华东理工大学高等数学第9章答案

1、 1 第第 9 章（之章（之 1） （总第（总第 44 次）次） 教学内容教学内容:9 9.1 微分方程基本概念微分方程基本概念 *1 微分方程微分方程 73 59)(2xyyyy 的阶数是的阶数是 （ ） （A）3； （B）4； （C）6； （D）7 答案答案（A） 解解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数 *2 下列函数中的下列函数中的C、及及k都是任意常数，这些函数中是微分方程都是任意常数，这些函数中是微分方程 04 yy的通解的函数是的通解的函数是 （ ） （A）xCxCy2sin)2912(2cos3； （B）)2sin1 (2cos

2、xxCy； （C）xCkxkCy2sin12cos 22 ； （D）)2cos(xCy 答案答案 （D） 解解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数 （A）中的函数只有一个任意常数）中的函数只有一个任意常数 C； （B）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解； （C）中的函数从表面上看来也有两个任意常数）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C及及k，但当令，但当令kCC 时，函数时，函数 就变成了就变成了xCxCy2sin12cos 2 ，实质上只有一个任意常数；，

3、实质上只有一个任意常数； （D）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解程的解 *3在曲线族在曲线族 xx ececy 21 中，求出与直线中，求出与直线xy 相切于坐标原点的曲线相切于坐标原点的曲线 解解 根据题意条件可归结出条件根据题意条件可归结出条件1)0(, 0)0(yy， 由由 xx ececy 21 ， xx ececy 21 ，可得，可得1, 0 2121 cccc， 故故 2 1 , 2 1 21 cc，这样就得到所求曲线为，这样就得到所求曲线为)( 2 1 xx eey ，即，即xysinh *4

4、证明：函数证明：函数yex x 2 3 3 3 2 1 2 sin是初值问题是初值问题 1 d d , 0 0 d d d d 00 2 2 xx x y y y x y x y 的解的解 2 证明证明 yexex xx 3 3 3 2 3 2 1 2 1 2 s i nc o s， yexex xx 3 3 3 2 3 2 1 2 1 2 sincos， 代入方程得代入方程得 yyy0， 此外此外 ，1)0(0)0(yy 故故yex x 2 3 3 3 2 1 2 sin是初始值问题的解是初始值问题的解 *5验证验证yeetCe xt x x 2 0 d（其中（其中C为任意常数）是方程为任意

5、常数）是方程 yyex x 2 的通解的通解 证明证明 yeeteeCe xt x xxx 22 0 d yex x 2 ， 即即 2 xx eyy ，说明函，说明函 数确实给定方程的解数确实给定方程的解 另一方面函数另一方面函数yeetCe xtx x 2 0 d含有一任意常数含有一任意常数C，所以它是方程的通，所以它是方程的通 解解 *6求以下列函数为通解的微分方程：求以下列函数为通解的微分方程： （1） 3 1Cxy； 解解 将等式将等式 3 1Cxy改写为改写为1 3 Cxy，再在其两边同时对，再在其两边同时对x求导，得求导，得 Cyy 2 3，代入上式，即可得到所求之微分方程为，代入

6、上式，即可得到所求之微分方程为13 32 yyxy （2） x C xCy 2 1 解解 因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方程一定是二程一定是二 阶方程，在方程等式两边同时对阶方程，在方程等式两边同时对x求两次导数，得求两次导数，得 2 2 1 x C Cy， 3 2 2 x C y 从以上三个式子中消去任意常数从以上三个式子中消去任意常数 1 C和和 2 C，即可得到所求之微分方程为，即可得到所求之微分方程为 0 2 yyxyx *7建立共焦抛物线族建立共焦抛物线族)(4 2 CxCy（其中（其中C为任意常数）所满足的

7、微分方为任意常数）所满足的微分方 程这里的共焦抛物线族是以程这里的共焦抛物线族是以x轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线 轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线 3 解解 在方程在方程)(4 2 CxCy两边对两边对x求导有求导有Cyy42，从这两式中消去常数，从这两式中消去常数 所求方程为所求方程为)2(yyxyy *8求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线)(xyy 上任一点处的法上任一点处的法 线都经过坐标原线都经过坐标原点点 解解 任取任取)(xyy 上的点上的点 ),(yx，曲线在该点处的切线斜率为，曲线在该点处的切线斜率为 y = dx dy

