专题2函数与导数六2020届高三数学三轮复习回归课本复习讲义.doc

1、函数与导数（六）热点一利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力例1已知函数f(x)ae2xaexxex(a0，e2.718，e为自然对数的底数)，若f(x)0对于xR恒成立(1)求实数a的值；(2)证明：f(x)存在唯一极大值点x0，且f(x0).及时归纳用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函数，则xa，b，则f(a)f(x)f(b)；对x1，x2a，b，且x1x2，则f(x1)f(x2)对于减函数有类似结论(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对xD，

2、有f(x)M(或f(x)m)(3)证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，证明F(x)0，且函数f(x)在区间0，)内单调递增，求实数a的取值范围；(2)若0a，试判断函数f(x)的零点个数及时归纳(1)函数yf(x)k的零点问题，可转化为函数yf(x)和直线yk的交点问题(2)研究函数yf(x)的值域，不仅要看最值，而且要观察随x值的变化y值的变化趋势跟踪演练2(2018全国)已知函数f(x)exax2.(1)若a1，证明：当x0时，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)上只有一个零点，求a.热点三利用导数解决生活中的优化问题生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中

3、的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优例3罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小？及时归纳利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，

4、列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)(2)求导：求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值(4)作答：回归实际问题作答跟踪演练3图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.若凹槽的强度T等于横截面的面积S与边AB的乘积，设AB2x，BCy.(1)写出y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围；(2)求当x取何值时，凹槽的强度最大课时作业1.已知函数，为的导数，证明：（1）在区

5、间上存在唯一极大值点；（2）在区间上有且仅有一个零点2.如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶具体做法是从O中剪裁出两块全等的圆形铁皮P与Q做圆柱的底面，剪裁出一个矩形ABCD做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB为圆柱的一条母线，点A，B在O上，点P，Q在O的一条直径上，ABPQ，P，Q分别与直线BC、AD相切，都与O内切（1）求圆形铁皮P半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮P与Q半径的值，使得油桶的体积最大（不取近似值）3.若函数(mR)为奇函数，且时有极小值（1）求实数a的值；（2）求实数m的取值范围；（3）若恒成立，求实数m的取值范围4.已知函数，为的导数（）

6、求曲线在点处的切线方程；（）证明：在区间上存在唯一零点；（）设，若对任意，均存在，使得，求实数a的取值范围.5.已知函数的图象在处的切线l过点.（1）若函数，求的最大值（用a表示）；（2）若，证明：.6.已知函数.（1）若曲线y=f(x)存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f(x)的单调区间；（3）设函数，求证：当1a0时， g(x)在(1,+)上存在极小值.7.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求f(x)的单调区间；（3）若对于任意，都有，求实数a的取值范围.8.已知函数.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）讨论函数f(x)的单调性；（）对于任意，都有，求实数a的

7、取值范围.函数与导数（六）答案热点一利用导数证明不等式例1(1)解由f(x)ex(aexax)0对于xR恒成立，设函数g(x)aexax，可得g(x)aexax0对于xR恒成立，g(0)0，g(x)g(0)，从而x0是g(x)的一个极小值点，g(x)aex1，g(0)a10，即a1.当a1时，g(x)ex1x，g(x)ex1，x(，0)时，g(x)0，g(x)在(0，)上单调递增，g(x)g(0)0，故a1.(2)证明当a1时，f(x)e2xexxex，f(x)ex(2exx2)令h(x)2exx2，则h(x)2ex1，当x(，ln 2)时，h(x)0，h(x)在(ln 2，)上为增函数，h(

