建筑与数学(秦佑国) PPT课件

1、数学与建筑秦佑国,清 华 大 学 建 筑 学 院,2,数学的特点,确定性 抽象性 严格性 应用的广泛性 理性美(dry beauty) 传统上把数学归入自然科学范畴。但是，随着十九世纪非欧几何、抽象代数的产生，特别是二十世纪以来数学日趋抽象化，数学自身内容的发展，已经日益显露出它超出了自然科学的范围。,科学的数学化,康德说：在任何特定的理论中，只有其中包含数学的部分才是真正的科学。 马克思认为：科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地位。 一门科学从定性描述进入定量分析往往是这门科学达到比较成熟阶段 的重要标志。 英国数学家、哲学家A. N. Whitehead 在1939年所作的数

2、学与善 的讲演中说：“在人类思想领域里具有压倒性的新情况将是数学地理解问题 占统治地位。” 联合国科教文组织的世界数学教育的新动向中指出：“在人类社会 的任何领域里，最近和将来都不可避免地利用数量计算、逻辑推导和数学 化模型。在传统的物理学和工程学以外，生物科学、社会科学、经营管理 学、人文科学和日常生活都要以各数学分支及它们的相互结合为工具，加 之统计的和计算机的模型化，数学还将渗透到人文科学里最近发现的新课 题。”,科学的数学化,在看到数学对科学发展的巨大作用的同时，也应该看到科学对数学发展的反作用。如果说在过去一些科学中数学的应用几乎为零，这一方面说明它们利用数学的条件还不完备，另一方面

3、则是进入这些科学的数学也不完备。现代科学的数学化不是把现成的数学理论简单地搬用到某门科学中去，而是要创造性地使之适应这门科学的需要，或者为这门科学创立数学理论。,现代数学的发展趋势,从单个或少数变量到多变量，从低维空间到高维空间。这表示数学模型中包含的因素和参数的数量大大增加，并产生了一些质的变化。与此相应发展起来一些数学中的新学科，如多线性代数、多复变函数、多元统计分析等等。最近十儿年来，具有不必是整数的分数维（fractal dimension）的几何对象一一分形（fractals）引起了广泛的兴趣。 从线性问题到非线性问题。线性化的数学模型是研究局部范围和平缓变化过程所采用的通常是简化了

4、的模型，而要研究大范围、大变化、大挠动、高速度、强作用力等情形的问题，就要涉及非线性现象。非线性问题通常具有对初始条件、边界条件和外界挠动敏感的特征，即这些因素的微小变化会引起结果很大的改变。非线性问题已成为当前数学研究的一个主要内容。,从连续、稳定到间断、突变和不稳定。事物在经过一段连续变化以后发生突变，从一种状态跳跃到另一种状态，描述这种突变现象的新的数学学科称为 “突变论”（Catastrophe Theory）。从平衡的、守恒的、可逆的到非平衡的、耗散的、不可逆的，从决定性的、有序的、周期性的、对称的到随机的、无序的、非周期性的、对称破缺的。而对非线性、非平衡动力系统的深入研究，又揭示

5、出远离平衡态的隐藏在随机性和无序中的分叉（bifurcation）和混沌(chaos）现象。突变、分叉、混沌、分数维等等体现复杂性的现象已成为当今数学、力学、物理学、生物和生命科学乃至经济学、社会学等科学的热门研究课题。,从确定到模糊。作为现代数学基础的集合论，对一个元素是否属于一个集合是完全确定的，但对自然界和人类社会中许多现象的描述往往不具有明确的界限，而只有模糊的外沿。1965年由美国数学家LZadeh建立起的模糊（fuzzy）数学发展很快，它对自然界和社会中模糊现象作定量的研究，具有广泛的实际意义。,数学与建筑,数学起源于人类的生活和生产活动，而建筑活动是人类生存的基本活动之一。如果数

