 的直线的方程为

17、lxy23 对称问题对称问题 我们所谓的四类对称问题大致上有以下四种：点关于点对称；点关于线对称；线关于点对称；线关于线对称。 一 点关于点对称一 点关于点对称 如 P（a，b）关于点 M（x0，y0）的对称点为 P1,求 P1？ 分析：设 P1（x,y）则由中点公式 x0=; y0=可知 x=2x0a; y=2y0b P1（2x0a , 2y0b ） 2 xa 2 yb 例1已知点 A（1，2），点 B(2,3) 求点 A 关于点 B 的对称点。 解：（方法：利用中点公式）设点 A 关于点 B 的对称点为 A1（x0，y0）则 2 x03 3 y04 2 1 0 x 2 1 0 y 点 A

18、关于点 B 的对称点为 A1（3，4）。 特例：点（a，b）关于原点的对称点为（a，b） 二 点关于直线对称的点二 点关于直线对称的点 例2求点 P(2,0)关于直线 2 x4 y10 对称点 Q 的坐标 解：（法一利用交点） 过点 P(2,0)垂直于 2 x4 y10 的直线 L 为 4（x2）2（y0）0 即 4x2y80 即 2xy40 而直 线 L 与直线 2x4y10 的交点为 M， 即 M（，1）由例 1 可以求出 Q 的坐标为（1，2） 0142 042 yx yx 1 2 3 y x 2 3 解：（法二利用斜率）设 Q（a，b），则由 PQ 直线的斜率与直线 L 的斜率之积为

19、1 及 P、Q 的中点在直线 L 上可以列出方程组 Q（1，2） 01 2 42 2 2 1 2 1 2 ba a b 2 1 b a 特例：点（a，b）关于直线 xc 的对称点为（2ca，b）, 点（a，b）关于直线 y=x 的对称点为（b，a） 点（a，b）关于直线 y=x 的对称点为（b，a） 点（a，b）关于直线 y=x+c 的对称点为（bc，a c） 点（a，b）关于直线 y=x+c 的对称点为（bc，ac） 三 直线关于点对称的直线三 直线关于点对称的直线 例 3 求直线 4 x y10 关于点 M（2，3）对称的直线方程 解：（法一利用设元）设直线 4 x y10 上的点 P（x

20、0，y0），则点 P（x0，y0）关于点 M（2，3）的对称点为 Q（x，y）， 则由例 1 可知 x04x ，y06y 代入直线 4 x y10 可得 164 x6y 10 即 4 x y210 解：（法二利用距离）设所求的直线为 4 x ym0,则点 M（2，3）到两条直线的距离相等，138m38 由于点 M（2，3）在两直线的中间1011mm21，即所求的直线为 4 x y210 解：（法三利用两点式）在直线 4 x y10 上任找两点 A（0，1），B（1，3）关于点 M（2，3）的对称点为 A1（4，5），B1（3， 9）由两点式可得即所求的直线为 4 x y210 34 3 95

21、9 xy 四直线关于直线对称的直线四直线关于直线对称的直线 例 4 求直线 2 x y40 关于直线 xy10 的对称直线方程 解：（法一利用设元）设直线 4 x y40 上的点 P（x0，y0）， 则点 P（x0，y0）关于直线 xy10 对称的点 Q（x，y） 则 xy01，yx01代入直线 2 x y40 可得 2（y1） x140 即 x2 y5 01 22 11 00 0 0 yyxx xx yy 1 1 0 0 xy yx 0 解：（法二利用夹角） 由两直线的交点可得交点为所求直线过点（1，2） ，设其斜率为 K（若求不出则说明 01 042 yx yx 2 1 y x 直线垂直于

22、 X 轴） ， 又直线 2 x y40 到直线 xy10 的角与直线 xy10 到所求直线的角相等即 11 1 )2(11 )2(1 k k K所求直线为 y 2（x 1）即 x2 y50 2 1 2 1 解：（法三利用距离）三直线交于一点，设直线系方程为（2xy4）（xy1）0 即（2）x（1）y（4） 0 不妨在对称轴直线 xy10 上任取一点（0，1） 则1 或0（舍 222 )1 ()2( )4(1)1 (0)2( 122 4102 去）所求直线为 x2 y50 轴对称轴对称 轴对称是解析几何的一个重要内容，利用它不仅可以解决点、线、曲线等关于直线的对称问题，而且还可以解决诸如最值、光

