第一章 地图的代数概念.ppt

1、地图代数（Tomlin）,主讲教师：邱春霞 测绘科学与技术学院,地图代数是一个新的科学概念，是一种新的理论和技术，目前已受到GIS学术界的高度关注和研究。 简单地说，地图代数（Tomlin）就是地理信息的处理和可视化过程的数学化。,教材,胡鹏、游连、胡海等著，地图代数概论，测绘出版社，2008年2月。 本教材是一本地图代数的基础理论著作，主要介绍了地图代数空间分析理论和方法。,地图代数概论章节编排,地图的代数概念 地球信息的度量空间 空间数据的表达与组织 距离变换 Voronoi图 DEM生成及三维分析 网络图分析 叠置分析 DEM的几个理论问题和解决途径 度量分析若干进展 结语 回眸和展望,

2、第一章 地图的代数概念,引入地图代数科学概念的原因； 地图代数的概念、地图模型的表达； 机助地图制图发展的两个主要瓶颈。,重点内容：,理论上图形和图像的理解和处理属于约束不充分的问题，它的最优解的计算和评价涉及一些模糊性质的问题，它们的完善解决理论上是困难的。为了地理信息处理的数学化，由此引入地图代数的观点。,地图代数（Tomlin）：是采用代数观点全面阐述地理信息处理和可视化本质与过程的理论和方法，是地理分析的有力工具。,第一章内容,代数学的若干基本概念 地图的代数观点 地图代数的由来与发展,1.1 代数学的若干基本概念,集合：代数学把若干固定事物的全体叫集合，一般用大写字母表示集合，如A集

3、合、B集合。 元素：集合中的一个事物称为一个元素，一般用小写字母表示，如：a、b。 集合A中的一个元素a表示为a A，读作a 属于A。,一、集合与元素,二、映射、源像、像,映射：把几个集合A1A2An中任一个元素（a1,a2,an)(aiAi)与某集合D中唯一的一个元素d对应起来的法则，用T表示 。 元素d称为源像（a1,a2,.,an)在T下的像。,A、B是两个集合，由aA和bB的一切有序偶（a，b）组成的集合， 叫做集合a和b的笛卡儿积集，记做AB(a,b)|aA,bB。笛卡儿积 集又叫做直积集。,三、代数运算与代数系统,代数运算：由两个集合A1A2到D（全部各种像d所组成的集合）的一类特

4、殊变换。 代数系统：如果A具有满足某些法则的代数运算，则称A为一个代数系统。,四、关系与等价关系,关系：一个AA到D的映射叫做A的元素间的一个关系。 等价关系：若关系满足以下规律： 反射率：当aA，则有a a 对称率：若a b，则有b a 推移率：若a b，且b c，则有a c 那么称这种关系为等价关系。 等价关系是关系的一部分。,五、分类,分类：若把一个集合A分成若干个称做类的子集，使A中每一个元素属于而且只属于一个类，那么这些类的全体叫做集合A的一个分类。 元素a1 类的子集1 元素a2 类的子集2 元素an 类的子集n,集合A,集合A,分类,六、代表和全体代表团,代表：若集合A有一个分类

5、，那么一个类中任一个元素叫做这个类的一个代表。 全体代表团：全部由各个类的一个代表形成的集合，叫做一个全体代表团。,当人们把研究的事物科学而适当地分类后，挑 选一个全体代表团，使形式化后的各种算法合理地 对全体代表团的有效成员进行处理，这是现代信息 系统研究和构造的重要方法。,七、栅格平面,把坐标原点向左下平移到适当位置，使所有讨论均在第一象限进行； 在所有整数坐标间1/2处绘出坐标线； 把这些矩形当做“矩形点” 即以具有0和正整数坐标的矩形中心点集来代替矩形集时，就形成了栅格平面。,在实数平面引入二维笛卡尔坐标,栅格平面就是实数平面的全体代表团（整数），这种定义可向三维和其他空间拓广。,1.

6、2 地图的代数观点,地图：是根据一定的数学法则，使用符号，通过制图综合将地理表面缩绘到平面上的一个表象，它反映各种自然和社会现象的空间分布、组合、联系及其在时间中的变化和发展。,一、地图概念的思考,ICA专门工作组的Board和Weiss提出： 地图：是地理现实世界的表现或抽象，以视觉的、数字的或触觉的方式表现地理信息的工具。,地图：是地学及其相关信息的图形符号模型，或简称地图是地学信息的图示。,二、地图模型,由前述地图的定义可以得到，地图是一类空间点集，这也是它的物质形态。 地图概念的集合模型表达为： MAP=Pi，Lj，Ak 式中：Pi表示地图的某点状符号； Lj表示某线状符号； Ak表示

