极坐标与参数方程综合运用题型(一)

1、。极坐标和参数方程综合应用问题(一)问题分析从圆上的一点到直线的最大距离示例1已知曲线C1的参数方程是曲线C2的极坐标方程是=2cos()，并且以极点作为坐标原点并且以极轴作为x轴的正半轴来建立平面直角坐标系。(1)求出C2曲线的直角坐标方程；(2)找出从C2曲线上的移动点M到直线C1的最大距离。解决方案： (一)也就是说，2=2(cos sin)，x2 y22x2y=0，所以C2的直角坐标方程是(x 1) 2 (y 1) 2=2。(2)曲线C1的参数方程为，C1的直角坐标方程为，根据(1)，曲线C2是一个以(1，1)为中心的圆，从中心到直线C1的距离，从移动点m到曲线C1的最大距离是变式练习

2、11.已知曲线C1:曲线：(t是一个参数)(1)将C1变换成直角坐标方程，将C2变换成一般方程；(二)如果m是C2曲线和x轴的交点，n是C1曲线上的移动点，求|MN|。解：(1)C1曲线的极坐标为2=2sin，x2 y2=2，x=cos，y=sin因此，C1曲线的直角坐标方程x2y2-2y是0，因为C2曲线的参数方程是，曲线C2的一般方程4x 3y8=0是通过消除参数t获得的(二)因为C2曲线是一条直线，让y=0，得到x=2，也就是说，M点的坐标是(2，0)C1曲线是一个圆，它的中心坐标是C1 (0，1)，半径r=1，那么，最大值|MN|是2.众所周知，极坐标系统的极点在直角坐标系的原点，极轴

3、与X轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为：曲线C的参数方程为：(为参数)。(1)写出直线的直角坐标方程；(2)求出曲线C上的一点到一条直线的最大距离。解：(1)线L的极坐标方程为：(sincos)=,xy 1=0。(2)根据曲线c的参数方程：(为参数)，我们得到(x2)2 y2=4，它代表一个以(2，0)为中心，以2为半径的圆，从中心到直线的距离为d=，曲线c上点到直线l=的最大距离。3.众所周知，在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(T为参数)，极坐标系统以原点O为极点，Ox为极轴建立，圆C的极坐标方程为。(1)求中心c的直角坐标；(2)从直线上的点到圆C画切线，得到切线的最小长度。解：(1)

4、从圆C的极坐标方程=2co()，扩展到2=，然后更改为x2y2=。正方形=1，是中心。(2)将直线长度从直线上的点L引至圆C=5，从直线l上的点到圆c的直线的最小长度是5。第二题用三角函数来求最大值例2在直角坐标系xOy中，直线l的方程是x-y 4=0。曲线C的参数方程为(为参数)。(1)已知在极坐标系统(以相同长度单位为直角坐标系xOy，以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴)中，点p的极坐标为，判断点p与直线l的位置关系；(2)设q是曲线c上的一个移动点，求出它到直线l的最小距离.解：(1)点P(0，4)是通过将极坐标系统中的点P变换成直角坐标得到的，p(0，4)满足方程x-y 4=0，点p在

5、直线l上.(2)因为点q是曲线c上的一个点，所以点q的坐标可以假设为(cos ，sin )，所以当cos=-1时，从点q到直线l的距离d=( r)将得到最小值。备选做法21.在直角坐标系中，C1曲线的参数方程为：(为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位为直角坐标系，建立极坐标系，C2曲线的极坐标系方程为：(1)求出C2曲线的直角坐标方程；(2)如果p和q是an(1)写出C1曲线和直线l的直角坐标方程；(2)设Q为C1曲线上的移动点，求Q与直线的最小距离。(1) C1: x2 2y2=2，l: y x=4。(2)设Q(cos ，sin )，那么Q点到直线l的距离d=，当且仅

