高三数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例课件理.ppt

1、理数 课标版,第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例,1.平面向量的数量积 (1)向量a与b的夹角:已知两个非零向量a,b,过O点作=a,=b,则 AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角. 当=90时,a与b垂直,记作ab; 当=0时,a与b同向; 当=180时,a与b反向.,教材研读,(2)a与b的数量积 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,则把数量|a|b|cos 叫做a和b的数量积(或内积),记作ab=|a|b|cos . (3)规定0a=0. (4)一个向量在另一个向量方向上的投影 设是a与b的夹角,则|a|cos 叫做a在b的方向上的投影,|b|cos 叫做b在a的方向上的投影

2、.一个向量在另一个向量方向上的投影是一个实数,而不是向量. (5)ab的几何意义 ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积.,2.向量的数量积的性质 设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则 (1)ea=ae=|a|cos . (2)abab=0. (3)当a与b同向时,ab=|a|b|. 当a与b反向时,ab=-|a|b|. 特别地,aa=|a|2. (4)cos =. (5)|ab|a|b|.,3.向量的数量积的运算律 (1)ab=ba. (2)(a)b=(ab)=a(b)(R). (3)(a+b)c=ac+bc.,4.平面向量的数量积的

3、坐标表示 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2. (2)若a=(x,y),则aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|=. (3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|=,这就是平面内 两点间的距离公式. (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b为非零向量,则abx1x2+y1y2=0.,判断下列结论的正误.(正确的打“”,错误的打“”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.(),(2)由ab=0,可得a=0或b=0.() (3)两向量ab的充要条件:ab=0 x1x2+y1y2=0.() (4)若ab0,则a和b的夹角为

4、锐角;若ab0,则a和b的夹角为钝角.() (5)ab=ac(a0),则b=c.(),1.两个非零向量a、b互相垂直,给出下列式子: ab=0;a+b=a-b;|a+b|=|a-b|;|a|2+|b|2=(a-b)2;(a+b)(a-b)=0.其中正确的式子有() A.2个B.3个C.4个D.5个 答案B显然正确;由向量运算的三角形法则知a+b与a-b长度相等、方向不同,所以错误,正确;由向量数量积的运算律可知(a-b)2= |a|2+|b|2,故正确;只有在|a|=|b|时,a+b与a-b才垂直,错误.故选B.,2.(2016课标全国,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(

5、a+b)b,则m= () A.-8B.-6C.6D.8,答案D由题可得a+b=(4,m-2),又(a+b)b,43-2(m-2)=0,m=8.故选D.,3.设向量a,b满足|a|=|b|=1,ab=-,则|a+2b|=() A.B.C.D. 答案B|a+2b|=.,4.(2016课标全国,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=. 答案-2 解析由|a+b|2=|a|2+|b|2,知ab, ab=m+2=0, m=-2.,5.(2016临沂模拟)已知向量|a|=1,|b|=2,a(a-b),则向量a与b的夹角大小是. 答案,解析设向量a与b的

6、夹角大小是,则由题意可得a(a-b)=a2-ab=1-12cos =0, 解得cos =,所以=.,考点一平面向量数量积的运算 典例1(1)(2016天津,7,5分)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则的 值为() A.-B.C.D. (2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的最大 值为. 答案(1)B(2)1 解析(1)建立平面直角坐标系,如图.,考点突破,则B,C,A, 所以=(1,0). 易知DE=AC,则EF=AC=, 因为FEC=60, 所以点F的坐标为,所以=, 所以=(1,0)=.故选B

7、. (2)如图所示,分别以AB,AD所在的直线为x轴,y轴建立直角坐标系,则D(0,1),C(1,1),=(1,0),设E(t,0),则0t1,=(t,-1), 所以=t1.,所以的最大值为1.,方法技巧 向量数量积的两种计算方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab=|a|b|cos . (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2. 变式1-1在本例(2)中,试求的取值范围. 解析由本例(2)的解答知,=(t,-1), =(t-1,-1),t0,1, 所以=t(t-1)+1=t2-t+1=+, 因为t0

