数值计算方法第五章插值理论

1、第五章 插值法,5、样条插值,主要内容：,1、拉格朗日插值,2、牛顿插值,3、分段线性插值,4、埃米特插值,三、线性插值,五、拉格朗日插值多项式,四、抛物线插值,六、小结,问题提出：,o,x0,x1,x2,xn,y0,y1,y2,yi,xi,yn,Y(x),P(x)=?,x0,x1,x2,xn,xi,xn,y0,y1,y2,yi,yn,x0,x1,x2,xi,xn,y0,y1,y2,yi,yn,x0,x1,x2,xi,xn,xn,在工程技术上，给出一批离散的点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以满足设计和加工的需要。反映在数学上，即已知函数在一些点的值，寻求它的分析表达式。,y,二 是在选定

2、近似函数H(x)后，不要求它们通过已知样点，只要求在某种意义下它在这些样点的总偏差最小-曲线拟合法。,解决问题的方法：,一 是给出函数f(x)的一些样点值，选定某些便于计算的函数，要求它们通过已知样点，由此确定函数H(x)为f(x)的近似值-插值法;,（一）拉格朗日插值,定理1,证明,插值多项式的误差估计,称为截断误差，又称误差余项。,插值多项式与被差函数之差,定理2 设 是区间a,b上互异节点， 是过该组节点的n次插值多项式。若f(x) 在区间a,b上n+1次连续可导，则对a,b内任意点x, 误差余项为,特别：,特别有相应的估计式,拉格朗日插值多项式,1）两个节点x0,x1的情况：,解此方程

3、组得,则两个节点x0,x1 的一次插值多项式为,几何意义：这是过2个点的直线近似曲线，故称线性插值。,若将上式改写为两个函数的线性组合，即,其次数不超过n，且满足,对应函数值为系数作线性组合，得所要求的插值多项式。,多项式有n个根,故它必有以下形式,它们称为拉格朗日插值基函数。,所以可得插值基函数的解,称为n次拉格朗日插值多项式.记为：,当n=1时,两点一次拉格朗日插值多项式为,当n=2时,三节点处的函数值，三个插值基函数为,二次拉格朗日插值多项式为,几何意义：这是过3个点的抛物线近似曲线， 故称抛物线插值。,例1、,解：,例2、,解：,例3、已知y=lnx函数的表为,x 10 11 12 1

4、3 14 Y=lnx 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649 2.6391 分别用拉格朗日插值和抛物线插值求ln11.5的近似值，并估计截断误差。,解：(1)线性插值。,插值基函数是,把x=11.5代入,插值余项误差,（2）抛物线插值。,插值多项式是,把x=11.5代入,插值余项误差,function yi=Lagrange(x,y,xi) %用Lagrange插值法求解 %yi=Lagrange(x,y,xi) x是节点向量，y是节点上的函数值 %xi是插值点（可以是多个）,yi是返回插值 m=length(x);n=length(y);p=length(xi); if m=

5、n,error(向量x与y的长度必须一致);end s=0; for k=1:n t=ones(1,p); for j=1:n if j=k t=t.*(xi-x(j)/(x(k)-x(j); end end s=s+t*y(k); end yi=s;,x=11 12 ;y=2.3979 2.4849 ; y1=Lagrange924(x,y,11.5),y1 = 2.4414,x=11 12 13;y=2.3979 2.4849 2.5649; y1=Lagrange924(x,y,11.5),y1 = 2.4423,例4、设 为n+1个互异节点， 为该组节点上的 Lagrange插值基函数

6、，试证明,证明：,为插值基函数，组合系数是1。,在这n+1个互异节点处取值为1从而有,由插值问题的解知，它的n次Lagrange插值多项式是,对任意x,插值余项为,六、小结,2、牛顿插值,把线性插值公式改写为,可导出-牛顿插值公式。,定义1：,性质1 线性性质,性质2,性质3,性质4,特别有,注：特别在重节点X1的插商,若要计算四阶差商，增加一个节点，在计算一斜行，如此下去，即可求出各阶差商的值。,牛顿插值公式,由归纳法一般有,记：,易知 为满足插值条件的n次插值多项式， 称为牛顿插值多项式。,由插值多项式唯一性知,余项相等,利用牛顿多项式可按表中计算,2)由差商表可得4次牛顿插值多项式为,3

