§2.2函数微分法.ppt

1、一、函数四则运算的求导法则,定理1: 如果函数u(x), v(x)在点x处可导, 则它们的和,差, 积, 商(分母不为零)在点x处也可导, 并且,2.2 函数的求导法则,例4:,例5:,例6:,二、反函数的求导法则,定理2: 如果函数x=f (y)在区间 Iy 内单调可导, 且 f (y)0, 那么它的反函数y=f -1(x)在区间 Ix=x|x=f (y), yIy 内也可导, 且,即: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,例7:,三、复合函数的求导法则,定理3: 如果函数u=(x)在点x处可导, 而 y=f (u)在点u=(x)处可导, 则复合函数 y=f (x)在点x处可导, 且其导数

2、为,或,即:复合函数因变量对自变量求导, 等于因变量对中间变量求导乘以中间变量对自变量求导(链式法则).,注1. 链式法则“由外向里, 逐层求导”;,注2. 注意适当选择中间变量.,例8:,例9:,推广: 设y=f (u), u=(v), v=(x), 满足定理3的条件,则复合函数 y=f (x)的导数为:,例11:,例12:,例10:,例14:,思考题:,注2. 基本初等函数的导数公式和上述求导法则是初等函数求导运算的基础, 必须熟练掌握.,注4. 对于分段函数求导问题: 在定义域的各个部分区间内部, 仍按初等函数的求导法则处理, 在分界点处须用导数的定义仔细分析.,注3. 复合函数求导的链

3、式法则是一元函数微分学的理论基础和精神支柱, 要深刻理解, 熟练应用注意不要漏层.,例16:,例15:,四、初等函数的求导问题,1. 常数和基本初等函数的导数公式,2. 函数的和、差、积、商的求导法则,设u=u(x), v=v(x)可导, 则,(1) ( u v )= u v, (2) ( Cu )=Cu(C是常数), (3) (uv)= uv + uv, (4),3.复合函数的求导法则,如果y=f(u)而u=(x)满足条件, 则复合函数y=f(x)的导数为:,或,利用上述公式及法则, 初等函数求导问题可完全解决. 且初等函数的导数仍为初等函数.,4. 双曲函数与反双曲函数的导数,1. 在四则

4、运算求导法则中, 注意:,5. 求分段函数求导时, 分界点处的导数注意用左右导数.,2. 反函数的求导法则(注意成立条件).,3. 在复合函数的求导法则中, 注意函数的复合过程, 合理分解正确使用链导法.,4. 初等函数都可以利用上述三个法则求其导数.,关键: 正确分解初等函数的复合结构.,内容小结,1.,思考与练习,对吗?,2. 求下列函数的导数,3. 设,求,4. 设,其中,在,因,故,正确解法:,时, 下列做法是否正确?,在求,处连续,5. 设,求,解: 方法1 利用导数定义.,方法2 利用求导公式.,思考题,若f (u)在点u0处不可导, u=g(x)在点x0处可导, 且u0=g(x0), 则f g(x)在点x0处( ). (1)必可导; (2)必不可导; (3)不一定可导.,思考题解答,正确的选择是(3).,反例: f (u)=|u|在u=0处不可导.,(2) 取g(x)=x2, 在x=0处可导. 但 f g(x)