2015世纪金榜理科数学(广东版)11.2.ppt

1、第二节 证明不等式的基本方法,【知识梳理】 1.三个正数的算术几何平均值不等式 (1)如果a,b,cR+,那么a3+b3+c3_3abc,当且仅当_时, 等号成立. (2)如果a,b,c_，那么 _ ，当且仅当 _时，等号成立. 即：三个正数的算术平均值_它们的几何平均值.,a=b=c,R+,a=b=c,不小于,(3)对于n个正数a1,a2,，an，它们的算术平均值_它 们的几何平均值，即 _ ，当且仅 当_时，等号成立.,不小于,a1=a2=an,2.比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,可分为作差比较法和作商比较法两种,a-b0,a-b0,a-b=0,具有多项式,3.综合法和分析法 (1

2、)综合法 一般地,从_出发,利用_、公理、_、性质等, 经过一系列的_、_而得出命题成立,这种证明方法叫 做综合法.综合法又叫_或由因导果法.,已知条件,定义,定理,推理,论证,顺推证法,(2)分析法 证明命题时,从_出发,逐步寻求使它成立的 _,直至所需条件为_或_ _(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出 要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一种执 果索因的思考和证明方法.,要证的结论,充分条件,已知条件,一个明显成立的,事实,4.反证法 (1)假设要证的命题_,以此为出发点,结合已知条件, 应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和 _(或已证明的定理、性质、明

3、显成立的事实等) 矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明_,我们 把它称为反证法. (2)证明步骤:反设归谬肯定原结论.,不成立,命题的条件,原命题成立,5.放缩法 (1)证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值_或 _,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称 为放缩法. (2)理论依据ab,bca_c.,放大,缩小,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 比较法最终要判断式子的符号得出结论; 综合法是从原因推导到结果的思维方法,它是从已知条件出发,经过逐步推理,最后达到待证的结论; 分析法又叫逆推证法或执果索因法,是从待证结论出发,一步一步地寻求结论成立的必要条件,最后达到题设

4、的已知条件或已被证明的事实;,使用反证法时,“反设”不能作为推理的条件应用; 放缩法就是把分式的分子放大,分母缩小. 其中正确的命题是() A.B.C.D.,【解析】选B.错误.当使用作商比较法时要判断与1的大小关系才能得出结论. 正确.根据综合法的定义可得结论正确. 错误.根据分析法的定义,应把“必要条件”改为“充分条件”才是正确的结论. 错误.根据反证法的定义,“反设”能作为已知条件充分使用. 错误.不符合放缩法的定义.,2.a2+b2与2a+2b-2的大小关系是() A.a2+b22a+2b-2 B.a2+b22a+2b-2 C.a2+b22a+2b-2 D.a2+b22a+2b-2 【

5、解析】选D.因为a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)20,所以a2+b22a+2b-2.,3.若a，b，c，d，x，y是正实数，且 则( ) A.P=Q B.PQ C.PQ D.PQ 【解析】选C.,4.设x0,y0, 则A，B的大小 关系是( ) A.A=B B.AB 【解析】选B.B= 即AB.,5.已知0a,b1，用反证法证明a(1-b),b(1-a)不能都大于 时，反设正确的是( ) A.a(1-b),b(1-a)都大于 B.a(1-b),b(1-a)都小于 C.a(1-b),b(1-a)都大于或等于 D.a(1-b),b(1-a)都小于或等于 【解析】选A.“不能都大

6、于”的否定是“都大于”.,6.P= (x0,y0,z0)与3的大小关系是( ) A.P3 B.P=3 C.P3 【解析】选C.方法一：因为x0,y0,z0, 所以P-3= 所以P0,y0,z0, 所以 所以P3,故选C.,考点1 用比较法证明不等式 【典例1】求证:(1)当xR时,1+2x42x3+x2. (2)当a,b(0,+)时,aabb,【解题视点】第(1)小题的不等式为一元型的整式不等式,可以考虑采用作差比较法证明;而第(2)小题是幂指型的不等式,可考虑采用作商比较法证明.,【规范解答】(1)方法一:(1+2x4)-(2x3+x2) =2x3(x-1)-(x+1)(x-1) =(x-1