6、的概念和算术运算还不能说主要起源于人类的建筑活动，那么几何学的产生则是和建筑活动密切有关的。几何学（Geometry）这个词就来自古埃及的“测地术”，它是为在尼罗河水泛滥后丈量地界而产生的。自然界中常见的简单几何形状是圆、球、圆柱，如太阳、 月亮、植物茎干、果实等等，而几乎找不到矩形和立方体。矩形和立方体是人类的创造，而这正是和建筑活动有关的，因为方形可以不留间隙地四方连续地延展或划分，立方体可以平稳地堆垒和架设。金字塔在如此巨大的尺度下做到精确的正四棱锥，充分显示了古埃及人的几何能力。希腊人在发展欧几里德几何的同时，写下了建筑史上最辉煌的一页。希腊建筑的美在很大程度上取决于尺度和比例，“帕提

7、农给我们带来确实的真理和高度数学规律的感受”（勒柯布西埃）。,从中世纪进入工业文明后，以数学分析为基础的力学的发展促成了结构工程和建筑设计的专业分化，以射影几何为基础的画法几何和阴影透视的运用促成了近代建筑学的产生，按照制图原理和规则绘制表达设计意图的图纸成了近代建筑师的职业技能，工程图纸成了建筑活动（设计、施工、使用等）的主要信息载体和交流媒介。 有意思的是，当数学（通过力学）促成了工程师和建筑师分道扬镳以后，数学在工程领域纵横驰骋，而在建筑设计领域几乎无用武之地。工程师和数学的关系日趋密切，而建筑师却成了数学的 “弃儿”，建筑师对数学也不屑一顾。当工程师向世界展示了水晶宫、世界博览会机械馆

8、、埃菲尔铁塔的时候，“这些国立（建筑）学校”出来的建筑师，“他们的建筑概念还停留在鸽子相吻那种装饰阶段”（勒柯布西埃走向新建筑）。,在新建筑运动之初，除了传统的应用以外，数学还不能被广泛和具体地应用于建筑学，还不能成为建筑师的工具和方法。和其他工程技术科学相比，建筑对数学的响应有较大的延时。建筑有着深厚的历史沉积，有着广泛的技术和艺术结合的内容，惰性很大。刚从传统中摆脱出来的新建筑学还没有发展到具备应用数学的条件和对数学的具体需要。当然，另一方面是数学的发展还没有达到能运用于建筑学领域的程度，这一点和人文科学相似。 但是，随着现代数学的发展，随着现代科学技术的发展，随着现代建筑学的发展，形势已

9、经发生井正在发生着变化。,今天，一方面建筑学已由传统的含义发展为现代的“广义建筑学”。建筑学的范围从建筑设计扩展到建筑群设计、室内外空间和环境设计、景观规划与设计、城市设计、城市规划、村镇规划、区域规划等等；现代建筑学面对着一个高速发展却又问题丛生的世界，环境、生态、人口、社会、经济、能源、信息等都是建筑师（包括规划师）需要了解和处理的问题；相关的知识领域也从传统的建筑学领域大大扩展，并和社会科学、自然科学的许多学科领域交叉融合，形成如建筑美学、建筑史学、建筑心理学、环境行为学、城市社会学、建筑经济学、城市人口和经济、建筑生态学、建筑气候学、城市地理学、建筑物理学、建筑节能与太阳能利用、建筑防

10、灾、城市管理和立法、建筑设计方法论、计算机辅助建筑设计、建筑和城市信息系统等现代建筑学的分支科学；建筑活动日益成为内容庞大、因素众多、结构复杂的巨系统（large scale system）；巨大的资金、技术、人才和物力的投入，引起对建筑活动的经济效益和社会、环境效益的高度重视。以上种种表明，建筑学对数学的需要和运用日益具备了条件。另一方面，现代数学的发展，现代数学向社会科学的渗入，电子计算机的飞速发展和广泛应用，使数学开始具备应用于建筑学的条件。,数学是一种修养,数学是大学生的一种修养 用图形图像和数字表达观点和问题的能力； 抽象-数学最重要的本质特点； 模数和比例是按一定规则的数序； 图形