8、 所以过点所以过点),(yx的法线斜率为的法线斜率为 y 1 ， 法线方程为法线方程为yY = y 1 )(xX ， 因因为法线过原点，所以为法线过原点，所以 y0 y 1 )0(x从而可得所求微分方程为从而可得所求微分方程为0 yyx 第第 9 章（之章（之 2） （总第（总第 45 次）次） 教学内容：教学内容：9 9.2 .1 可分离变量的方程；可分离变量的方程； 9.2 .2 一阶线性方程一阶线性方程 *1求下列微分方程的通解：求下列微分方程的通解： （1） 2 1 )1 ( x yx y ； 解解： 分离变量分离变量 2 1 d 1 d x xx y y ，两边积分，两边积分 2 1

9、 d 1 d x xx y y ， 得得Cxyln)1ln( 2 1 )1ln( 2 ，即，即 2 1 1 x C y （2） 2 2 2 yx e y x y ； 解解：分离变量：分离变量xxeyye xy dd2 2 2 ，两边积分就得到了通解，两边积分就得到了通解 )d( 2 1 22 2 xexee xxy cexe xx ) 2 1 ( 2 1 22 （3）042) 12( yy eyex 解解： 12 d 42 d x x e ye y y ， Cxe y ln 2 1 ) 12ln( 2 1 )2ln( 2 1 ， 4 即即 ()()exC y 2 21 *2试用两种不同的解法求

10、微分方程试用两种不同的解法求微分方程xyyxy1的通解的通解 解法一解法一 （可分离变量方程的分离变量法）这是一个一阶可分离变量方程，同（可分离变量方程的分离变量法）这是一个一阶可分离变量方程，同 时也是一个一阶线性非齐次方程，这时一般作为可分离变量方程求解较为容易时也是一个一阶线性非齐次方程，这时一般作为可分离变量方程求解较为容易 分离变量，分离变量，)1)(1 (yxy， xx y y d)1 ( 1 d ，并积分，并积分 xx y y d)1 ( 1 d 得得cxxy 2 2 1 )1ln(，所求通解为，所求通解为 xx cey 2 2 1 1 解法二解法二 （线性方程的常数变易法）将原

11、方程改写为（线性方程的常数变易法）将原方程改写为xyxy1)1 (，这是一，这是一 个一阶线性非齐次方程个一阶线性非齐次方程 对应的齐次方程为对应的齐次方程为0)1 (yxy，其通解为，其通解为 1 xx eCy 2 2 1 代入原非齐次方程得代入原非齐次方程得xeC xx 1 2 2 1 ，解得，解得 2CeC xx 2 2 1 ， 2 代入代入 1 即可即可 得原方程的通解得原方程的通解 xx Cey 2 2 1 1 *3求解下列初值问题：求解下列初值问题： （1） 2 1x y y ， 6 ) 2 1 ( ey 解解： y = 2 1x y ， 2 1 dd x x y y (0y)，

12、2 1 dd x x y y ， Cxy arcsinln， x Cey arcsin ， 6 ) 2 1 (ey， 2 1 arcsin 6 Cee ，1C， x ey arcsin （2） 2 2 x exyy ，1)0(y； 解解: 2 2 x exyy ， xxp2)(， 2 )( x exq ， )(xy xx e d2 Cdxee xx x d2 22 x e Cdxee xx x d2 222 xx Cexe ， 5 1)0(y， 101cc， 2 ) 1( x exy （3） x exyy cos cot，1) 2 ( y； 解解： x exyy cos cot， xxPco

13、t)(， x exQ c o s )( xCy xx x xx deee dc o t c o s dc o t )dee(e sinlncossinln xC xxx )dsine(csc cos xxCx x xC x csc)e( cos ， 由由1) 2 ( y， 可确定可确定 2C，所以，所以 xy x csc)e2( cos （4）0d) 12(d 2 xxxyyx，0 1 x y 解解： 方程变形为方程变形为 2 112 xx y x y，是一阶线性非齐次方程，其通解为，是一阶线性非齐次方程，其通解为 dxe xx cey dx x dx x 2 2 2 ) 11 ( dxx x

14、x c x 2 22 ) 11 ( 1 xxc x 2 2 2 11 xx c1 2 1 2 由由 0) 1 (y， 得得 2 1 c， 所以特解为：所以特解为： xx y 1 2 1 2 1 2 *4 求微分方程求微分方程 0d)ln(dlnyyxxyy 的通解 （提示将的通解 （提示将x看作是看作是y的函数） 的函数） 解解：将：将x看作是看作是y的函数，原方程可化为的函数，原方程可化为 y x yydy dx1 ln 1 ，这是一阶线性方程，这是一阶线性方程， 将其中将其中 y yQ yy yP 1 )( , ln 1 )(代入一阶线性方程求解公式，得通解代入一阶线性方程求解公式，得通解