7、) 牛顿插值余项为,例3 用牛顿插值公式计算例1中的ln11.5。,解：仍取下面节点，作抛物线插值,xi yi=lnxi 一阶插商 二阶插商 11 2.3979 1 12 2.4849 0.0870 x-11 13 2.5649 0.0800 -0.0035 (x-11)(x-12),定义1（差分）,向前差分和向后差分。,向前差分算子和向后差分算子。,二阶差分：,一般地，n-1阶差分的差分称为n阶差分,记作,阶向前差分,差分的性质：,性质1 各阶差分具有线性性质；,性质2 各阶差分可用函数值线性表示为；,性质3 各种差分之间可以互化；,注： 差分和导数满足关系：,性质4 用差分表示差商；,具有

8、差分形式（向前）的牛顿插值多项式及余项,将差分与差商的关系式代入牛顿插值余项式又得到,具有差分形式（向后）的牛顿插值多项式及余项,公式(5.4.12)称为牛顿向后插公式。,公式(5.4.12)称为牛顿向后插公式的余项。,具有差分形式（一般）的牛顿插值多项式及余项,表前公式和表后公式的介绍,公式(5.4.8)和(5.4.13)都只用到向前差分，所以只需构造 向前差分表，公式(5.4.8)用表前部分，公式(5.4.13)用表 后部分，所以分别称它们为表前公式和表后公式。,牛顿向后插值公式适用于计算函数表末端附近的函数值。,为了应用方便，利用向前差分表及相应的项乘积 可得Newton向前差分公式,利

9、用向前差分表及相应的项乘积 可得Newton向后差分公式,解 先构造向前差分表,由上表和公式(5.4.8)得,分段线性低次插值,一、龙格现象,二、分段线性插值,三、分段抛物线插值,四、小结,一、龙格现象,前面我们根据区间a,b上给出的节点可以得到函数f(x)的插值多项式，但并非插值多项式的次数越高，逼近函数f(x)的精度越好。其主要原因就是，由于高次插值多项式往往有数值不稳定的缺点，即对任意的插值节点，当 时，插值多项式 不一定收敛到f(x)。,这种高次插值不准确 的现象称为龙格现象。,为了避免高次插值的上述缺点，我们常常采用分段低次插值的方法，即将插值区间分为若干个小区间，在每个小区间上运用

10、前面介绍的插值方法构造低次插值多项式，以达到适当缩小插值区间长度，同样可以提高插值精度的目的。,分段低次插值的优点是公式简单，计算量小，且有较好的收敛性和稳定性，并且可以避免计算机上作高次乘幂时遇到的上溢和下溢的困难。,二、分段线性插值,从几何意义上看，分段低次插值就是用折线近似代替曲线y=f(x).,分段线性插值函数。,function yi=lineint(x,y,xi) %分段线性插值,x是插值节点向量,按行输入 %y是插值节点上的函数值向量，按行输入 %xi是标量，自变量 m=length(x);n=length(y); if n=m,error(向量x与y的长度必须一致);end f

11、or k=1:n-1 if x(k)=xi end end,a=-5;b=5;n=10;h=(b-a)/n;x=a:h:b;y=1./(1+x.2); xx=a:0.01:b;yy=1./(1+xx.2);m=length(xx);z=zeros(1,m); for i=1:m z(i)=lineint924(x,y,xx(i); end plot(x,y,o,xx,yy,k:,xx,z,k-); plot(xx,z-yy,k*);,三、分段抛物线插值,应用低次插值的关键是恰当选择插值节点 ，而选择插值节点的原则是：尽可能在插值点的邻近选取插值节点。,四、小结,（1）龙格现象； （2）分段线性

12、插值； （3）分段抛物线插值。,埃尔米特插值,对插值函数要求在节点处与函数值限等， 且导数值也相等的问题为埃尔米特插值问题。,的多项式H(x)为Hermite插值多项式。,而多项式H(x)至多为2n+1次。,采用构造插值基函数的方法求Hermite插值多项式。,事实上，若下面两组函数满足,均是至多为2n+1次多项式；,必满足插值条件，且次数必超过2n+1。,o,x,h(x),xi,Xj,hi(x),1,hj(x),h(x): hi(xi)=1, hi(xj)=0, hi(xj)=0.,基函数特征,H(x)： Hi(xj)=0, Hi(xi)=1, Hi(xj)=0.,o,o,H(x),o,o,