7、某面状符号。,按地理要素的等价关系进行的地理要素分类： MAP=fc，ft，fw，fb. 其中：fc表示居民地要素符号 ft表示道路网要素符号 fw表示水系要素符号 fb表示境界要素符号 . 任一类 fq按几何形态可表示为子类集合： fq=Pi，Lj，Ak fq在形式上、理论上都是地图，简称子图。,地图中经常使用的一种分类,地图符号：为符号空间的具有定位基准的标准点集。 Si=x，y，c 其中：x、y为符号空间内的坐标； c为颜色码。,地图的另一种表示： MAP=X，Y，C X、Y、C为地图空间坐标，由 x、y、c X、Y、C 经过了一个成图变换符号化。,三、地图集合中的运算,对于地图，当表达

8、在新图上的要素完全确定并且图例也完全确定后，在它的源图、半成品和成图间有一种联系：相似而又不同。 地图和地学信息中的运算在叠置分析中是非常典型的。叠置是一种代数运算。 缓冲区分析可看做是实体的图形点集A对其他非图形点集B作用的结果，而A B就是原图或原点集。（距离变换、内距变换）,四、一些基本定义,元集：像元的二维欧式空间的集合点集。 元矢量：元集中每一个集合点的坐标矢量。,（一）元集和元矢量,（二）值集和值元,值集F：为元集的取值范围，比如灰度、色码、高程等，对于地图代数而言，它是定义为整数集或码长为1的二进制数集（对于黑白位图）。 值元f：为值集F中的某个取值。如黑白位图中的1或0。,（三

9、）元图,若E、F分别为给定的元集和值集，那么元图M则是定义在E上取值F的函数，表示为： M(e,C(e) 式中：e属于E，C(e)属于F。 (e,C(e)称为元图M的一个像元。,地图的定义与元图的定义形式是类同的，但元图可以是地图，也可以是影像，而地图是由符号确定形式所限定。,（四）模板T,若E、G均表示元集，F表示值集，则模板T定义为由G到E取值F的元图，即 T：G FE 其中：G称为T的定义域； E称为T的值域。,（五）符号空间与符号,符号的定义：Si=x，y，c 符号的严密定义：由分辨率所决定的较大型的模板。G为符号空间，T为符号库中的一个符号。,符号与模板的关系： 两者使用场合与方式不

10、同，符号空间比模板要大很多，而两者又都是一种“小的元图”。,（六）实体与目标,实体：是具有相对独立性质的地学现象或物体，或者说客观世界中存在且可相互区别的物体和现象。 目标：是各地学信息系统中用来组织各种数据的最小逻辑单位。,数字化与目标化,数字化：是将模型转换为数据，以便使用计算机处理的过程。 目标化：是把模型按需要和目的分解为以目标为逻辑单位组织的过程。,1.3 地图代数的由来与发展,1976年，Rosenfeld第一本数字图像处理专著出版标志的数字图像处理蓬勃发展； 1982年诞生了数学形态学； 20世纪80年代后期，地图代数（Tomlin，1989）、地图代数（胡，1989）相映问世。

11、 地图代数主要是制图模型，带有明显的数字图像处理的烙印，已融合在著名的GIS软件ArcGIS中。,地学系统是一个超极大系统，地学信息具有数据量大、类型复杂、用途广泛、处理的多过程性、多尺度性与动态性，作为地学信息处理最重要内容的空间分析，受到了人们更多的关注。,一、地理信息的空间分析是地图代数发展最主要的动力之一,GIS应该能够提供系统、全面、高效、透彻的空间分析，以解决资源环境中的各种现实问题；而且还能提供地理信息流程的动力学机理和时、空过程的动态模拟，以求能应对全球环境变化和区域可持续发展等重大主题。 GIS的实际能力与这些要求相差很远。 原因：GIS的理论与方法的局限。,二、机助地图制图

12、发展的两个主要瓶颈,数据输入、更新 信息输出的单尺度和静态性,机助制图的目的是地学信息的图示。 GIS中地理信息的图示和传统的地图制图工艺中地图设计与编绘有很大的差别，它的制图和用图不再是静态的、孤立的、局部的，而是整体的、动态的、顾及动态发展的。,三、遥感信息的处理和发展,遥感是地学信息和数据最有效、最迅速、最重要的来源。 目前，遥感数据满足的精度： 航天遥感：数据的平面精度已达110米，甚至更高，高程精度已可满足1：10万地形图的需要； 航空遥感：对于相对小的平面和高程精度可满足任意大比例尺地形图的需要； 激光雷达（三维激光扫描仪）：通过位置、距离、角度等观测数据直接获取观测对象表面点的三维坐标，实现地表信息提取和三维场景重建。,卓有成效地处理栅格数据和进行矢栅混合分析，有效地利用迅速发展的遥感数据，将是提高GIS和机助制图系统效率、质量以及全方位服务社会功能的迫切需要。,四、形态变换理论及其发展,数学形态学：是研究数字影像形态结构特征与快速并行处理方法的理论，是基于集合论而发展起来的，通过对目标影像的形态变换来实现影像分析及特征提取。 在数学形态学稍晚的年代，J.K.Berry和C.Dana Tomlin创立了地图代数