11、的拓扑特性； 误差理论: 建筑业与制造业的分野； 概率和统计是社会科学重要的工具； 数学以及在其基础上的力学的发展促成了建筑和结构的专业分工； “数学美”- “数学的精确性与大胆的幻想结合起来,就是美”(勒柯布西埃)； “混沌” 、“分形”等新数学概念已被引入最新的建筑理论。,抽象-数学最重要的本质特点,毕达哥拉斯: “万物皆数”。 柏拉图认为圆的概念高于客观世界中圆的东西。现实世界中没有一样东西是严格符合圆的定义的。 古希腊（奴隶社会的民主制城帮国家），在数学上建立了完备的公理体系，形成了定型的公理演绎系统，几何原理是人类智慧发展史的丰碑；同时不承认无理数，对 “无限” 心存疑虑等，偏废了算

12、术和代数。 古代中国（封建社会的集权制中央帝国），相对于希腊数学的逻辑化、几何化、理念化，数学的算法化和实用性的倾向十分明显，是以问题为中心的算法体系，在代数学的各种算法上有高度发展，但也限制了形式逻辑和演绎思想的产生和发展。 希腊建筑-形，平面，立面； 中国建筑-数，构造，剖面。,用图形图像和数字表达观点和问题的能力,模数和比例是按一定规则的数序,菲波那契(Fibonacci)数列：任意一项是其前两项之和。且相邻两项之比逐渐接近黄金分割。,菲波那契数列,模数和比例是按一定规则的数序,至今为止，世界上真正实现过建筑设计标准化和模数化的只有中国传统建筑。 李允鉌华夏意匠,术数学： 象数（占卜）

13、天数（占星） 礼数（礼制） 律数（律吕） 命数（宿命） 孔子谓季子： “八佾（yi）舞于庭，是可忍，孰不可忍？！”,礼记中的部分礼数,图形的拓扑特性,欧美小住宅和中国四合院的拓扑结构不同,放射状与方格状的城市拓扑结构不同,22,哈萨克斯坦新国家图书馆方案竞赛中，丹麦BIG事务所的设计作品取得了第一名。“设计是将穿越空间与时间的四个世界性经典造型圆形、环形、拱形和圆顶形以莫比乌斯圈的形式融合在了一起。,威尼斯双年展上的莫比乌斯圈,MbiusStrip,23,Klein Bottle House McBride Charles Ryan Architects,Klein Bottle,对称 在数学

14、上，将两种状态间通过确定的规则对应起来的关系，称为从一种状态到另一种状态的变换。 如果某一现象（或系统）在某种变换下不改变，则说该现象（或系统）具有该变换所对应的对称性。 圆对过圆心且与圆所在平面垂直的直线具有旋转变换的对称性，并对直径具有镜像反射变换的对称性。 无论怎样复杂的转动都不能把左手转成右手。 围棋盘（方格网，规则网格）具有平移变换的对称性； 图形的角度和长度比具有相似变换的对称性； 以相等的时间间隔平移的对称性，通常称为周期性； 以某个时刻(设为 t = 0)，作“镜像反射”的时间反演变换，单摆具有时间反演变换的对称性。 一个静止的物体具有任意时间平移的对称性。,复合变换下的对称性

15、 左图是以图形的垂直中线作镜像反射变换，并作“黑白颜色互变”变换。 弱相互作用具有“空间镜像和正反粒子变换”的复合变换对称性。,内特尔（Noether)定理：如果运动规律在某一变换下具有对称性，必相应存在一个守恒定律。例如：物理定律不随时间变化，能量就守恒；作用量在空间平移下保持不变，动量就守恒；作用量在空间旋转下保持不变，角动量就守恒；,在建筑方案设计的说明中，经常会看到有人对总建筑面积的计算非常“精确”，例如，32412.4 m2。这表示他没有误差理论的概念。 没有“绝对误差”的概念。3万多平米的方案设计，如何精确计算到0.1 m2，有没有必要精确到0.1 m2？ 没有“相对误差”的概念。