6、当=2k (k z)时，即=2k (k z)时，取等号。3.以平面直角坐标系的原点为极点，X轴的正半轴为极轴，建立极坐标系。设曲线C的参数方程为(是参数)，直线L的极坐标方程为 cos=2。(1)求直线l的直角坐标方程和曲线c的常微分方程；(2)让点P为曲线C上的任意点，求出点P与直线l之间的最大距离.解：(1)线l的极坐标方程为 cos=2， =2， x-y=2，即直线l的直角坐标方程是x-y-4=0。从=1，也就是说，曲线C的一般方程是=1。(2)如果设定了点P(2cos ，sin )，那么从点P到直线l的距离D=，其中tan =。当cos ( )=-1时，dmax=，即p点到直线l的最大

7、距离为。4.已知曲线c:=1和直线l: (t是一个参数)。(1)写出曲线c的参数方程和直线l的常微分方程；(2)通过曲线C上的任意点P与L成30角的直线，在点A与L相交，求出|PA|的最大值和最小值。解 (1)曲线C的参数方程是(是一个参数)。直线L的一般方程是2x y-6=0。(2)曲线c上任意点P(2cos ，3sin )到l的距离为d=| 4cos 3sin-6 |，然后| pa |=| 5s in()-6 |，其中为锐角，tan =。当sin ( )=-1时，|PA|得到最大值。当sin ( )=1时，|PA|得到最小值。5.在直角坐标系中，直线的参数方程是(T是参数)。如果以0为极点

8、，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系统，曲线C的极坐标方程为=cos。(1)求出由曲线c切割的直线l的弦长；(2)如果M(x，y)是曲线c上的移动点，求x，y的最大值.解：(1)直线L的参数方程是(T是一个参数)，通过消去T，可以得到3x 4y 1=0。因为=cos=，也就是说，如果 2= cos - sin ，那么x2 y2-x y=0，其中心为r=，从圆心到直线的距离是d=，所以弦长是2=2=。(2)设圆的参数方程为(是参数)，即m，那么x y=cos sin =sin，因为 R，x y的最大值为1。6.(2015年新乡市许昌平顶山市第二次调查)已知直线L: (T为参数)和曲线C1(为参数)。

9、(1)L:(t1和C1在点A和B相交，并找到| AB |(2)如果C1曲线上每个点的横坐标和纵坐标被压缩到原始值，则得到C2曲线，而设定点P是C2曲线上的移动点，并得到从它到直线L的最小距离。l的一般方程是y=(x-1)，C1的一般方程是x2 y2=1。联立方程，L和C1的交点是A (1，0)，B，然后| AB |=1。(2)方程(2)的参数是C2(是一个参数)，所以点P的坐标是。因此，从点p到直线l的距离d是=，当sin=-1时，d取最小值，最小值为(-1)问题3:根据最大值找出点坐标例3在直角坐标系xOy中，C1曲线的参数方程为(为参数)，以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系统，

10、C2曲线的极坐标方程为。(1)求出C1曲线的常微分方程和C2曲线的直角坐标方程；(2)设P为C1曲线上的移动点，求出P点到C2点的最小距离，并求出此时P点的坐标。解：(1)C1曲线的参数方程是(是一个参数)，然后sin2 cos2=1变为y2=1，C2曲线的极坐标方程为sin( )=4。也就是说，有sincos cossin=4，也就是说，直线x y8=0；(2)如果P(余，辛)，从P到直线的距离是d，然后d=，然后当sin()=1，=2k，k为整数时，p的坐标为(，)，最小距离为=3。备选做法31.在直角坐标系xOy中，直线L1的参数方程解：(1)从=2sin，我们得到 2=2 sin，所以

11、x2 y2=2y，所以x2 (y-) 2=3。(2)让p和C(0)，然后| PC |=，因此，当t=0时，|PC|得到最小值，此时，点p的直角坐标为(3，0)。2.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，坐标轴的正半轴为极轴，建立极坐标系统。曲线的极坐标方程是：(1)求曲线的直角坐标方程；()在曲线上找出一点，使它到直线的距离：(作为参数)最短，并找出该点的直角坐标。(一)解：可以从，得到，因为，曲线的一般方程是(或)(二)解1:因为直线的参数方程是(作为参数)，淘汰。因为曲线是以圆心和1为半径的圆，因为点在曲线上，所以可以设定一个点。所以点到直线的距离是。因为，在那个时候，这个时候，这个点的坐

