高三数学一轮复习第十章计数原理与概率、随机变量及其分布第五节几何概型课件理.ppt

1、理数 课标版,第五节几何概型,1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积) 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.,教材研读,2.几何概型的特点 (1)无限性:试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)等可能性:试验结果在每一个区域内均匀分布.,3.几何概型的概率公式 P(A)=.,1.已知函数f(x)=x2-2x-3,x-1,4,则f(x)为增函数的概率为() A.B.C.D.,考点突破,答案Cf(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,x-1,4,f(x)在1,4上是增函数.f(x)为增函数的概率为P=.,2.若将一个质点

2、随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是() A.B.C.D. 答案B概率为P=.故选B.,3.(2016课标全国,8,5分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为() A.B.C.D. 答案B行人在红灯亮起的25秒内到达该路口,即满足至少需要等待15秒才出现绿灯,根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P=, 故选B.,4.如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为,则阴影区域的

3、面积 为. 答案 解析设阴影区域的面积为S,则由题意知=,所以S=.,5.在长为3 m的线段AB上任取一点P,则点P与线段AB两端点的距离都大于1 m的概率等于. 答案 解析将线段AB平均分成3段,如图. 设中间的两点分别为C,D,当点P在线段CD上(不包括两端点)时,符合题意,线段CD的长度为1 m,所求概率P=.,考点一与长度有关的几何概型 典例1(1)(2015重庆,15,5分)在区间0,5上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为; (2)(2016山东,14,5分)在-1,1上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概

4、率为. 答案(1)(2) 解析(1)要使方程x2+2px+3p-2=0有两个负根, 必有解得p1或p2,考点突破,结合p0,5得p2,5,故所求概率为=. (2)直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交的充要条件为3, 解之得-k, 故所求概率为P=.,方法技巧 与长度有关的几何概型 如果试验结果构成的区域可用长度度量,则其概率的计算公式为P(A)=. 1-1函数f(x)=sin x(x0,),在区间0,上任取一数x0,则f(x0)的概 率为() A.B.C.D. 答案A令f(x),即sin x,又x0,所以x,则在区间 0,上任取一数x0,使f(x0)的概率P=.,1-2若k-3,3,则k

5、的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆(x-k)2+y2=2相切的概率等于() A.B.C.D. 答案C当点A在圆外时,过该点可作两条直线与圆相切,故使圆心与点A的距离大于半径即可,则(1-k)2+12,解得k2,又k-3,3,所以k-3,0)(2,3,故所求概率P=.,考点二与面积有关的几何概型 典例2(1)(2016黑龙江实验中学期末)已知线段AB的长为10,在线段AB上随机取两个点C、D,则CD2的概率为() A.B.C.D. (2)(2016课标全国,10,5分)从区间0,1随机抽取2n个数x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)

6、,其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为() A.B.C.D. 答案(1)D(2)C 解析(1)设CA=x,DA=y,则x,y0,10, CD=|CA-DA|=|x-y|.,由题意知点(x,y)形成的区域是边长为10的正方形及其内部,其面积为S=1010,而满足CD2的区域如图中阴影部分所示,其面积为S1=288 =64,则CD2的概率为P=.,(2)如图,数对(xi,yi)(i=1,2,n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界),两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内,则由几何概型的概率公式可得=.故选 C.

7、,方法技巧 与面积有关的几何概型问题的求解策略 求解与面积有关的几何概型问题的关键是弄清某事件对应的面积,必要时要根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,进而求解. 2-1(2016安徽江淮十校第一次联考)设不等式组 所表示的区域为M,函数y=的图象与x轴所围成的区 域为N,向M内随机投一个点,则该点落在N内的概率为() A.B.C.D.,答案B如图,不等式组表示的区域为ABC及其内部,函 数y=的图象与x轴所围成的区域为阴影部分,易知区域M的面积为 2,区域N的面积为,由几何概型的概率公式知所求概率为=.,2-2(2015福建,13,4分)如图,点A的坐标为

8、(1,0),点C的坐标为(2,4),函数 f(x)=x2.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于. 答案 解析由题图可知S阴影=S矩形ABCD-x2dx=14-=4-=,则所求 事件的概率P=.,考点二与面积有关的几何概型 典例3(1)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为() A.B.1-C.D.1- (2)已知正棱锥S-ABC的底面边长为4,高为3,在正棱锥内任取一点P,使得VP-ABCVS-ABC的概率为() A.B.C.D.,答案(1)B(2)B 解析(1)点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心,以1为半径的半球 的外部.记点P到点O的距离大于1为事件A,则P(A)=1-. (2)如图,由题意知,当点P在三棱锥的中截面以下时,满足VP-ABCVS-ABC,故 使得VP-ABCVS-ABC的概率P=1-=.,方法技巧 与体积有关的几何概型问题求法的关键点 对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间),对于某些较复杂的事件也可利用其对立事件去求.,3-1(2017沈阳二十中月考)一