15、 1 e 1 )ln(ln)ln(lnln 1 ln 1 dye y cdye y cex yy dy yy dy yy y y c dy y y c y ln 2 1 ln ln ln 1 6 *5求满足关系式求满足关系式)(d)( 2 2 xyxuuuy x 的可导函数的可导函数)(xy 解解：这是一个积分方程，在方程等式两边同对：这是一个积分方程，在方程等式两边同对x求导，可得微分方程求导，可得微分方程 xy xx y x ( ) d d 2，即，即 d d y x xyx 2， 分 离变 量得， 分 离变 量得 d d y y xx 2 ， 积分 得， 积分 得 yCe x 2 2 2

16、， 在原方程两边以在原方程两边以2x代入，可得初试条件代入，可得初试条件2 2 x y据此可得据此可得 1 4 eC，所以原方程的解为，所以原方程的解为 24 1 2 2 x ey *6设降落伞自塔顶自由下落，已知阻力与速度成正比（比例系数为设降落伞自塔顶自由下落，已知阻力与速度成正比（比例系数为k） ，求降） ，求降 落伞的下落速度与时间的函数关系落伞的下落速度与时间的函数关系 解解：根据牛顿运动第二定理有：根据牛顿运动第二定理有kvmg t v m d d 这是一个可分离变量方程，分离这是一个可分离变量方程，分离 变量并积分得变量并积分得 1 k mgkv t m Cln() 由初始条件由

17、初始条件0)0(v， 得得)ln( 1 mg k C，即得，即得 v mg k e k mt 1 *7求一曲线，已知曲线过点求一曲线，已知曲线过点) 1 , 0(，且其上任一点，且其上任一点),(yx的法线在的法线在x轴上的截距轴上的截距 为为kx 解解：曲线在点：曲线在点( , )x y处的法线斜率为处的法线斜率为 y 1 ，所以法线方程为，所以法线方程为Yy y Xx 1 () 只要令只要令0Y，就可以得到法线在，就可以得到法线在x轴上的截距为轴上的截距为 yyxX 据题意可得微分方程据题意可得微分方程xyykx ， 即， 即xkyy) 1( 这是一个可分离变量方这是一个可分离变量方 程，

18、分离变量并积分得所求曲线程，分离变量并积分得所求曲线Cxky 22 )1 (，由于曲线过点，由于曲线过点) 1 , 0(，所以，所以 1C，所以所求曲线方程为，所以所求曲线方程为 yk x 22 11() *8求与抛物线族求与抛物线族 2 Cxy （C是常数）中任一抛物线都正交的曲线（族）的是常数）中任一抛物线都正交的曲线（族）的 方程方程 7 解解：在给定曲线：在给定曲线 2 cxy 上任意一点上任意一点),(yx处切线斜率为处切线斜率为cxyk2 0 ，从上面两，从上面两 式中消去式中消去c得得 x y yk 2 0 ，这样就得到了给定曲线族所满足的微分方程，这样就得到了给定曲线族所满足的

19、微分方程 x y y 2 设所求曲线方程为设所求曲线方程为 )(xyy ，在同一点在同一点),(yx处切线斜率为处切线斜率为yk，则根，则根 据正交要求有据正交要求有1 0 kk，这样就得到了所求曲线族应该满足的微分方程，这样就得到了所求曲线族应该满足的微分方程 y x y 2 这是一个可分离变量方程，分离变量这是一个可分离变量方程，分离变量xdxydy2，积分得所求曲线族，积分得所求曲线族 cxy 22 2 1 ，即椭圆族，即椭圆族cxy 22 2 1 *9作适当变换，求微分方程作适当变换，求微分方程 12 2 4 x ey y 的通解的通解 解解 原 方 程 可 化 为原 方 程 可 化

20、为4 12 2 yy e x ye， 在 换 元， 在 换 元 y ez 下 方 程 可 化 为下 方 程 可 化 为 4 12 2 x z z，这是一个一阶线性方程，其通解为，这是一个一阶线性方程，其通解为 xeCez x x x x d4 12 d2 12 d2 44 12 1 2 xxC x *10作适当变换，求微分方程作适当变换，求微分方程 d d tan y x y xy y x 2 1 2 2 的通解的通解 解解：令：令uxy 2 ，代入方程整理得，代入方程整理得 x x u ud tan d ，积分得，积分得 Cxu sin，以，以 x y u 2 代入上式，即得原方程的通解：代