23、线反射、 角平分线等问题，并且常得到意想不到的效果。本文将以数例来谈谈它的应用。 例 1、已知点 A(4,1)，B(0,4)，在直线 L：y=3x-1 上找一点 P，求使|PA|-|PB|最大时 P 的坐标。 分析：本题的常规方法是：（1）设点（2）列出相应的函数关系式（3）求解。 但本题若这样做，则就会走入死胡同。若巧妙利用轴对称的知识则可以轻松解决。 解：如图，设点 C(x,y)是点 B 关于直线 L 的对称点，则由 ，得：，3 l k 3 1 BC k 直线 BC 的方程为：，将其与直线 y=3x-1 联4 3 1 xy 立，解得 ： D,其中 D 为 BC 中点，利用中点坐标公式， 2

24、 7 , 2 3 得 C（3,3）。 显然 ： |PA|-|PB|PA|-|PC|AC|,当且仅当 A、C、P 三点共线时，|PA|-|PB|最大。可求得： 直线 AC 方程为：，与 L 方程联立解得 P 的坐092 yx 标为（2,5）。 例 2、光线由点 C（3，3） 出发射到直线 L： y=3x-1 上，已知其被直线 L 反射后经过点 A(4,1)，求 反射光线方程。 解：设点 B 是点 C 关于 L 的对称点，则由光线反射的知识易知：点 B 在反射光线上， 故所求的反射光线的方程即为直线 AB 所在的直线方程。 由例 1 知点 C 关于 L 的对称点为 B（0,4）， 故直线 AB 的

25、方程易求得为：。它即为反射光线4 4 3 xy 方程。 例 3、已知 ABC 的顶点 A 的坐标为(1,4)，B、C 的平分线的 分 别 方 程 为和02 yx ，求 BC 所在的直线方程。01 yx 分析：本题的常规思路是利用 L1 到 L2 的角的有关知识解决问题，但较繁，若能注意到角平 分线的有关性质，则可简捷求解。 解：设B、C 的平分线分别为 L1、L2,则由角平分线的知识可知：AB 与 CB 关于 L1对称，AC 与 BC 关于 L2 对称，故点 A 关于 L1、L2的对 称点 A1、A2 都应该在直线 BC 上，故 BC 所在的直线方程即为 A1A2所在的直线方程。 利用对称性可

26、求得：（过程略）)0 , 3(), 5 8 , 5 19 ( 21 AA 于是 BC 方程可求得为：012174yx 两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点 例 1. 求过点 （ ，）且与直线平行的直线方程。Axy142350 分析：分析： 法一：法一：求出直线的斜率，再用直线的点斜式方程求解。 法二：法二：设所求直线的方程为 2x3yb0，求出 b 即可。 解：解： 法一：法一： 已知直线的斜率是，因为所求直线与已知直线平行，所以它的斜 2 3 A B C P P x y (4,1) (0,4) o A B C x y (4,1) (0,4) o P 率

27、也是。 2 3 根据点斜式，得所求直线的方程是，即yxxy 4 2 3 123100 法二：法二：设所求直线的方程为 2x3yb0，直线过点 A（1，-4） 有，解之得2134010bb 故所求直线的方程是 2x3y100。 例 2. 讨论下列各对直线是否平行或垂直： （ ） ：与 ： （ ） ：与 ： 100 200 1122 1122 lAxByClAxByC lAxByClBxAyC 分析：分析： （ ）分和两种情况讨论，得时，。100 1212 BBCCll/ （ ）分情况讨论得，。2 12 ll 解：解： （ ）当，时，10 1212 BCCll/ 当，时，有且BCCkkbb0 12

28、1212 ll 12 / 故当时，CCll 1212 / （2）当 B0 时，则 A0，当 A0 时，则 B0 此时，l1、l2中必有一条垂直于 x 轴，另一条垂直于 y 轴 所以 l1l2 当 、 都不为 时， 的斜率， 的斜率ABlk A B lk B A 0 1122 因为 ，kk A B B A ll 1212 1 所以总有 l1l2 小结：本题的结论很重要，应熟记。在利用位置关系求直线方程时，有时用本题的结论设所求直线的方程来求解。一般地可证明下列 结论： 设 ：与 ：lA xB yClA xB yC 11112222 00 这里 ， ，则ABCABC 111222 00 （ ）的充

29、要条件是1 12 1 2 1 2 1 2 ll A A B B C C / （ ）的充要条件是20 121212 llA AB B 例 3. 求过点 P（x0，y0）且和直线 AxByC0 垂直的直线的方程。 解：解： 当 时，直线的斜率为ABAxByC A B 00 所求直线与直线 AxByC0 垂直 所求直线的斜率为 1 A B B A 由点斜式得：yy B A xx 00 即为所求直线方程BxAyAyBx 00 0 当 B0 时，直线 AxByC0 的方程为 AxC0，过点 P 与它垂直的方程为 yy0，适合上面所求方程 BxAyAy0Bx00。 同理，当 A0 时，过点 P 与直线 A

