材料力学 第四版chap6-第十一讲.ppt

1、6-1 工程中的弯曲变形问题 6-2 挠曲线的微分方程 6-3 用积分法求弯曲变形 6-4 用叠加法求弯曲变形 6-5 简单超静定梁 6-6 提高弯曲刚度的一些措施,6-1 工程中的弯曲变形问题,在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。,1、实例,摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。,桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。,但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。例如，车辆上的叠板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车

2、辆受到的冲击和振动作用。,2. 研究变形目的 建立刚度条件，解决刚度问题 建立变形协调条件，解决超静定问题 为振动计算奠定基础,6-2 挠曲线的微分方程,1. 概念以简支梁为例，以变形前的轴线为x轴，垂直向上为y轴，xoy平面为梁的纵向对称面。,挠曲线： 在对称弯曲情况下，变形后梁的轴线为xoy平面内的一条曲线，此曲线称为挠曲线。 挠度： 梁的任一截面形心的竖直位移称为挠度。 挠曲线的方程式： w=f(x),转角：弯曲变形中，梁的横截面对其原来位置转过的角度，称为截面转角。根据平面假设，梁的横截面变形前垂直于轴线，变形后垂直于挠曲线。故,挠度w和转角是度量弯曲变形的两个基本量。 挠度与转角符号

3、规定：在图示坐标中，挠度向上为正，反时针的转角为正。,.梁的挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。,.梁位移的度量：,挠度：梁横截面形心的竖向位移w，向上的挠度为正,转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，逆时针转动为正,转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系,计算位移的目的：刚度校核、解超静定梁,2.挠曲线的曲率表示式： 纯弯曲： 横力弯曲： 细长梁 ，忽略Fs对变形的影响。 （b）,高等数学中对曲率的定义及表达式 于是式（a）转化为 （c）,在我们选定的坐标系内，若弯矩M为正，则挠曲线向下凸，（如图所示），随着弧长S的增加，也是增加的，即正增量对应的也是正的，于是考虑符号后，式（c）可写

4、成,注意到,（d）,又,代入式（d）及：,此式为挠曲线的近似微分方程。,（g）,式（e）中 ，于是式（e）可写成,（f）,此为挠曲线的微分方程，适用于弯曲变形的任意情况，它是非线性的。在小变形的情况下，梁的挠度w一般都远小于跨度，挠曲线w =f(x)是一非常平坦的曲线，转角也是一个非常小的角度，于是, 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。 优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。,3.讨论：,6-3 用积分法求弯曲变形,挠曲线的近似微分方程为：,积分一

5、次得转角方程为：,再积分一次得挠度方程为：,边界条件： 在挠曲线的某些点上，挠度或转角有时是已知的这类条件称为边界条件。,连续条件： 挠曲线是一条光滑连续的曲线，在挠曲线的任一点上有唯一确定的挠度和转角这就是连续条件。,刚度条件：,积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。,位移边界条件,光滑连续条件,弹簧变形,例6-3-1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。,解,1）由梁的整体平衡分析可得：,2）写出x截面的弯矩方程,3）列挠曲线近似微分方程,积分一次,再积分一次,4）由位移边界条件确定积分常数,代入求解,5）确定转角方程和挠度方程,6）确定最大转角

6、和最大挠度,例6-3-2 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和wmax。,解：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,A,B,由边界条件：,得：,解：1确定约束力,FAy FBy ql/2,2写出剪力和弯矩方程,例4-4-3 简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,例6-3-3 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，ab。,解,1）由梁整体平衡分析得：,2）弯矩方程,AC 段：,CB 段：,3）列挠曲线近似微分方程并积分,AC 段：,CB 段：,4）

7、由边界条件确定积分常数,代入求解，得,位移边界条件,光滑连续条件,5）确定转角方程和挠度方程,AC 段：,CB 段：,6）确定最大转角和最大挠度,令 得，,令 得，,例6-3-4. 内燃机的凸轮轴或齿轮轴,可以简化为集中力F作用下的简支梁，试求转角方程及挠度方程，求wmax、max，并讨论F位置变化对wmax、max的影响。,解： 求反力：,列弯矩方程： （AC） (0 x1a) （CB） (ax2l),（CB）,（AC）,列微分方程及积分,求积分常数 边界条件：当x1=0时，w1=0 当x2=l时，w2=0 连续条件：当x1=x2=a时，w11= w12 ，w1= w2 D1=D2=0,（C

8、B）,（AC）,转角方程及挠度方程,最大挠度wmax，最大转角max当x1=0时，当x2=l时，若ab，则 ,max=B若ab，则,当 时,w为极值,所以应首先确定为零的截面位置。若在式（a）中，令x1=a，可求得 若ab，则C为正值。可见从截面A到截面C转角由负变正，改变了符号，挠曲线既为光滑连续曲线，=0的截面必然在（AC）段。令式（a）等于零：x0即为挠度为最大值的截面横坐标。以x0代入式（b）的最大挠度.,最大挠度wmax,当F作用于中点时，即 ，最大挠度发生在中点。,极端情况，当F无限接近右支座时，b2 l2，b2可以省略，于是,可见即是在这种极端情况下，最大挠度仍然发生在跨度中点附近，也就是最大挠度总在靠近跨度中点。所以可以用跨度中点的挠度近似