7、)(2x3-x-1) =(x-1)(2x3-2x+x-1) =(x-1)2x(x2-1)+(x-1) =(x-1)2(2x2+2x+1) =(x-1)2 0, 所以1+2x42x3+x2.,方法二:(1+2x4)-(2x3+x2) =x4-2x3+x2+x4-2x2+1 =(x-1)2x2+(x2-1)20, 所以1+2x42x3+x2.,当a=b时， =1； 当ab0时， 当ba0时， 所以,【互动探究】保持本例(2)小题的条件不变. 证明abba 【证明】 当a=b时， =1； 当ab0时， 当ba0时， 所以,【易错警示】使用比较法的注意事项 本例主要使用作差、作商法求解.在使用作差、作

8、商法时，注意以下两点： (1)利用作差比较法时,变形的目的在于判断差的符号,而不必考虑差的值是多少.若遇到结果符号不能确定的情况,这时要对差式进行分类讨论.,(2)在利用作商比较法时，其中 1ab是不正确的,这与 a,b的符号有关,比如:若b0,由 1,可得ab,但若b0, 则由 1得出的反而是ab.也就是说,在利用作商比较法 时,要对a，b的符号作出判断.,【规律方法】 1.作差比较法 (1)作差比较法证明不等式的一般步骤 作差:将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差; 变形:将差式进行变形,化简为一个常数,或通分,因式分解变形为若干个因式的积,或配方变形为一个或几个平方和等; 判号:根

9、据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号; 结论:肯定不等式成立的结论. (2)作差比较法的应用范围 当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时,一般使用作差比较法.,2.作商比较法 (1)作商比较法证明不等式的一般步骤 作商:将不等式左右两边的式子,进行作商; 变形:将商式的分子放(缩),分母不变,或分子不变,分母放(缩),或分子放(缩),分母缩(放),从而化简商式为容易和1比较大小的形式; 判断:判断商与1的大小关系,就是判断商大于1或小于1或等于1; 结论.,(2)作商比较法的应用范围 当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时,一般使用作商比较法. 提醒:在使用作商比较法时

10、,要注意说明分母的符号.,【变式训练】 1.已知aR,且a1,求证:3(a4+a2+1)(1+a+a2)2. 【证明】因为3(1+a2+a4)-(1+a+a2)2 =3(1+a2)2-a2-(1+a+a2)2 =3(1+a+a2)(1-a+a2)-(1+a+a2)2 =(1+a+a2)(2a2-4a+2) =2(1+a+a2)(a-1)2 =2 (a-1)2, 又aR,a1,所以2 (a-1)20, 故3(a4+a2+1)(1+a+a2)2.,2.设ab0，求证： 【证明】方法一：因为ab0, 所以左边-右边= = 故原不等式成立. 方法二： 由ab0，知,【加固训练】1.求证: 【证明】因为

11、(x+1) =(x+1) =(x+1)(x2+x+1)- (x+1), =(x+1)(x2+x+1)- (x2+x+1). 作差得,所以,2.已知函数f(x)= (e2.718). (1)若x1,x21,+),x1x2.求证： (2)若满足f(|a|+3)f(|a-4|+1),试求实数a的取值范围.,【解析】(1) 因为x1,x21,+),x1x2, 所以x1x210,所以 0, 所以,(2)由(1)可知，f(x)在1，+)上为单调增函数. 因为|a|+31,|a-4|+11且f(|a|+3)f(|a-4|+1)， 所以|a|+3|a-4|+1. 当a0时，-a+34-a+1,所以35,所以a

