控制论2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范形教学课件.ppt

1、Ch.2操纵系统的状态空间模型、目录查询(1/1)、 目录概要2.1从状态和状态空间模型2.2从系统反应历程状态空间模型2.3系统的投入产出关系到状态空间模型2.4状态空间模型的线性变换和约旦规范型2.5传递函数阵列2.6线性离散系统的状态空间描述2.7 Matlab问题本章总结， 状态空间模型线性变换和约旦规范形(1/8)、2.4状态空间模型线性变换和约旦规范形由前一节的讨论可知，同一系统的状态空间模型，即使维数相同，但其具体结构和系数矩阵多种多样，如系统矩阵a可以是对折角线矩阵、约旦矩阵或其他形式。 即，状态空间模型不具有唯一性。状态空间模型线性变换和约旦规范形式(2/8)产生了如下问题：

2、为什么同一系统具有不同的状态空间模型？根据对3360状态变量的不同选择，在问题3360各种选择中的状态变量之间及其对应的状态空间模型之间的关系如何？ 在状态空间模型线性变换和约旦规范形(3/8)以及操纵系统分析和设定修订中，一些特殊的系统数学模型对于讨论问题相对简单，如先建立的对折角线规范形和约旦规范形。 因此，提出了以下问题：如何将一般形式的状态空间模型转换为特定形式的状态空间模型，降低了系统的分析问题和设定修正问题的难度。 解决这些个的两个问题需要引入状态空间线性变换。 什么是状态空间线性变换？ 怎么理解？ 本章的关键啊，状态空间模型的线性变换和约旦规范形(4/8)，状态变量是一系列的实变

3、量，它们构成的状态空间是一个实线性空间。 可从线性代数知识中看出，在线性空间中，用于各种基础的空间中点的坐标是通过选择表示空间坐标的基础而不同的。 这些个基底间的关系进行了一次坐标变换，空间中点的坐标相当于进行了一次类似变换。 例如，在右图那样平面正交坐标系中，a点的2个坐标系中的坐标具有如下变化关系(其中，p是不可逆的变换矩阵)，状态空间模型的线性变换和约旦规范形(5/8)，n维空间的旋转变换、极坐标变换、线性空间中的相似变换都属于空间变换，由此，与旋转变换由于状态空间中状态变量的选择类似于线性空间中坐标架的选择，以及相同系统的不同选择状态变量组之间线性空间的不同坐标架之间的线性变换，所以状

4、态空间中的坐标变换称为状态空间线性变换。 引入诸如状态空间模型线性和约旦规范(6/8)、坐标和状态空间线性变换的概念，实际上在所述两个问题： 1 .不同选择状态变量之间存在坐标变换，并且在各个状态空间模型之间也存在相应的相似变换。 2 .既能线性变换状态变量和状态空间模型，在一定条件下就能把一般形式的状态空间模型变换成某种特殊的状态空间模型。状态空间模型线性变换和约旦规范形(7/8)，本节主要讨论如何系统状态空间线性变换和状态空间描述的约旦规范形。本章的牛鼻子问题： 1 .线性变换的几何和空间意义，确立空间想象力2 .系统的对角规范形和约旦规范形的描述4 .代数重数，几何重数和约旦矩阵5 .确

5、定矩阵的广义特征向量，确立空间概念，但星空卫视控制论的牛鼻子。 状态空间模型的线性变换主要内容是：状态空间的线性变换系统特征值的不变性以及系统的不变量化状态方程可以通过对折角线范式状态方程为约旦范式，而状态空间的线性变换(1/2)、2.4.1状态空间的线性变换可以通过对一个n阶动态系统选择适当的n个状态变量建立状态空间模型来描述。 但是，这些个n个状态变量的选择并不唯一。 利用在线性代数中的基础不唯一这一点可以理解。 一个n维线性独立的状态变量向量对应于n维状态空间中的坐标系，即空间上的基底。 根据线性代数知识，在该空间中存在其他坐标系，与原始坐标系具有线性变换关系。状态空间的线性变换(2/2