8、,1,所以1,即的取值范围为.,变式1-2本例(2)中,当E是AB的中点时,试求在上的投影. 解析解法一:如图,过点E作EFDC,垂足为F, 由投影的定义知, 在上的投影是. 解法二:如图,向量与的夹角是EDC,所以在上的投影是| |cosEDC=.,考点二平面向量数量积的应用 命题角度一模的问题,典例2已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=,|b|=2,在ABC中,=2a +2b,=2a-6b,D为BC的中点,则|等于() A.2B.4C.6D.8 答案A,解析因为=(+)=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以|2=4(a-b)2= 4(a2-2ba+b2)=4=4,则|=2.,命题

9、角度二垂直问题 典例3已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos =,若n(tm+n),则实 数t的值为() A.4B.-4C.D.- 答案B 解析n(tm+n),n(tm+n)=0,即tmn+|n|2=0,t|m|n|cos+|n|2=0. 又4|m|=3|n|,cos=, t|n|2+|n|2=0, n为非零向量,t+1=0,解得t=-4.,命题角度三夹角问题 典例4(1)(2014四川,7,5分)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=() A.-2B.-1C.1D.2 (2)已知向量a,b满足(a+2b)(a-b)=-6

10、,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为. 答案(1)D(2) 解析(1)解法一:由c与a的夹角等于c与b的夹角,可设c= a+b(R),c=ma+b,m=2. 解法二:c=ma+b=(m+4,2m+2),c与a的夹角等于c与b的夹角,且向量夹角的取值范围是0,=,2(ac)=bc2(m+4+4m+ 4)=4m+16+4m+4m=2.,(2)由(a+2b)(a-b)=-6,得a2-2b2+ab=-6,又|a|=1,|b|=2,ab=1,设向量a与b的夹角为,则cos =,又0,故=.,方法技巧 平面向量数量积的应用类型及求解策略 (1)求两向量的夹角:cos =,要注意0,. (2)两向量

11、垂直的应用:abab=0|a-b|=|a+b|. (3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有 a2=aa=|a|2或|a|=. |ab|=. 若a=(x,y),则|a|=.,2-1(2016合肥第二次质量检测)已知不共线的两个向量a,b满足|a-b|=2,且a(a-2b),则|b|=() A.B.2C.2D.4,答案Ba(a-2b),a(a-2b)=aa-2ab=0,由|a-b|=2得aa-2ab+bb=bb=4,|b|2=4,|b|=2.,2-2(2015重庆,6,5分)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)(3a+2b), 则a与b的夹角为() A.B.C.D. 答案A

12、(a-b)(3a+2b), (a-b)(3a+2b)=03|a|2-ab-2|b|2=03|a|2-|a|b|cos -2|b|2=0. 又|a|=|b|, |b|2-|b|2cos -2|b|2=0. cos =. 0,=.选A.,2-3已知向量与的夹角为120,且|=3,|=2.若=+, 且,则实数的值为. 答案 解析,=0,(+)=0,即(+)(- )=-+-=0. 向量与的夹角为120,|=3,|=2, (-1)|cos 120-9+4=0,解得=.,考点三平面向量与三角函数的综合问题 典例5(2017湖北仙桃一中期中)已知向量a=,b= ,且x. (1)求ab及|a+b|; (2)若

13、f(x)=ab-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值. 解析(1)ab=coscos-sin sin =cos 2x. a+b=, |a+b|= =2|cos x|.,x,cos x0,|a+b|=2cos x. (2)f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1 =2-. x,cos x1, 当cos x=时, f(x)取得最小值-; 当cos x=1时, f(x)取得最大值-1.,方法技巧 求解平面向量与三角函数综合问题的一般思路 (1)求三角函数值,一般利用向量的相关运算得出三角函数关系式.利用同角三角函数的基本关系及三角函数中常用公式求解. (2)求角时通常将向量问题转化为三角函数问题,先求三角函数值再求角. (3)解决与向量有关的三角函数问题所用的主要思想方法是转化与化归的数学思想,即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题.,3-1已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2). (1)若mn,求证:ABC为等腰三角形;