9实验结果的处理和经验公式ppt课件

1、误差理论与数据处理,华中科技大学机械学院 2011,第9讲 实验结果的处理和经验公式,2,9 实验结果的处理和经验公式,内容提要,1 回归分析与经验公式,2 一元线性经验公式,3,轴承噪音与磨损的关系,4,振动测量仪,安德鲁型振动测量仪,速度型振动测量仪,5,振动测量仪, The Relationship Between Anderon and Velocity,6,9.1 回归分析与经验公式,回归分析,回归分析法包括以下3个步骤：,（1) 确定经验公式的形式，即函数类型；,就是应用数理统计的方法，对实验数据进行分析和处理，从而得 出反映变量间相互关系的经验公式，即回归方程。,（2) 求经验公

2、式的系数，即回归参数；,（3) 研究经验公式的可信赖程度。,9.1 回归分析与经验公式,7,9.2 一元线性经验公式,式中： 因变量（y的估计量）； x 自变量； 需由测量数据确定的回归参数。,将n对 测量数据值标点在坐标纸上，若作图所得的点群形成一直线 带，就在此直线带中间作一直线，使多数点位于直线上或接近于直线，且均 匀分布在直线的两侧，这条直线便可近似地作为回归直线，而回归参数可直 接从图中量取。,一元线性经验公式：自变量x与因变量y存在线性变化的规律，其形式为,一 求经验公式的方法,1 图解法,9.2 一元线性经验公式,8,式中， 代表因变量y的估计量。,解：将上列数据点在坐标纸上，然

3、后通过点群作出回归直线（图9-1）。在接近 直线的两端各取一点，并量得其坐标值为 和 ，则回归参数,9.2 一元线性经验公式,例9-1 用X光机检查镁合金铸件内部缺陷时，为了获得最佳的灵敏度，透视电 压y应随被透视件的厚度x而改变，经实验获得下列一组数据，试用图解法求 经验公式。 表9-1 例9-1 数据表,将点坐标代入回归方程，可求出,故所求的经验公式为,9,将两组测量方程各自相加，得两个方程式后，就可解出 及 。取测量点 数n为偶数，并且 时，得：,用平均值法求取经验公式的回归参数 时，是将n对数据 分别代入 （9-1），并将此测量方程划分成两组，即,9.2 一元线性经验公式,2 平均值法

4、,10,故所求经验公式为,9.2 一元线性经验公式,例9-2 试将例9-1所列数据，用平均值法求经验公式。,解：将测量数据代入式（9-1），并分成两组，即,求和,按式（9-2）及式（9-3）可算出,11,应用最小二乘法原理求取回归参数 时，应使各实验点与回归直线的偏离 平方和为最小，设有n对测量数据 ，在 上y的估计量为,9.2 一元线性经验公式,应使 ，于是求取的参数 应满足,3 最小二乘法,误差方程组为（图9-2）：,12,9.2 一元线性经验公式,在式（9-8）至式（9-10）及在以后的计算中，为简化算式，用 表示对 从1到n求和，并省去了变量 的脚标 。,各测量值 对其算术平均值之差

5、称为测量值的离差， 而 ， 则称为离差积之和，显然 的脚标 表示了 离差的自乘积， 的脚标 表示 的离差积。,式（9-6）称正规方程组，用代数法求解，可得：,式中,13,为了以后相关系数计算的方便，数据处理时顺便可以算出 ：,用矩阵法求取回归参数时，其计算式比较简洁，由式（9-5）可写出误差方 程组的矩阵形式：,即回归直线通过 ，明确这一点对前述的图解法将有帮助。,得到了 以后，经验公式就可确定。将式(9-8)代入式(9-1)，得出经验 公式的另一种形式,9.2 一元线性经验公式,式中，V为残差矩阵；Y为测量值矩阵；X为结构矩阵；B为待求的回归参数矩 阵。并有,14,9.2 一元线性经验公式,

6、得,在残差平方和为最小时，求得的正规方程组为,或,即,15,9.2 一元线性经验公式,表9-2 例9-3 数据计算,例9-3 试将例9-1所列数，按最小二乘法求其回归参数。,解：（1）用代数法计算,先将测量数据列表进行处理，由式（9-7）与式（9-8），得：,16,9.2 一元线性经验公式,已知：,故得经验公式,（2）用矩阵法计算,17,9.2 一元线性经验公式,18,9.2 一元线性经验公式,得,故,19,9.2 一元线性经验公式,二、相关系数及其显著性检验,1 相关系数,2 相关系数的显著性检验,表9-3 显著性检验时相关系数的最小值 k,20,9.2 一元线性经验公式,例9-4 计算例9

7、-1中的相关系数，判断其在 水平上是否显著。,解：利用例9-1计算的中间结果，则,在 和n-2=8时，查表9-3得k0.765，所以,即x,y线性关系密切。,当,时，x,y线性关系显著；,时，x,y线性关系不显著。,21,容易证明 ，于是有,首先来研究因变量y的变化规律。通常，在n对测量数据中，y值总是变动 的，y值的这种变动称为变差，它的大小可以通过各次的测量值与其均值的 离差 表示，而全部n次测量值的总变差，可由这些离差的平方和S来 表示，参阅式（9-12），即,9.2 一元线性经验公式,或写成,三、经验公式的回归精度,将上式进行分解（参看图9-3），即,等式两边平方后求和得；,22,等号

8、右面第二项是回归值 与均值 之差的平方和，因此它的大小完全 由回归直线的斜率所决定，它反映了y的离差平方和S中由于x与y的线性变化 规律而引起的y变化部分，称作回归平方和U。,式（9-17）等号右边第一项 正是各次测量值与回归直线的偏离距离 之平方和，称作残差平方和。它的大小反映了对的线形规律之外的一切因素 （主要是测量误差，x对y的非线性影响等）对y影响的总和。,从回归平方和U与残差平方和Q的意义可知，经验公式效果的好坏，取决于U与 Q的大小，或者说取决于U对离差平方和S的比值U/S，此比值愈大，自然Q/S就 小，经验公式的精确程度就愈高。因,9.2 一元线性经验公式,式中,23,由于残差平

9、方和Q是反映了x对y线性影响之外的其他随机影响的总和，故定义 下列估计量s,9.2 一元线性经验公式,s称剩余标准差，它的意义与前述的标准差相似，用它可以衡量所有随机因 素对y影响的大小，s愈小，回归精度愈高。,由式（9-7）及式（9-16），可得：,故,以上三式表示了3个平方和S，U及Q与相关系数 的关系，从而也补充说明了 相关系数 的意义，即 愈大，经验公式的精确程度愈高。此外，由于 ，由式（9-19）得 。,24,9.2 一元线性经验公式,例9-5 试比较例9-1，例9-2，例9-3求得的3个经验公式的回归精度。,解：三例所得的经验公式为,表9-4 例9-5 数据表,25,9.2 一元线性经验公式,由回归分析的原理与上例的计算比较，可以认为最小二乘法是回归分析中回 归精度较高的一种方法。,表9-4列出了实验中的测量数据 ，由上列3个