21、入上式，即得原方程的通解： Cx x y 2 sin 第第 9 章章 （之（之 3） （总第（总第 46 次）次） 教学内容：教学内容：9.2 .3 齐次型方程；齐次型方程；9.2.4 伯努利方程伯努利方程 *1 1求下列微分方程的通解：求下列微分方程的通解： (1) )lnln1 ( d d xy x y x y ； 8 解解： )lnln1 ( d d xy x y x y ， dx dy = x y (1+ x y ln)，这是一个一阶齐次型方，这是一个一阶齐次型方 程程 令令 x y u ，则，则 uxy ，即，即uxuy，于是原方程可化为，于是原方程可化为uuuxln这这 是一个可分

22、离变量方程是一个可分离变量方程 分离变量分离变量 x dx uu du ln ， 并积分， 并积分 x dx uu du ln ， 得， 得cxulnlnlnln， 即， 即 cx eu 以以 x y u 代入，得所求的通解为代入，得所求的通解为 cx xey （2）()arctanxyy y x x 解解：方程可化为：方程可化为 x y x y y arctan 1 ，这是一个一阶齐次型方程，这是一个一阶齐次型方程 令令 x y u ，则，则 uxy ，即，即uxuy，于是原方程可化为，于是原方程可化为 ux u x arctan 1 d d ，这，这 是一个可分离变量方程是一个可分离变量方

23、程 分离变量后积分得分离变量后积分得 xuCeu u 1 2 arctan 以以 x y u 代入上式得原方程的通解：代入上式得原方程的通解：xyCe y x y x 22 arctan *2求解下列初值问题：求解下列初值问题： （1）0d)2(d 22 yyxxxy 满足初始条件满足初始条件 1)2(y 的特解的特解 解解: 0d)2(d 22 yyxxxy， dy dx = x y y x 2 ， 令令 y x u ， 则则 u u dy du yu 1 2 ， u u du 1 = y dy ， u u du 1 = y dy ， cyulnln) 1ln( 2 1 2 ， cyu1 2

24、 ， 即即 222 1ycu ， 代回即得代回即得 2 2 y x +1= 22 yc， 1)2(y， 5 2 c， 因此因此 22 yx =5 4 y （2） . 0 ,0d)(d)( 0 x y yyxxyx 9 解解：原方程可表为：原方程可表为 1 1 d d x y x y xy yx x y ，令，令 x y u ，uxuy， 代入方程，有代入方程，有 1 1 u u uxu，即，即 1 21 d d 2 u uu x u x， 分离变量分离变量 x x u uu u d 1 d 21 1 2 ，积分得，积分得 Cxuulnln)21ln( 2 1 2 通解通解 Cyxyx 22 2

25、，令，令 0, 0yx，得，得 0C 所以初值问题的解为所以初值问题的解为 02 22 yxyx *3试证明：当试证明：当 1221 baba时，总能找到适当的常数时，总能找到适当的常数h，k，使一阶微分方程，使一阶微分方程 )( 222 111 cybxa cybxa fy 在变换在变换kys，hxt之下，可化为一阶齐次型方程之下，可化为一阶齐次型方程 )( d d 22 11 sbta sbta f t s 并求方程并求方程 0d)32(d) 12(yyxxyx 的解的解 证明证明：令：令 sbtacybxa sbtacybxa 22222 11111 1221 baba， 可解得：可解得

26、： 1221 1221 1221 2112 baba cbcb xt baba caca ys 因此可取：因此可取： 1221 1221 1221 2112 baba cbcb h baba caca k 解解：0)32() 12(dyyxdxyx，令，令 3 2 xt ys xt ys dd dd 0)2( 3) 3(21)2(23dsstdtst，0)32(2dsstdtst， t s t s dt ds dt ds t s t s 3 2 2 1 0) 3 2( 2 1 ， 10 令令 dt du tu dt ds t s u， 23 ) 1)(13( 32 21 u uu dt du