12、; 当04-a+1,所以a1,所以1a-4+1,所以3-3,所以a4. 综上所述，a1.,考点2 用综合法证明不等式 【典例2】已知a,b,c0且互不相等,abc=1.试证明: 【解题视点】本题可用abc=1代换 中的a,b,c，然后 利用基本不等式证明或者利用基本不等式从右向左证明.,【规范解答】方法一：因为a,b,c0，且互不相等，abc=1， 方法二：因为,所以以上三式相加，得 又因为a,b,c互不相等, 所以 方法三:因为a,b,c是互不相等的正数，且abc=1, 所以 所以,【互动探究】本例已知条件不变，则(a+2)(b+2)(c+2)与27的大小关系为 . 【解析】由已知得(a+2

13、)(b+2)(c+2)=(a+1+1)(b+1+1) (c+1+1) 答案：(a+2)(b+2)(c+2)27,【规律方法】 1.综合法证明不等式的方法 (1)综合法证明不等式,要着力分析已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键. (2)在用综合法证明不等式时,不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时,要注意性质成立的前提条件.,2.综合法证明时常用的不等式 (1)a20. (2)|a|0. (3)a2+b22ab,它的变形形式有 a2+b22|ab|;a2+b2-2ab;(a+b)24ab;,(4) 它的变形形式有 (5)

14、(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2.,【变式训练】已知a,b，c是全不相等的正实数，求证：,【证明】方法一：要证 只需证明 即证： 由a,b,c为全不相等的正实数得 所以 所以 成立.,方法二：因为a,b,c全不相等, 所以 全不相等, 所以 三式相加得,【加固训练】已知a,bR,且a+b=1，求证：(a+2)2+(b+2)2,【证明】方法一：(比较法)因为a,bR，a+b=1,所以b=1-a, 所以(a+2)2+(b+2)2- =a2+b2+4(a+b)- =a2+(1-a)2+4- =2a2-2a+ = 0. 即(a+2)2+(b+2)2 (当且仅当a=b= 时，取等号).,方法

15、二：(分析法) (a+2)2+(b+2)2 a2+b2+4(a+b)+8 因为显然成立，所以原不等式成立.,方法三：(反证法)假设(a+2)2+(b+2)2 , 则a2+b2+4(a+b)+8 . 由a+b=1，得b=1-a，于是有a2+(1-a)2+12 . 所以 0,这与 0矛盾， 所以(a+2)2+(b+2)2 .,方法四：(放缩法)因为a+b=1, 所以左边=(a+2)2+(b+2)2 = =右边， 方法五：(均值换元法)因为a+b=1，所以可设a= +t,b= -t, 所以左边=(a+2)2+(b+2)2= =右边. 当且仅当t=0时，等号成立.,方法六：(利用一元二次方程根的判别式

16、法) 设y=(a+2)2+(b+2)2, 由a+b=1,有y=(a+2)2+(3-a)2=2a2-2a+13, 所以2a2-2a+13-y=0, 因为aR，所以=4-42(13-y)0,则y . 故(a+2)2+(b+2)2 .,考点3 用分析法证明不等式 【典例3】(2014十堰模拟)设a,b,c0，且ab+bc+ca=1. 求证：(1)a+b+c . (2),【解题视点】(1)不好直接用比较法和综合法，可选择用分析法证明.(2)先将不等式左边通分变形后利用分析法证明，注意使用(1)中已证得的结论.,【规范解答】(1)要证a+b+c , 由于a,b,c0, 因此只需证明(a+b+c)23.

17、即证:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)3, 而ab+bc+ca=1, 故需证明:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)3(ab+bc+ca). 即证:a2+b2+c2ab+bc+ca. 而这可以由ab+bc+ca =a2+b2+c2 (当且仅当a=b=c时等号成立)证得. 所以原不等式成立.,(2) 在(1)中已证a+b+c . 因此要证原不等式成立， 只需证明 即证 即证 而,所以 ab+bc+ca(当且仅当a=b=c= 时 等号成立). 所以原不等式成立.,【易错警示】分析法证明不等式的注意点 本题采用分析法证明，在采用分析法时要注意以下问题：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”