8、1)0，在(2，1)上存在xx0满足h(x0)0，h(x)在(，ln 2)上为减函数，当x(，x0)时，h(x)0，即f(x)0，f(x)在(，x0)上为增函数，当x(x0，ln 2)时，h(x)0，即f(x)0，f(x)在(x0，ln 2)上为减函数，当x(ln 2,0)时，h(x)h(0)0，即f(x)h(0)0，即f(x)0，f(x)在(0，)上为增函数，f(x)在(ln 2，)上只有一个极小值点0，综上可知，f(x)存在唯一的极大值点x0，且x0(2，1)h(x0)0，2x020，f(x0)x02(x01)，x0(2，1)，当x(2，1)时，f(x0)；ln(2，1)，f(x0)f；综

9、上知f(x0)0)，当a0时，则f(x)0时，则当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增(2)证明令g(x)f(x)2axxeax1xeax1axln x，则g(x)eax1axeax1a(ax1)(x0)，设r(x)xeax11(x0)，则r(x)(1ax)eax1(x0)，eax10，当x时，r(x)0，r(x)单调递增；当x时，r(x)0，r(x)单调递减r(x)maxr0，当0x时，g(x)时，g(x)0，g(x)在上单调递减，在上单调递增，g(x)ming，设t，则gh(t)ln t1(0te2)，h(t)0，h(t)在上单调递减

10、，h(t)h(e2)0；g(x)0，故f(x)2axxeax1.热点二利用导数讨论方程根的个数解(1)函数f(x)在0，)内单调递增，f(x)ex0在0，)内恒成立即aexx在0，)内恒成立记g(x)exx，则g(x)ex10恒成立，g(x)在区间0，)内单调递减，g(x)g(0)1，a1，即实数a的取值范围为1，)(2)0aa)，记h(x)f(x)，则h(x)ex0，知f(x)在区间内单调递增又f(0)10，f(x)在区间内存在唯一的零点x0，即f(x0)0，于是，x0ln.当axx0时，f(x)x0时，f(x)0，f(x)单调递增f(x)minf(x0)2aln2ax0x0a3a23a，当

11、且仅当x0a1时，取等号由0a0，f(x)minf(x0)0，即函数f(x)没有零点跟踪演练2(1)证明当a1时，f(x)1等价于(x21)ex10.设函数g(x)(x21)ex1，则g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.当x1时，g(x)0，h(x)没有零点；()当a0时，h(x)ax(x2)ex.当x(0,2)时，h(x)0.所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增故h(2)1是h(x)在(0，)上的最小值若h(2)0，即a，h(x)在(0，)上没有零点若h(2)0，即a，h(x)在(0，)上只有一个零点若h(2)，因为h(0)1，所以h(x)在(0,2)上有一个零点；

12、由(1)知，当x0时，exx2，所以h(4a)11110，故h(x)在(2,4a)上有一个零点因此h(x)在(0，)上有两个零点综上，当f(x)在(0，)上只有一个零点时，a.热点三利用导数解决生活中的优化问题例3解(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1.所以yf(x)32n(n1)(2)x32(2)xm2m32(0xm)(2)当m96时，f(x)96160，则f(x)96(64)令f(x)0，得64，所以x16.当0x16时，f(x)0，f(x)在区间(0,16)内为减函数；当16x0，f(x)在区间(16,96)内为增函数，所以f(x)在x16处取得最小值，此时n15.答需新建5个

13、桥墩才能使余下工程的费用y最小跟踪演练3解(1)易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为x.所以42x2yx，得y.依题意知0xy，得0x.所以y .(2)依题意，得TABS2x8x2(43)x3.令T16x3(43)x20，得x0或x.因为0，所以当0x0，T为关于x的增函数；当x时，T0，T为关于x的减函数，所以当x时凹槽的强度最大.课时作业1.（1）证明见解析；（2）证明见解析（1）由题意知：定义域为，且令，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递减又，使得，当时，；当时，即在区间上单调递增；在上单调递减，则为唯一的极大值点，即在区间上存在唯一的极大值点（2）由（1）知，且在区间存在