27、t u u dt du tu， t dt du uut dt du uu u ) 13(2 3 ) 1(2 1 , ) 1)(13( )23( ， ctuulnln) 13)(1ln( 2 1 即， c t s t s tctuu) 1 3 )(1() 13)(1(， cxxyxyc x y x y x 243) 3 63 1)( 3 2 1 ()3( 22 *4求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解 （1）0ln 2 xyyyx； 解：解： 0ln 2 xyyxy x x y x yy ln1 12 令令 x x t xdx dt yt ln1 1 ， , ln )Q( , 1 )( x

28、x x x xP ln1 d ln )( d 1 d 1 xdx x x C x xe x x Cext x x x x 1lnC )ln(C 11 xxxxxxx x ， 11 1ln Cxxy （2）0dd)2(yxxxyy 解：解： 0dd)2(yxxxyy， x y d d +y x 1 = 2 1 2 y x ， yy 2 1 + 2 1 1 y x = x 2 ， 2 1 yu ， x u d d + x2 1 x u 1 ， x xP 2 1 )(， x xQ 1 )( xe x Cexu x x x x d 1 )( d 2 1 d 2 1 2 1 x xx x Cd 1 2

29、1 xCx 2 1 ， 11 xCxy 2 1 2 1 ， x C xy （3） y y xyx 3 22 2() ma 解一：令解一：令uy 2，原方程化为： ，原方程化为： d d u x u x u x 2 1 ，解此方程得，解此方程得 uCe u x ， 以以uy 2代入上式，原方程通解为 代入上式，原方程通解为 yCe y x 2 2 解二：原方程解二：原方程写成写成 d d x yy x y x 22 3 2 ， 令令xz 1 ，则方程化为：，则方程化为： 3 22 d d y z yy z ， 则通解则通解 zeC y ey y y y y 2 3 2 2 dd dln2 1 2

30、 yC y ， 故原方程通解：故原方程通解： 11 2 2 xy Cyln *5求下列伯努力方程满足初始条件的特解：求下列伯努力方程满足初始条件的特解： y x yy 2 ，1)0(y 解：解：xyyy, xyyy22 21 ， 令令 xt dx dt yt42 2 ， xxQxP4)( , 2)(， 12 010211)0( 12 12 )2 d4 d)4()( 2 0 22 2222 22 d2d2 xy CCey Cexy xCeexeCe xxeCexexCext x xxxx xx xx ， *6作适当的变换求方程作适当的变换求方程 122 222 1 2 xy yxye x sin

31、sin 的通解的通解 12 解：原方程化为：解：原方程化为： 12 2 2 22 1 2 x y x xye x dsin d sin， 令令zy sin2，得，得 d d z x x x zex x 2 1 1 2 2 12 2 ， 故故 xe x e Cez x x x xx x x d 1 d 1 2 2 12d 1 2 2 2 2 )1ln( 21212 22 xxeCe xx 原方程的通解为原方程的通解为 sinln() 22 12 12 22 1yCeexx xx *7已知已知)(2d)(1)(2 2 0 2 xyxyy x ，求，求y x( ) 解：两边关于解：两边关于x求导得求

32、导得 21 2 yyy ， 解得解得 yCex 2 1， 由由y x 0 0，求得，求得 C 1， 故原方程的解为：故原方程的解为：yex 2 1 *8曲线过点曲线过点( , )11，其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的，其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的 曲线的法线在曲线的法线在x轴上的截距乘积的两倍，求曲线方程轴上的截距乘积的两倍，求曲线方程 解：解： xyx xyyy 22 211(), ( ), 2 1 2 yy x yx 令令yz 2 ，解得，解得 zyx Cx 2 () 由由y( ) 11， 得得 C 2， 曲线方程为：曲线方程为： xyx 22 2 *9

33、根据托里斥利定律，液体从容器小孔中流出的速度为根据托里斥利定律，液体从容器小孔中流出的速度为 ghAv2，其，其 中中 g为重力加速度，为重力加速度，h为液面与底部孔口之间的距离，为液面与底部孔口之间的距离，A为孔口面积，为孔口面积，为孔为孔 口收缩系数，实验确定其取值为口收缩系数，实验确定其取值为 62. 0现有一直径为现有一直径为1m，高为，高为 2m 的直立的直立 圆柱形容器，其中盛满的水从底部直径为圆柱形容器，其中盛满的水从底部直径为1dcm 的圆孔流出，要多长时间容器的圆孔流出，要多长时间容器 内的水才会完全流尽？内的水才会完全流尽？ 13 解：设在时刻解：设在时刻 t 时时， 容器