12、标是。解决方案2:因为直线的参数方程是(作为参数)，通过消去法得到的直线的一般方程是。因为曲线是圆心和半径为1的圆，设定一个点，从该点到直线的距离是最短的。因此，曲线在一点的切线平行于一条直线。也就是说，直线的斜率和的乘积等于，也就是说，因为解是or，所以点的坐标是or。由于点到直线的距离最短，所以该点的坐标为。3.已知曲线C1:(是参数)，C2:(是参数)(1)将C1方程和C2方程转化为普通方程，并解释它们分别代表什么曲线；()如果C1上p点对应的参数为=，q为C2上的移动点，求PQ中点m与直线C3之间的最小距离：(t为参数)和此时q点的坐标。解：(I)根据标题，从曲线C1:(是参数)，(x

13、 4)2 (y3)2=1，它代表一个以( 4，3)为中心，以1为半径的圆。从C2得到：(是参数)，它表示一个椭圆，中心为坐标原点，焦点在轴上，长半轴长度为8，短半轴长度为3。()当时，p ( 4，4)，Q(8cos，3sin)，所以M(2 4cos，2 sin)，X2y7=0，它代表一条直线，从m到直线的距离是：D=| 5cos ( ) 13 | ,(其中sin =，cos =),当cos ( )=1时，d取最小值。因此，当sin =，cos =时，d有一个最小值，此时，q点(,).强化训练1.在极坐标系统中，圆c的中心c(，)和半径r=是已知的。(1)求圆c的极坐标方程；()如果0，则直线的

14、参数方程为(t为参数)，直线在a点和b点与圆c相交，得到弦长|AB|的取值范围。解：(1)c的直角坐标为(1，1)，圆c的方程为(x 1) 2 (y 1) 2=3。转换成极坐标的方程是22(cos sin)1=0(ii)将直角坐标方程(x1)2 (y1)2=3)代入圆c，结果是(1 tcos)2 (1 tsin)2=3，即t22t (cos sin ) 1=0。t1 t2=2(cos sin),t1t2=1.|AB|=|t1t2|=2.0，)，20，)， 2 |AB| 2。弦长| AB |的取值范围是2，22.在直角坐标原点O为极点，X轴非负半轴为极轴的极坐标系统中，C1曲线方程为=1，C1向

15、上平移一个单位，得到C2曲线。()求C2曲线的极坐标方程；()如果C1曲线的切线与C2曲线在m，n两个不同的点相交，且切点为t，则求出| TM | | TN |。解：(1)曲线C1方程为=1，即2=1，变为x2 y2=1。将C1向上平移一个单位，得到曲线C2: x2 (y 1) 2=1，并扩展到x2y2 2y=0。那么曲线C2的极坐标方程是22sin=0，即=2sin。(二)让T(陪，sin)，0，。正切的参数方程是：(t是一个参数)，代入C2的方程如下：t2 2tcos()sin 12sin=0，t1t2=12sin| TM | | TN |=| t1 T2 |=| 12 sin|0，1，

16、| TM | | TN |的值范围为0，3.在直角坐标系xOy中，直线L的参数方程为(T为参数)，极坐标系统以原点为极点，以X轴的正半轴为极轴建立，C的极坐标方程为=2sin。(1)写出C的直角坐标方程；(2)P是直线l上的移动点。当P到圆心的距离最小时，得到P的直角坐标。解：(1)从=2sin，我们得到 2=2 sin，所以x2 y2=2y，所以x2 (y-) 2=3。(2)让p和C(0)，然后| PC |=，因此，当t=0时，|PC|得到最小值，此时，点p的直角坐标为(3，0)。4.在平面直角坐标系中，C1曲线的参数方程为：(为参数)，以坐标原点o为极点，X轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系统，C2曲线的极坐标方程为=2cos。(1)求出C2曲线的直角坐标方程；(2)假设M点是C1曲线上的任意点，N点是C2曲线上的任意点，求|MN|的取值范围。(1)从=2cos，我们可以得到2=2cos，x2 y2=2x，(x1)2 y2=1。(2)如果设置了M(4cos，3sin),则|MC2|1|MN|MC2| 1，|mc2|2=(4cos1)29sin2=7cos28