9[1].1_二重积分的概念及性质.ppt

1、第9章 重 积 分,2,重积分是定积分的推广和发展.,分割、取近似、求和、取极限.,定积分的被积函数是一元函数,而二重、三重积分的被积函数,重积分有其广泛的应用.,序 言,其同定积分,一样也是某种确定和式的极限,其基本思想是四,步曲:,其积分区域,是一个确定区间.,其积分域是一个平面有界,是二元、三元函数,和空间有界闭区域.,3,问题的提出,二重积分的概念,二重积分的性质,小结 思考题 作业,double integral,9.1 二重积分的概念与性质,第9章 重 积 分,4,一、问题的提出,定积分中会求平行截面面积为已知的,一般立体的体积如何求,先从曲顶柱体的体积开始.,而曲顶柱体的体积的计

2、算问题,一般立体的体积可分成一些比较简单的,回想,立体的体积、,旋转体的体积.,曲顶柱体的体积.,可作为二重积分的一个模型.,?,5,曲顶柱体体积 =,1. 曲顶柱体的体积,困难,曲顶柱体,以xOy面上的闭区域D为底,D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,侧面以,曲面z = f (x, y),且在D上连续).,?,顶是曲的,顶是,6,柱体体积 =,特点,分析,?,曲边梯形面积是如何求,以直代曲、,如何创造条件使,解决问题的思路、步骤与,回忆,思想是,分割、,平顶,平,曲,这对矛盾互相转化,与,以不变代变.,曲边梯形面积的,求法类似.,取近似、,求和、,取极限.,底面积高,?,7,步骤如下,

3、用若干个,先任意分割曲顶,曲顶柱体的体积:,并任取,之和近似表示曲,顶柱体的体积,柱体的底,小区域,小平顶柱体体积,8,(1) 分割,相应地此曲顶,柱体分为n个小曲顶柱体.,(2) 取近似,第i个小曲顶柱体的体积的近似式,(用 表示第i个子域的面积).,将域D任意分为n个子域,在每个子域内任取一点,9,(3) 求和,即得曲顶柱体体积的近似值:,(4) 取极限,作)趋于零,求n个小平顶柱体体积之和,令n个子域的直径中的最大值(记,上述和式的极限即为曲顶柱体体积,10,2. 非均匀平面薄片的质量,(1) 将薄片分割成 n个小块,近似看作均匀薄片.,(2),(3),(4),任取小块,设有一平面薄片,

4、求平面薄片的质量M.,上连续,占有xOy面上的闭区域D,11,也表示它的面积,二、二重积分的概念,1. 二重积分的定义,定义9.1,作乘积,并作和,设f (x, y)是有界闭区域 D上的有界函数,将闭区域 D任意分成n个小闭域,(1),(2),(3),12,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,这和式,趋近于零时,如果当各小闭区域的直径中的最大值,的极限存在, 则,二重积分,记为,即,称此极限为函数 f (x, y)在闭区域D上的,(4),13,曲顶柱体体积,它的面密度,曲顶,即,在底D上的二重积分,平面薄片D的质量,即,在薄片D上的二重积分,14,二重积分可写为,注,定

5、积分中,(1) 重积分与定积分的区别:,重积分中,dx可正可负.,则面积元素为,15,2. 二重积分的存在定理,设f (x, y)是有界闭区域D上的连续函数,存在.,连续函数一定可积,今后的讨论中,相应的积分区域内总是连续的.,或是分片连续函数时, 则,都假定被积函数在,16,(2),3. 二重积分的几何意义,(3),(1),的二重积分就等于,二重积分是,二重积分是,而在其他的部分区域上是负的.,这些部分区域上的柱体体积的,代数和.,那么， f (x, y)在D上,柱体体积的负值;,柱体体积;,当f (x, y)在D上的若干部分区域上是正的,17,例 设D为圆域,二重积分,=,解,上述积分等于