34、中液面高度容器中液面高度)(th，则经过，则经过t后液面高度为后液面高度为)(tth， 于是有于是有 ttghAtththr)(2)()( 2 ， 即即 2 2)()( r ghA t thtth ， 令令0t， 得得 200)0( 2 d d 2 h gh r A t h 解得解得 2002 2 2 tg r A h ， 代入代入0h， 980g， 50r， 4 A， 62. 0， 得得10304t（秒） （秒） 第第 9 章章 （之（之 4） （总第（总第 47 次）次） 教学内容：教学内容：9.39.3 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 *1解下列问题：解下列问题： （1） 微分

35、方程） 微分方程 yyxy满足条件满足条件yy( ), ( )2121的解是的解是 （ ） （A）yx() 1 2 （B）yx() 1 2 21 4 2 （C） yx 1 2 1 1 2 2 () （D）yx() 1 2 5 4 2 解解： （： （C） （2） 微分方程） 微分方程 yyy20 3 满足条件满足条件 yy( ), ( )0101的解是的解是 （ ） （A） y x 3 3 1 3 （B） x y 3 3 1 （C） y x 3 3 1 3 （D） x y 3 3 1 解解： （： （C） *2 2求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解 （1）0 yyx； 14 解解： 0

36、yyx 是一不显含因变量是一不显含因变量y的二阶方程，的二阶方程， 令令 yp y x p d d 0ppx， p pd = x xd ， x x p pdd 1 lnlnlnCxp x C p 1 ， x y d d x C1 ， x x C ydd 1 ， x x C ydd 1 ， 21ln CxCy （2）()121 2 xyxy； 解解： y x x y x 2 1 1 1 22 ， y x xC 1 1 2 1 ()， yxCxC 1 2 1 2 12 ln()arctan （3） 0 2 yyy； 解解： 0 2 yyy， 令令 yp， 则则 y p py d d ，代入方程有，

37、代入方程有 0 d d 2 p y p py， 0) d d (p y p yp， 因为求通解，所以因为求通解，所以 p满足满足 0 d d p y p y 由由 y y p p y y p pdddd ， y C pCyp 1 1 lnlnln ， xCyyxCyy y C x y dddd d d 11 1 21 2 CxCy 通解：通解： 21 2 CxCy （4）()12 22 yyyy 解解：令：令： yp yypp( ),，得，得 ()12 22 yp pp y， 即即 d d p p y y y 2 1 2 ， 得得 pCy 1 2 1 ()， 15 所以所以 d d y y C

38、x 1 2 1 ，通解为：，通解为：a r c t a nyC xC 12 第第 9 章章 （之（之 5） （总第（总第 48 次）次） 教学内容：教学内容：9 .4 .1 二阶线性方程和解的存在性；二阶线性方程和解的存在性；9 .4 .2 二阶线性方程解的结二阶线性方程解的结 构构 *1 若 若 21, y y是方程是方程)()()(xRyxQyxPy 的两个解， 试证的两个解， 试证 12 yy 必是其对必是其对 应齐次方程应齐次方程0)()( yxQyxPy的解的解 证明证明：因为：因为 21, y y是方程是方程)()()(xRyxQyxPy 的解的解 所以成立下式：所以成立下式： )

39、2()()()( ) 1 ()()()( 222 111 xRyxQyxPy xRyxQyxPy 将将 (1)、(2) 两式相减，得两式相减，得 ) 3(0)()()( 212121 yyxQyyxPyy (2) 式可写为式可写为 0)()()( 212121 yyxQyyxPyy， 所以所以 21 yy 是齐次方程是齐次方程 0)()( yxQyxPy 的解的解 *2已知已知 2 321 1,1, 1xyxyy是方程是方程 22 222 x y x y x y 的三个特解，的三个特解， 问能否求出该方程得通解？若能则求出通解来问能否求出该方程得通解？若能则求出通解来 解解：按（：按（1）证明

40、可知）证明可知 2 1312 ,xyyxyy 分别是其对应齐次方程分别是其对应齐次方程 0 22 2 y x y x y的解，并且线性无关，所以的解，并且线性无关，所以 2 21 xCxC 为齐次方程的通解为齐次方程的通解 所以原方程的通解可以表示为：所以原方程的通解可以表示为：1 2 21 xCxCy *3验证：验证： 22 , tt ee 是微分方程是微分方程 x t xt x 1 40 2 的两个线性无关特解，并求此的两个线性无关特解，并求此 方程的通解方程的通解 证明证明：因为：因为 16 222 2 4 1 ttt ete t e 042 1 42 2222 22 tttt ette

