§2.1导数的概念08091.ppt

1、重点,导数与微分的定义及几何解释 导数与微分基本公式 四则运算法则 复合函数求导的链式法则 高阶导数 隐函数和参量函数求导,难点,导数的实质，用定义求导，链式法则,第二章 导数与微分,基本要求,准确叙述导数定义并深刻理解它的实质,会用定义求导数,熟记求导基本公式,牢固掌握链式法则,掌握隐函数和参量函数求导法,理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法,弄清微分与导数的联系与区别，理解并会运用 一阶微分的形式不变性,一、问题的提出,1. 变速直线运动的瞬时速度问题,2.1 导数的概念,物体在时刻 t0 的瞬时速度定义为,2.切线问题,切线MT的斜率为:,二、导数的定义,定义: 设函数 y=f (x)在点

2、x0的某邻域内有定义, 当自变量x在x0处取得增量x(点x0+x仍在该邻域内)时, 相应地函数取得增量 y = f (x0+x) f (x0); 如果当x0时, y与x之比的极限存在, 则称函数 y=f (x)在点x0处可导, 此极限值称为函数y=f (x)在点x0处的导数, 并记为f (x0), 即,也可记作:,导数的其它定义形式:,若上述极限不存在 ,在点 不可导.,若,也称,在,就说函数,的导数为无穷大 ., 如果函数 y=f (x)在开区间 I 内的每一点处都可导, 就称函数 y=f (x)在开区间 I 内可导. 如果对任一xI, 都对应着f (x)的一个确定的导数值 f (x), 如

3、此形成的函数 f (x)称为函数 f (x)的导函数. 记作,注意:,导函数f (x)简称为导数, 而f (x0)称为函数 f (x)在点x0处的导数或导数f (x)在点x0处的值., 单侧导数,1. 左导数:,2. 右导数:, 函数y=f (x)在点x0处可导左导数f-(x0)和右导数f+(x0)都存在且相等., 如果函数y=f (x)在开区间(a, b)内可导, 且f+(a)和 f-(b)都存在, 就说函数 f (x)在闭区间a, b上可导.,例1: 讨论函数 f (x) =| x |在 x = 0 处的可导性.,三、用定义求导数(三步法),步骤:,例2: 求函数 f (x) = C (C

4、为常数)的导数.,例3: 求函数 y = sin x 的导数和,例4: 求函数 y = xn 的导数 (n为正整数).,例如，,例5: 求函数 y = a x 的导数( a0, a1).,例6: 求函数 y = loga x 的导数( a0, a1).,例7. 设,存在, 求极限,四、导数的几何意义,f (x0)表示曲线y= f (x)在点M(x0, f (x0)处的切线的斜率, 即 f (x0)=tan (为倾角),五、可导与连续的关系,定理: 若函数 f (x)在点x0处可导, 则f (x)在点x0处连续.,连续函数不一定可导举例,2)若 f(x)在x0点不连续，则 f(x)在x0点必不可

5、导。,注意:1)定理的逆定理不成立,即连续函数不一定可导.,函数可导一定连续，但连续不一定可导,例如,例9: 讨论函数,在x=0处的连续性与可导性.,例10: 设函数,六、小结,1. 导数的实质: 增量比的极限;,3. 导数的几何意义: 切线的斜率;,4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;,5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数;,6. 判断可导性,不连续, 一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,2. f (x0) = a f-(x0) = f+(x0) = a.,思考与练习,1. 函数 在某点 处的导数,区别:,是函数 ,是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系 ?,？,与导函数,2. 设,存在 , 则,3. 已知,则,4. 若,时, 恒有,问,是否在,可导?,解:,由题设,由夹逼准则,故,在,可导, 且,5. 设, 问 a 取何值时,在,都存在 , 并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在 x = 0 连