6、)，以下，分别将：状态空间的线性变换状态空间模型的线性变换、与上述状态变量向量x之间的变换称为状态的线性变换。 如从线性代数知识可知，在这些个之间，需要一种变换关系，其中描述相同线性状态空间的两个n维状态变量向量的每一个为状态空间的线性变换(1/1)，且1 .状态空间的线性变换为nn维的非奇异变换矩阵。 应当注意，在：处，只有变换矩阵p是非奇异的，因此x和x之间的变换关系可被等效且唯一且无损地表示。 两个公式之间有什么样的关系？状态空间的线性变换(1/14 )、2 .状态空间模型的线性变换是指，状态变量x和以下、系统状态空间模型分别将、变换关系x=P代入(a，b，c，d )的状态方程，若将状态

7、上式与状态空间模型进行比较，则线性系统(a，b，c，d )的线性变换矩阵p下的各矩阵具有如下的对应关系在此，t0是系统运动的初始时刻。 为了进行状态空间的线性变换，需要校正矩阵的逆，简单复习下一个逆矩阵的校正运算。 补充资料：逆矩阵的修正算法。 作为一般的逆矩阵校正运算方法，有以下的2种：校正运算共轭转置法。 初等变换法(三角矩阵变换法)。 分别介绍如下。状态空间线性变换(3/14 )逆矩阵的校正，1 .具有矩阵法的该方法的校正公式为： adj(P )和|P|，其中adj(P )和|P|分别是状态空间的线性变换(4/14 )校正共轭转置法，状态空间的线性变换(5/14 ) 其共轭转置为：其中，

8、pij*是矩阵p的元素的代数格子式pij*，是将nn矩阵p的第I行第j列的置换下以外的n-1行n-1列的行列式值乘以符号而得到的。状态空间的线性变换(6/14 )校正运算共轭转置法，例如校正下述矩阵的逆矩阵。 校正过程如下面的： (1)那样先校正代数侑子式。 状态空间的线性变换(7/14 )补正算共轭转置法、(2)补正算共轭转置。 修正、(3)行列式的值。 对状态空间的线性变换(8/14 )校正运算共轭转置法、进行校正。 求状态空间的线性变换(9/14 )初等变换法、2 .初等变换法初等变换法(即三角矩阵变换法)逆矩阵p-1的思想是将：矩阵p和单位矩阵I组合到扩大矩阵P I。 通过将扩大矩阵P

9、 I进行初等行变换，将P I变换为I T，P-1=T。初等行变换有三种3360，一行乘以非零常数、一行乘以常数、另一行乘以常数，然后把上述矩阵p逆转，校正过程的例子包括： 伴随矩阵校正算出逆矩阵的校正算出时间复杂度(校正算出时间估计)为1阶nn的行列式值N2 (n-1 ) (n-1 )的行列式值的校正为O(n5 )，与此相对，初等变换法的校正算出时间复杂度尝试O(n3 )、例2-5以下的状态空间模型时，变换矩阵为下式所示的线性变换、状态空间的线性由于解线性变换p的逆矩阵包括状态空间的线性变换(14/14 )，因此系统可以通过选择不同的状态变量来获得不同的状态空间模型描述，如从上面的讨论可以看出

10、的，并且系统特征值的不变量和系统的不变量(1/2)、2.4.2系统特征值的不变量和系统的不变量。 实际上，状态空间模型只是在系统不同的状态变量选择下描述系统，它根据状态变量选择而不同，没有唯一性和不变性。 在那里，线性稳定系统的特征结构通过特征值和特征向量来表示，其判断系统在状态空间上具有怎样的描述、怎样的性质没有变化、以及状态变量的选择没有变化。 系统的特征结构对系统运动的特性和行为有重要影响，决定了系统的基本特性。 系统特征值的不变量和系统的不变量(2/2)考虑到在系统被进行了状态线性变换之后特征值不变，即，状态线性变换不改变系统的基本特性。 系统矩阵的特征值描述系统的本质特征，有唯一性的

11、不变量，即，不随状态变量的选择而变化的不变量，其与系统分析起着综合重要的作用。 分别研究：系统的特征值和特征向量系统的特征值的不变性特征向量的修正运算广义的特征向量和特征向量连锁、难点，是重点呢，系统的特征值和特征向量(1/4)，1 .系统的特征值和特征向量的状态空间的线性变换，是描述系统的角度(啊在线性稳定系统中，由系统的特征值(极)确定系统的基本特性。 模态应该是系统不变的本质特征之一。 在状态线性变换之后，作为其本质特征之一的特征值不被改变，即，状态线性变换不改变系统的基本特性。 首先讨论矩阵的特征量和特征向量的定义。 另外，设系统的特征值和特征向量(2/4)特征值和特征向量定义、定义2