41、 t ete， 222 2 4 1 ttt ete t e 24 1 240 2222 22 et e t tet e tttt ()， 故故 22 , tt ee 是方程的解，且是方程的解，且 2 2 2 2t t t e e e 常数常数 于是于是 22 , tt ee 是方程线性无关的解（构成基本解组） ，故方是方程线性无关的解（构成基本解组） ，故方 程的通解为程的通解为 22 21 tt eCeCx ， 其中其中 21,C C为任意常数为任意常数 *4已知函数已知函数 xyey x 21 , 是方程是方程 0)1 ( yyxyx 的两解，试求该方的两解，试求该方 程满足初始条件程满足

42、初始条件 0)0(, 1)0(yy 的特解的特解 解解：方程的通解为：方程的通解为 xcecy x 21 ，将初始条件代入，有：，将初始条件代入，有： ， ， 0)0( 1)0( 2121 1 cccecy cy x 解得解得 21,c c为：为： 1, 1 21 cc， 所以特解为：所以特解为： xey x *5设设x t 1( )是非齐次线性方程 是非齐次线性方程 xta t x ta t x tf t( )( )( )( ) ( )( )( ) 121 1 的解的解xt 2( )是方程 是方程 xta t x ta t x tft( )( )( )( ) ( )( )( ) 122 2

43、的解试证明的解试证明 xx txt 12 ( )( ) 是方程是方程 xta t x ta t x tf tft( )( )( )( ) ( )( )( )( ) 1212 3 17 的解的解 解解：因为：因为)( 2 ),( 1 txtx分别为方程（分别为方程（1）和方程（）和方程（2）的解，所以）的解，所以 ) 1 ()()()()()()( 112111 tftxtatxtatx x ta t x ta t x tft 212222 2( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )12 得：得： )()()()()()()()()()( 2121221121 tftftxtxt

44、atxtxtatxtx 即即 xx txt 12 ( )( ) 是方程（是方程（3）的解）的解 第第 9 章章 （之（之 6） （总第（总第 49 次）次） 教学内容：教学内容：9 .4 .3 二阶线性常系数方程的解法二阶线性常系数方程的解法 *1 1解下列问题：解下列问题： （1）方程）方程08 yy的通解为的通解为y_ 解解：xcxcy22sin22cos 21 （2 2）方程）方程0256yyy的通解为的通解为y_ 解解：)4sin4cos( 21 3 xcxcey x （3 3）方程）方程0158 yyy的通解为的通解为y_ 解解： xx CCy 5 2 3 1 ee （4 4）方程）

45、方程031525 yyy的通解为的通解为y_ 解解：)( 21 5 15 CxCey x （3 3） 方程） 方程06 pyyy的通解为的通解为)2sin2cos(e 21 xCxCy kx ， 则， 则p_， k_ 解解：11，3 *2*2求解下列初值问题：求解下列初值问题： 18 （1）0) 1 (,) 1 (, 0168 4 yeyyyy； 解解：0)4(168 22 ， 4 21 ， ， 通解为：通解为： x exccy 4 21 )( 将初始条件代入，有将初始条件代入，有 44 21 )() 1 (eeccy， 04)(4)(4) 1 ( 44 2 4 21 4 2 4 21 4 2

46、 eececcecexccecy xx 得到：得到：45 21 cc， 所以特解为：所以特解为： x exy 4 )45( （2 2）3) 2 (, 1) 2 (, 0294 yyyyy； 解解：0294 2 ， i i 52 2 104 2 116164 ， 通解为：通解为：)5sin5cos( 21 2 xcxcey x 代入初始条件有：代入初始条件有： eccey 22 1)0() 2 (， )5c o s55s i n5()5s i n5c o s(2) 2 ( 21 2 21 2 xcxcexcxcey xx ， 得：得： ec 1 特解为：特解为：)5s i n5co s( 2 x

47、xey x （3）10)0(, 6)0(, 034 yyyyy； 解：解： 034 2 ， 0) 3)(1(， 所以通解为所以通解为 xx ececy 3 21 代入初始条件有：代入初始条件有： 6)0( 21 ccy， 1033)0( 21 3 21 ccececy xx ， 特解为：特解为： xx eey 3 814 *3*3求解初值问题求解初值问题 19 yyyx y x x 21 01 00 d ( ) 解解：将原方程对将原方程对x求导得求导得 yyy201( ) 且有且有 yy( )( )01201 微分方程（微分方程（1）的通解为：）的通解为： yeC xC x () 12 ， 代