30、xByC0 垂直的直线方程为 xx0，也适合上面所求方程。 总之，过点，与直线垂直的方程是：P xyAxByC 00 0 BxAyAyBx 00 0 小结：由所求直线方程和已知直线方程比较知：一个方程中含 x 项的系数与另一个方程中含 y 项的系数绝对值相同，而联结符号相反。 一般地，与直线 AxByC0 垂直的直线的方程可设为 BxAyC10。 例 4. 已知直线：与：互相垂直，求 的laxyalaxayaa 12 20210 值。 解法一：解法一： （ ）当时， 的斜率， 的斜率10 21 1122 alkalk a a ll 12 a a a a ， 21 11 （ ）当时，直线 的斜率

31、为 ， 的斜率不存在，两直线垂直。200 12 all 综上所述，或为所求。aa01 解法二：解法二： A aBAaBa 1122 121 ， 由，得，或A AB Baaaaa 1212 021001 小结： 利用 判断两直线垂直时，两直线的斜率都必须存在。当两kk 12 1 条直线中一条的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直。本例利用 A1A2B1B20 求 a 的值更为快捷。 直线的参数方程直线的参数方程 问题问题 1：（直线由点和方向确定） 求经过点 P0()，倾斜角为的直线 的参数方程. 00, y xl 设点 P()是直线 上任意一点，（规定向上的（规定向上的yx ,l

32、 方向为直线方向为直线 L 的正方向）的正方向）过点 P 作 y 轴的平行线，过 P0作 x 轴的平行线，两条直线相交于 Q 点. 1)当与直线 同方向或 P0和 P 重合时，PP0l P0P|P0P| 则 P0QP0Pcos Q PP0Psin 2)当与直线 反方向时，P0P、P0Q、Q P 同时改变符号PP0l P0P|P0P| P0QP0Pcos Q PP0Psin 仍成立 设 P0Pt，t 为参数， 又P0Q， tcos 0 xx 0 xx Q P =t sin 0 yy 0 yy 即是所求的直线 的参数方程 sin cos 0 0 tyy txx l P0Pt，t 为参数，t 的几何

33、意义是：的几何意义是：有向直线 上从已知点 P0()到点l 00, y x P()的有向线段的数量，且|P0P|t|yx , 当 t0 时，点 P 在点 P0的上方； 当 t0 时，点 P 与点 P0重合； 当 t0 时，点 P 在点 P0的右侧； 当 t0 时，点 P 与点 P0重合； 当 t0 时，点 P 在点 P0的左侧； 问题问题 2：直线 上的点与对应的参数参数 t 是不是一l 对应关系？ 我们把直线 看作是实数轴，l 以直线 向上的方向为正方向，以定点 P0l 为原点，以原坐标系的单位长为单位长， 这样参数 t 便和这条实数轴上的点 P 建立了 一一对应关系. 问题问题 3：P1、

34、P2为直线 上两点所对应的参数分别为 t1、t2 ，l 则 P1P2？，P1P2=？ P1P2P1P0P0P2t1t2t2t1，P1P2= t2t1 问题问题 4：若 P0为直线 上两点 P1、P2的中点，P1、P2所对应的l 参数分别为 t1、t2 ，则 t1、t2之间有何关系？ 根据直线 参数方程 t 的几何意义，l P1Pt1，P2Pt2，P0为直线l 上两点 P1、P2的中点，|P1P|P2P| P1PP2P，即 t1t2, t1t20,设这个二次方程的两个根为 t1、t2,由韦达定理得 t1t2, t1t2 ，由 M 8 15 4 25 为线段 AB 的中点，根据 t 的几何意义，得

35、| PM| 2 21 tt 16 15 中点 M 所对应的参数为 t M=,将此值代入直线的标准参数方程*， 16 15 M 点的坐标为 即 M（，） 4 3 16 15 5 4 16 41 16 15 5 3 2 y x 16 41 4 3 (3)|AB|t 2t 1 2 2 21 1 4)(tttt73 8 5 点拨：利用直线 的标准参数方程中参数 t 的几何意义，在解决诸如直线 上两点间的距离、直线 上某两点的中点以及与此相关的一些问lll 题时，比用直线 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷.l 例例 7：已知直线 经过点 P（1,3）,倾斜角为，l3 3 (1)求直线 与直线：的交点