14、唯一极大值点，在上单调递增，在上单调递减，而，故在上恒有，在上单调递增，又，因此，在上有且仅有一个零点2.解：（1）设P半径为，则，所以P的周长， 4分解得 ，故P半径的取值范围为. 6分（2）在（1）的条件下，油桶的体积， 8分设函数，所以，由于 ，所以在定义域上恒成立，故在定义域上单调递增，即当时，体积取到最大值. 13分答：P半径的取值范围为，当时，体积取到最大值. 14分3.解：（1）由函数为奇函数，得在定义域上恒成立，所以 ，化简可得 ，所以. 3分（2）法一：由（1）可得，所以，其中当时，由于恒成立，即恒成立，故不存在极小值. 5分当时，方程有两个不等的正根，故可知函数在上单调递增

15、，在上单调递减，即在处取到极小值，所以，的取值范围是. 9分法二：由（1）可得，令，则，故当时，；当时， 5分故在上递减，在上递增，若，则恒成立，单调递增，无极值点；所以，解得，取，则，又函数的图象在区间上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间上，存在为函数的零点，为极小值.所以，的取值范围是. 9分（3）由满足，代入， 消去m可得， 11分构造函数，所以，当时， ，所以当时，恒成立，故h(x)在0，+)上为单调减函数，其中， 13分则可转化为，故，由，设，可得当时，在上递增，故，综上，的取值范围是 . 16分4.（）；（）证明见解析；（）.【分析】（）将代入求出切点坐标，由题可得，将代入

16、求出切线斜率，进而求出切线方程（）设，则，由导函数研究的单调性进，而得出答案（）题目等价于，易求得，利用单调性求出的最小值，列不等式求解【详解】（），所以，即切线的斜率，且，从而曲线在点处的切线方程为.（）设，则.当时，；当时，所以在单调递增，在单调递减.又，故在存在唯一零点.所以在存在唯一零点.（）由已知，转化为， 且的对称轴所以 . 由()知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，所以在单调递增，在单调递减.又，所以当时，.所以，即，因此，的取值范围是.【点睛】导数是高考的重要考点，本题考查导数的几何意义，利用单调性解决函数的恒成立问题，存在性问题等，属于一般题5.(1) ；(2)证明见解

17、析.试题分析：(1)由题意可得：.结合导函数研究函数的单调性可得.(2)由题意结合(1)的结论有，构造函数，结合函数的特征即可证得题中的结论.试题解析：（1）由，得，的方程为，又过点，解得.，当时，单调递增；当时，单调递减.故.（2）证明：，令，令得；令得.在上递减，在上递增，解得：.6.(1) .(2)答案见解析；(3)证明见解析【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，问题转化为存在大于的实数根，根据在时递增，求出的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，判断导数的符号，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数，根据，得到存在，满足，从而让得到函数单调区间，求出函数的极小值，证处结论即

18、可.试题解析：（1）由得.由已知曲线存在斜率为-1的切线，所以存在大于零的实数根，即存在大于零的实数根，因为在时单调递增，所以实数a的取值范围.（2）由可得当时， ，所以函数的增区间为；当时，若， ，若， ，所以此时函数的增区间为，减区间为.（3）由及题设得，由可得，由（2）可知函数在上递增，所以，取，显然，所以存在满足，即存在满足，所以， 在区间（1，+）上的情况如下： 0 + 极小 所以当-1a0时，g（x）在（1，+）上存在极小值.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题

19、方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.7.（1）（2）的单调递增区间是；的单调递减区间是（3）.【分析】（1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得切线方程；（2）求得导函数，并令求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间；（3）将不等式变形，并分离参数后构造函数，求得并令求得极值点，结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定的取值范围.【详解】（1）因为函数，所以，.又因为，则切点坐标为，所以曲线在点处的切线方程为.（2）函数定义域为，由（1）可知，.令解得.与在区间上的情况如下：0极小值所以，的单调递增区间是；的单调递减区间是.（3）当时，“”等价于“”.令，.令解得，当时，所以在区间单调递减.当时，所以在区间单调递增.而，.所