48、入初始条件代入初始条件1)0(, 1)0(yy，得，得1, 0 21 CC， 故所求问题的解为：故所求问题的解为： x ey *4*4设函数设函数)(x二阶连续可微，且满足方程二阶连续可微，且满足方程 x uuuxx 0 d)()(1)(，求函，求函 数数( )x 解解：原方程关于原方程关于x求导得求导得 xx uuxxxxuux 00 d)()()(d)()(,0)0(， 再求导得：再求导得： )()(xx ， 且由原方程还有：且由原方程还有： 1)0(， 微分方程的通解为：微分方程的通解为： xx eCeCx 21 )(， 代入条件代入条件0)0(, 1)0(，得，得 2 1 21 CC，

49、 故所求函数为：故所求函数为： xeex xx ch)( 2 1 )( *5*5 长为长为 100cm 的链条从桌面上由静止状态开始无摩擦地沿桌子边缘下滑 设的链条从桌面上由静止状态开始无摩擦地沿桌子边缘下滑 设 运动开始时，链条运动开始时，链条已已有有 20cm 垂于桌面下，试求链条全部从桌子边缘滑下需多少垂于桌面下，试求链条全部从桌子边缘滑下需多少 时间时间 解解：设链条单位长度的质量为：设链条单位长度的质量为，则链条的质量为，则链条的质量为100再设当时刻再设当时刻 t 时，时， 链条的下端距桌面的距离为链条的下端距桌面的距离为)(tx，则根据牛顿第二定律有：，则根据牛顿第二定律有： g

50、x dt xd 2 2 100， 即即 0 100 2 2 x g dt xd 又据题意知：又据题意知：20)0(x， 0)0( x ，所以，所以 )(tx 满足下列初值问题：满足下列初值问题： 20 0)0(20)0( 0 100 2 2 xx x g dt xd ， 解得方程的通解为：解得方程的通解为： t g t g ececx 10 2 10 1 又因为有初始条件：又因为有初始条件： 10 10 00 200 2 1 c c x x 所以所以 t g t g eex 1010 1010 又当链条全部从桌子边缘滑下时，又当链条全部从桌子边缘滑下时，100 x，求解，求解t，得：，得： t

51、 g t g ee 1010 1010100 ， 即：即： 5 10 t g ch， 5 10 arch g t *6*6设弹簧的上端固定，下端挂一个质量为设弹簧的上端固定，下端挂一个质量为 2 千克的物体，使弹簧伸长千克的物体，使弹簧伸长 2 厘厘 米达到平衡，现将物体稍下拉，然后放手使弹簧由静止开始运动，试求由此所米达到平衡，现将物体稍下拉，然后放手使弹簧由静止开始运动，试求由此所 产生的振动的周期产生的振动的周期 解解： 取物体的平衡位置为坐标原点，取物体的平衡位置为坐标原点，x轴竖直向下，轴竖直向下， 设设t时刻物体时刻物体m位于位于x t ( )处，处， 由牛顿第二定律：由牛顿第二定

52、律： 222 2 2 d d () x t gg xgx ， 其中其中g 980厘米厘米/秒秒 2 其解为：其解为： xC g tC g t 12 22 cossin， 振动周期为振动周期为 T g 2 22 490 028 . 第第 9 9 章章 （之（之 7 7） （总第（总第 50 次）次） 教学内容：教学内容：9.4.3 二阶线性常系数方程的解法；二阶线性常系数方程的解法； 9.4.4 高阶线性常系数微分高阶线性常系数微分 方程方程 *1*1微分方程微分方程xxyysin 的一个特解应具有形式的一个特解应具有形式 （ ） （A）()sinAxBx （B）x AxBxx CxDx()si

53、n()cos （C）x AxBxx()(cossin ) （D）x AxB CxDx()(sincos ) 解：解： （B） 21 *2*2设设A B C D, , ,是待定常数，则微分方程是待定常数，则微分方程 yyxxcos的一个特解应具有的一个特解应具有 形式形式 （ ） （A）AxBCxcos （B）AxBCxDxcossin （C）AxBx CxDx(cossin ) （D）AxBCxxcos 答：答： （C） *3*3求下列非齐次方程的一个解求下列非齐次方程的一个解 （1 1）122 xyyy； 解：解： 02 2 ， 1, 2 2, 1 ， 0不是特征根不是特征根 设设 01 bxbyp， 代入原方程，