13、o,o,xi,Xj,x,Hi(x),Hj(x),易推得Hermite插值多项式,特别有,两节点的三次Hermite插值多项式,注：具体计算要选节点代公式。,样条插值,样条(Splin)：是绘图员设计工具，它是富有弹性的 细木条或细金属条，绘图员利用它把一些已知点连 成一条光滑曲线，并使其连接处有连续的曲率.,取插值函数为样条函数-样条插值。,0,直升飞机旋转机翼外形轮廓线,某些型值点的数据,由13个点，用样条函数值的方法增加平面点数49个点，绘制出较光滑机翼外形曲线。,已知函数f(x)在n+1个节点,若插值函数S(x)满足：,S(x)是三次多项式，记Sj(x)；,（3）S(x)在a,b上二次连

14、续可微。,则称S(x)为f(x)的三次样条插值函数,要唯一确定S(x)，还需补充边界条件，有三种：,构造S(x)的三弯矩方程方法：,参数Mi满足三弯矩方程,且结合边界条件所确定的两个方程。,构造S(x)的三斜率方程方法：,参数mj满足三转角方程,且结合边界条件所确定的两个方程。,解:若用三弯矩方程求解，由已知,及相应式子计算方程组的系数及右端项，有,代入（5-51）,用三转角方程求解，由,可解,得三转角方程,表示式,其解为,clear; x=0, 1, 2, 3; y=0 ,2 ,3, 16; pp=csape(x,y) xi=0:0.01:3; yi=ppval(pp,xi); pp1=cs

15、ape(x,y,complete,1, 0); pp1.coefs fnplt(pp1),pp = form: pp breaks: 0 1 2 3 coefs: 3x4 double pieces: 3 order: 4 dim: 1,ans = -3.6667 4.6667 1.0000 0 8.0000 -6.3333 -0.6667 2.0000 -15.3333 17.6667 10.6667 3.0000,clear; x=0.1, 0.2, 0.15, 0, -0.2, 0.3; y=0.95, 0.84, 0.86, 1.06, 1.50, 0.72; pp=csape(x,y

16、) xi=-0.2:0.01:0.3; yi=ppval(pp,xi); fnplt(pp) pp2=csape(x,y,second,1.0, 0.3);pp2.coefs,pp = form: pp breaks: -0.2000 0 0.1000 0.1500 0.2000 0.3000 coefs: 5x4 double pieces: 5 order: 4 dim: 1,ans = 11.9958 0.5000 -2.7798 1.5000 -72.9406 7.6975 -1.1403 1.0600 279.3208 -14.1847 -1.7891 0.9500 -269.215

17、4 27.7134 -1.1126 0.8600 42.7297 -12.6689 -0.3604 0.8400,x=0,2,4,5,8,12,12.8,17.2,19.9,20; y=exp(x).*sin(x); xx=0:0.25:20; yy=spline(x,y,xx); plot(x,y,ro,xx,yy) title(三次样条，y=exp(x)sin(x)， 0,2,4,5,8,12,12.8,17.2,19.9,20),二元2线性插值公式,使用2线性插值； 使用二元三次样条插值； 使用二元三次插值；,使用2线性插值； 使用二元三次样条插值； 使用二元三次插值；,clear; c

18、lose; x=0:4;y=2:4; z=82 81 80 82 84 ;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86; subplot(2,2,1); mesh(x,y,z);title(RAW DATA); xi=0:0.1:4; yi=2:0.1:4; zspline=interp2(x,y,z,xi,yi,spline); subplot(2,2,2); mesh(xi,yi,zspline);title(SPLINE);,海底测量： 表-1给出水面直角坐标（X,Y）出水高度Z，在低潮时测的。船的吃 水度为5米，问在矩形域75X,200,-50Y150中行船应避免进入的区

19、域。,clear; close; x=129 140 108 88 185 195 105 157 107 77 145 162 162 117; y=7 141 28 147 22 137 85 -6 -81 3 45 -66 84 -38; plot(x,y,o);,z=4,8,6,8,6,8,8,9,9,8,8,9,4,9; h=-z; xi=75:5:200;yi=-50:10:150; HI=griddata(x,y,h,xi,yi,cubic);%三角形三次插值； mesh(xi,yi,HI);view(-60,30); contour(xi,yi,HI,-5,-5,k),x=2,3,4,0,2,3,0,1,4; y=2,2,2,3,3,3,