16、方案设计，面积控制在5%范围内，已是相当可以了。而相对误差在5%之内，就是2位有效数字即可，用3万2千（2.3万） m2表示就行了。 人在语言交流中，对数字的印象通常2位数字可以总体把握，如“十三亿人口”、“九百六十万平方公里”等，数字说多了，干扰了总体把握，反而弄不清。,误差理论,在建筑业中尺寸的单位是mm，施工图中可以只写数字，不写单位，如开间6米，写成“6000”，构造图、节点图也是如此，而且不标明误差控制。而机械图需要表明加工精度（误差控制）： 0. xx，或 0.x%，还有表面光洁度要求：。 随着现代工业制造技术的迅速提高和对建筑业的进入，盖房子已越来越从机械化的现场施工向工业工艺控

17、制下的工厂制造过渡，建筑设计越来越需要和工业设计相结合，而中国的建筑师还缺乏这方面的教育背景和知识结构。,误差概念是建筑业和制造业的分野,以机械制造的工艺水平来设计和 “制造”建筑,尤其以精致的节点和精细的加工来体现工艺, 这在 “Hi-Tech”建筑中集中体现。,概率与统计是社会调查的工具相关与回归,相关与回归,蒙特卡罗法计算机扔骰子,离散随机事件: 可能发生的事件有 n 个, Xi, 各自的概率 Pi 则有 Pi = 1 在计算机上产生一个在（0，1）上均匀分布的随机数 r 若 Pj = r, 而 Pj+1 r 则发生 Xj事件 连续分布随机变量: 概率密度函数 f(x)， 其模拟的方法是

18、： a- f(x) dx = r 则积分上限 a 为随机变量的模拟值。 简单的例子：一条岔路口，一去A市，一去B市，去A市的车占2/3，去B市的车占1/3。可以用扔骰子来模拟：扔出1、2、3、4点表示来车去A城，扔出5、6点，表示车去B城。,勒柯布西埃高度称赞了工程师的美学：“工程师作出了建筑，因为他们采用了数学计算，那是从自然法则中推导出来的”， “按公式工作的工程师使用几何形体，用几何学来满足我们的眼睛，用数学来满足我们的理智，他们的工作就是良好的艺术”；“数学的精确性与大胆的幻想结合起来，说确切些，就是美”。他认为：“工程师的美学与建筑艺术本来是相互依赖、相互联系的事情”； 装饰是“初级

19、的满足” ,“是多余的东西，是农民的爱好”，而比例和尺度上的成功是“到达更高级的满足（数学）”，是“有修养的爱好”。 “帕提农给我们带来确实的真理和高度数学规律的感受”。,第三次浪潮的作者托夫勒在为普里高津所著的从混沌到有序一书所撰写的前言中所说的：机器时代的传统科学倾向于强调稳定、有序、均匀和平衡。它最关心的是封闭系统和线性关系，其中小的输入总是产生小的结果；而新的科学把注意力转向了现实世界的那些方面：无序、不稳定、多样性、不平衡、非线性关系（小的输入可以引起大的结果）以及瞬时性对时间流的高度敏感性。这些方面标志出今天加速了的社会变化。,这些理论以自然界和人类社会广泛的课题为研究对象，具有广阔的研究领域和普遍的应用范围。这些理论不仅提供了新的发现和新的论断，更重要的是表达了新的思维方法、新的认识论和新的世界观。可以预言，这些理论很快会被引入到建筑理论中来，就像相对论、系统论、信息论、控制论一样，会成为新一代建筑思潮的自然哲学基础。如果说现代建筑运动理性主义建筑观念反映了本世纪初建立在经典数学和传统科学基础上的工业社会的自然哲学，那么，当今建筑思潮五彩纷呈的现象则折射着