6、,由二重积分的几何意义可知,是上半球面,上半球体的体积:,R,D,?,18,性质9.1(线性性质),为常数, 则,(二重积分与定积分有类似的性质),三、二重积分的性质,根据二重积分的几何意义, 确定积分值,思考,19,性质9.2 (区域可加性),将区域D分为两个子域,D1,D2,D,将区域D分为两个子域D1, D2,20,以1为高的,性质9.3(几何应用),若 为D的面积,既可看成是以D为底,柱体体积,又可看成是D的面积.,21,例,的值 = ( ).,(A) 为正.,(B) 为负.,(C) 等于0.,(D) 不能确定.,为负,B,性质9.4 (正性),则,22,推论2 (绝对可积性),推论1

7、 (单调性),则,若f (x, y)可积,保序性,比较性,则 | f (x, y) | 可积, 且有,23,选择题,比较,(D) 无法比较.,C,单调性,的大小,则( ),24,练习,则,由于,所以,考研数学(三, 四)(4分),单调性,25,几何意义,以m为高和以M为高的两个,证,再用性质9.1和性质9.3,性质9.5 (估值性质),则,为D的面积,则曲顶柱,体的体积介于以D为底,平顶柱体体积之间.,证毕.,M、m为f (x, y),在D上的最大、最小值,26,解,估值性质,区域D的面积,在D上, 因为,例,所以,即,27,性质9.6 (积分中值定理),体积等于,显然,几何意义,证,(,使得

8、,则曲顶柱体,以D为底,为高的平顶柱体体积.,将性质9.5中不等式各除以,有,为D的面积),28,f (x, y)的最大值M与最小值m之间的.,由有界闭区域上连续函数的介值定理.,两端各乘以,点的值,证毕.,即是说,确定的数值,是介于函数,在D上至少存在一点,使得函数在该,与这个确定的数值相等, 即,29,(A),(B),(C),(D),提示:,B,设 f (x, y)是有界闭区域D:,上的,连续函数,不存在.,利用积分中值定理.,30,利用积分中值定理,解,即得:,由函数的连续性知,显然,其中点,是圆域,内的一点.,31,补充,在分析问题和算题时常用的,设区域D关于x轴对称,如果函数 f (

9、x, y)关于坐标y为偶函数.,则,D1为D在第一象限中,的部分,对称性质.,坐标y为奇函数,则,设区域D关于x轴对称,如果函数 f (x, y)关于,32,这个性质的几何意义如图:,区域D关于x轴对称,区域D关于x轴对称,f (x, y)关于坐标y为偶函数,f (x, y)关于坐标y为奇函数,33,如果函数 f (x, y)关于坐标x为奇函数,如果函数 f (x, y)关于坐标x,则,为偶函数,则,类似地,设区域D关于y轴对称,且D1为D在,第一象限中的部分,34,解,由性质得,例,积分区域D关于x轴, y轴都对称,分别关于x和y是奇函数,35,为顶点的三角形区域,(A),(B),(C),(

10、D),0.,A,D1是D在第一象限的部分,练习,研究生考题, 选择, 3分,36,D1,D2,D3,D4,记 I =,则I = I1+ I2, 其中,I1 =,I2 =,而 I1 =,D1与D2关于y轴对称 D3与D4关于x轴对称,线性性质,37,而 I2 =,是关于x的偶函数,关于y的奇函数.,所以,D1,D2,D3,D4,38,被对角线,(A) I1.,(B) I2.,(C) I3.,(D) I4.,A,考研题, 选择题, 4分,练习,划分为四个区域,D3,解,利用二重积分区域的对称性,与被积函数的奇偶性.,D2、 D4两区域,即被积函数是关于y的奇函数,所以,关于x轴对称,D1,D2,D

11、4,39,被对角线,(A) I1.,(B) I2.,(C) I3.,(D) I4.,A,考研题, 选择题, 4分,练习,划分为四个区域,D1、 D3两区域,即被积函数是关于x的偶函数,所以,D2,D4,关于y轴对称,D1,D3,二重积分性质,40,今后在计算重积分利用对称性简化计算时,注意,被积函数的奇偶性.,积分区域的对称性,要特别注意考虑两方面:,41,二重积分的定义,二重积分的性质,二重积分的几何意义,(曲顶柱体体积的代数和),(四步:分割、取近似、求和、取极限),四、小结,(注意对称性质的用法),42,思考题1,将二重积分定义与定积分定义进行比较,被积函数为定义在平面区域上,思考题解答,相同点,定积分与