18、错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”“只需证”这样的连接“关键词”.,【规律方法】 1.用分析法证“若A则B”这个命题的模式 为了证明命题B为真, 只需证明命题B1为真,从而有 只需证明命题B2为真,从而有 只需证明命题A为真,而已知A为真,故B必真.,2.分析法的应用 当所证明的不等式不能使用比较法,且和重要不等式、基本不等式没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.,3.综合法与分析法的逻辑关系 用综合法证明不等式是

19、“由因导果”,分析法证明不等式是“执果索因”,它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程,表述简单、条理、清楚,所以在实际应用时,往往用分析法找思路,用综合法写步骤,由此可见,分析法与综合法相互转化,互相渗透,互为前提,充分利用这一辩证关系,可以增加解题思路,开阔视野.,【变式训练】已知不等式|x+1|+|x-2|m的解集是R. (1)求实数m的取值范围. (2)在(1)的条件下,当实数m取得最大值时,试判断 是否成立?并证明你的结论.,【解析】(1)由绝对值不等式性质知： |x+1|+|x-2|x+1+2-x|=3对xR恒成立. 故|x+1|+|x-2|m的解集为R，只需m

20、3即可， 所以m的取值范围是(-,3.,(2)由(1)知实数m的最大值为3, 当m=3时，不等式 成立. 证明如下： 要使 成立, 只需 等价于 等价于 等价于4230，而4230显然成立，故所证不等式成立.,【加固训练】1.设a,b,c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( ),【解析】选C.(a+3)2-(2a2+6a+11)=-a2-2b时,恒成立,当ab时,不恒成立; 由不等式 恒成立,知D项中的不等 式恒成立.故选C.,2.已知m0,求证：,【证明】(1)因为m0,所以1+m0. 所以要证 即证(a+mb)2(1+m)(a2+mb2), 即证m(a2-2ab+b2)0，即证(

21、a-b)20, 而(a-b)20显然成立，故,(2)因为m0，所以为了证明 只需证明 即只需证明 即 即只需证明,只需证明 因为 当且仅当m=1时，等号成立， 所以,考点4 用反证法与放缩法证明不等式 【典例4】(1)已知 n1且nN+,证明PQ. (2)已知a，b，cR，f(x)=ax2+bx+c.若a+c=0，f(x)在 -1，1上的最大值为2，最小值为 求证:a0且,【解题视点】(1)由于P有n项相加，直接求和不好求，用作差 比较法也不好求，应该对P利用放缩法后，裂项求和解决. (2)直接证明a0且 2比较困难，可考虑从反面入手，运 用反证法，导出矛盾，从而证得结论.,【规范解答】(1)

22、因为 所以 所以PQ.,(2)由a+c=0得c=-a，所以f(x)=ax2+bx-a. 假设a=0或 2. 由a=0，得f(x)=bx，依题意知b0， 又f(x)在-1，1上是单调函数， 所以f(x)的最大值为|b|，最小值为-|b|. 于是|b|=2，-|b|=- ，显然矛盾，故a0.,由 1且a0， 所以f(x)在-1，1上单调，故其最大值为|b|， 最小值为-|b|， 由知这是不可能的，所以 2不成立. 综合可知，假设不成立，故a0且 2.,【规律方法】 1.适宜用反证法证明的数学命题 (1)结论本身是以否定形式出现(如所证结论涉及“不可能”“不是”等字眼)的一类命题. (2)关于唯一性、存在性的命题. (3)结论以“至多”“至少”等形式出现的命题. (4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题.,2.常见的“结论词”与“反设词”,3.用放缩法证明不等式的常用方法 (1)添加或舍去一些项，如a2+a+1= (2)将分子或分母放大(或缩小)，如,(3)利用真分数的性质：若00，则 (4)利用基本不等式，如a+b (a0,b0). (5)利用绝对值不等式定理：|a|-|b|ab|a|+|b|. (6)利用函数的单调性.,【变式训练】1.已知|a|b|, 则m,n之间的大小关系是( ) A.mn B.mn C.m=n D.m