36、Q 与 P 点的距离| PQ|；l l 32 xy (2)求直线 和圆16 的两个交点 A，B 与 P 点的距离之积.l 22 yx 解：(1)直线 经过点 P（1,3）,倾斜角为,直线 的标准参数方l3 3 l 程为，即（t 为参数）代入直线： 3 sin33 3 cos1 ty tx ty tx 2 3 33 2 1 1 l 得 整理，解得 t=4+232 xy032) 2 3 33() 2 1 1 (tt3 t=4+2即为直线 与直线的交点 Q 所对应的参数值，根据参数 t 的几3l l 何意义可知：|t|=| PQ|,| PQ|=4+2.3 (2) 把直线 的标准参数方程为（t 为参数

37、）代入圆的方程l ty tx 2 3 33 2 1 1 16，得,整理得：t28t+12=0， 22 yx 16) 2 3 33() 2 1 1 ( 22 tt =82-4120,设此二次方程的两个根为 t1、t2 则 t1t2=12 根据参数 t 的几何意义，t1、t2 分别为直线和圆16 的两个交点 22 yx A, B 所对应的参数值，则|t1|=| PA|,|t2|=| PB|, 所以| PA| PB|=|t1 t2|=12 通法通法 特法特法 妙法妙法 （1）斜率法两直线位置关系的角度定位（1）斜率法两直线位置关系的角度定位 倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率

38、 k，即 k=tan （90）；倾斜角为 90的直线没有斜率. 用斜率法判断两直线的位置关系： 平行直线系： 当斜率 k 存在时，与 l：y=kx+b 平行的直线系方程为 l：y=kx+b（bb）,b为参变量. 垂直直线系： 当斜率 k 存在且不为 0 时，与 l：y=kx+b 垂直的直线系方程为 l：为参变量.bbx k y, 1 斜率分别为 k1、k2的两条直线，若 k1k2，则两线必然相交，它们的交角可用 k1、k2的解析式表示为：tan= . 1 21 12 kk kk 【例【例 6】 已知直线 l1：（m+2）x+（m+3）y-5=0 和 l2：6x+（2m-1）y=5. 问 m 为

39、何值时，有： （1）l1与 l2相交？（2）l1l2？（3）l1与 l2重合？（4）l1 l2？ 【 解 析 】【 解 析 】 （ 1 ） 当 m -3 且 m 时 ， 因 为 l1与 l2相 交 ， 所 以 2 1 12 6 , 3 2 21 m k m m k . 2 5 4, 12 6 3 2 mm mm m 且解 得 又当 m=-3 时，直线 l1:-x-5=0,l2:6x-7y=5,两直线相交； 当两直线相交., 56:, 05 2 7 2 5 :, 2 1 21 xlyxlm时 当 m4 或时，l1与 l2相交. 2 5 m （2）由（1）可知，当 m=4 或 m=时，l1与 l2

40、有可能平行. 2 5 当 m=4 时，l1：6x+7y-5=0，l2：6x+7y=5,即 l1与 l2重合； 当时，即 l1l2. 2 5 m, 566:, 05 2 1 2 1 : 21 yxlyxl 当时，l1l2. 2 5 m （3）当 m=4 时，l1、l2重合. （4）当，1 12 6 3 2 2 1 3 mm m ，mm由时且 解得 m=-1 或 m=-. 2 9 又由（1）知 m=-3 或 m=时，l1、l2不垂直， 2 1 当 m=-1 或 m=-时，l1 l2. 2 9 （2）公式法点线距到线线距（2）公式法点线距到线线距 点与直线的位置关系，两平行线间的位置关系用距离确定（

41、与角度无关）. 点到直线的距离公式： 点 P（x0，y0）到直线 l：Ax+By+C=0 的距离 22 00 | BA CByAx d 两条平行直线间的距离公式： 设两条平行直线为 l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0 （C1C2），它们之间的距离为. 22 21 | BA CC d 【例【例 7】 直线 l 过点 A（2，3），且被两平行线 l1：3x+4y-7=0 和 l2：3x+4y+8=0 截得的线段长为 3，求直线 l2 的方程. 【解析解析】 设直线 l 的方程为 y-3=k（x-2）,即 kx-y+3-2k=0. 设 l 与 l1交于点 M，作 MNl2于点 N（如右图）， 则两平行线 l1，l2间距离 |MN|= . 3 43 |87| 22 在直角MNQ 中，|MQ|=3，sinMQN=2, 2 2 23 3 MQN=45，即直线 l 与 l2的夹角是 45，于是 解之得 k=或 k=-7., 4 3 1 4 3 45tan k k 7 1 所求直线方程为 x-7y+19=0 或 7x+y