12、2v为n维非零向量、a为nn矩阵。 如果方程式组爱情动作片=v成立则被称为矩阵a的特征值，非零向量v是所对应的矩阵a的特征向量。 将上述特征值的定义式写为(I-A)v=0其中I是nn的单位矩阵。 因此，从代数方程论可知，上式具有非零特征向量v的解的充足条件为|I-A|=0，将上式称为矩阵a的特征方程式，|I-A|称为a的特征多项式。 如果展开系统的特征值和特征向量(3/4)特征值和特征向量定义，|I-A|，则得到|I-A|=n a1n-1 an-1 an=0中的ai(i=，因此，nn维的矩阵a的特征多项式是n次多项式。 如果矩阵a为实矩阵，则对应的特征方程式是实系数代数方程，有n个。 这些个n

13、个根据实数，或者成对出现的共轭复数。 求矩阵特征值的方法是求解矩阵a的特征方程。n次特征方程式的n个根1，2，n是矩阵a的n个特征值。 在获得特征值I后，可以根据等式(2-46 )或等式(2-47 )获得与矩阵的I相对应的特征向量vi。系统的特征值与特征向量(4/4)，如下所述，矩阵特征值的概念能够被展开成线性稳定系统(a、b、c、d )。 定义对于线性稳定系数(a、b、c、d )，系数的特征值变为系数矩阵a的特征值。 对于系统特征值，多个注释： A个n维线性稳定系统必然对应于n个特征值。 b .在物理上可实现的系统中，其系统矩阵必定是实矩阵。 因此，线性稳定系统的特征多项式是以实系数多项式、

14、即系统特征值或实数、或配对形式出现的共轭复数。 系统特征值的不变性(1/2)，2 .系统特征值的不变性系统的特征值表示系统的本质特征。 线性变换相当于从别的角度来记述系统，不改变系统的本质。 具有下列结论的：线性稳态系统特征值相对于线性变换不变，即，具有系统的本质特征的系统特征值。 对于系统特征值的不变性(2/2)，若将：系统原状态空间模型中的系统矩阵设为a、线性变换、以及系统矩阵，则可以证明在系统被线性变换之后，其特征值不变。 矩阵的特征多项式是证明a的特征多项式相等的特征多项式。 另外，特征向量的校正运算(1/9)、3 .特征向量的校正运算如何求解与特征值I相对应的特征向量(即确定如下线性

15、矩阵代数方程)的非零解(iI-A)vi=0，因为I是a的特征值，所以iI-A是不可逆的因此，从代数方程理论可以看出，该方程组的解并不唯一。 由特征向量的定义可知，我们需要解的是线性独立的特征向量。 事实上，当具体地确定特征向量时，特征向量的一些或多个元素的值可以假定为特征向量的另一元素的值。 另外，特征向量的补正运算(2/9)、特征方程式有重根时，线性独立的特征向量有可能不唯一。 因此，产生如下问题3360的问题3360相对于特征值I存在多少个独立特征向量？ 与答案：矩阵的加权特征值I相对应的线性独立特征向量可以是多个。 其独立特征向量的数量等价于系统的维数与线性方程(2-47 )的线性独立方

16、程的数量之间的差，即秩为矩阵的秩的n-rank(iI-A )。 另外，因为特征向量的补正运算(3/9)，所以r权重的特征值有可能存在1r个线性独立特征向量。 由此，导出下述问题：的独立特征向量数到底具有什么样的意义与特征量的重量有什么关系？ 引入代数重数和几何重数两个概念。 别弄混了！ 特征向量的校正(4/9)，两个基本概念：代数重数。 由特征方程式求出的特征值I的权重称为特征值I的代数权重。 几何重量。 特征值I的线性独立特征向量数称为特征值I的几何权重数。代数重数和几何重数是两个不同的概念。 几何体的重量具有几何体上的空间表示的意义，表示空间分解上不变化的几何子空间的数量。 代数的重量只具有代数意义，表示特征方程中特征值的重量。 特征向量的校正运算(5/9)例2-6、例2-6求出次矩阵的特征向量，根据解1 .特征方程式|I-A|=0求出系统的特征值。 (6/9)例2-6、特征向量的校正运算(6/9)例2-6、对该特征方程式进行求解，系统的特征值是1=1 2=3=2的2是系统的双