随机变量的分布函数

1、随机变量的分布函数,1. 定义:设X是任意一个随机变量,称函数 F(x)=P(Xx), x 为随机变量X的分布函数.,(1) 0F(x)1, x, (2) F(x)是x的单调不减函数; (3),(4) F(x)有至多可列个间断点, 且在间断点处右连续, 即: F(x+0)=F(x) (5) P(aa)=1-P(Xa)=1-F(a); P(X=a)=F(a)-F(a-0),2. 分布函数的性质:,一、分布函数, 求X的分布函数.,解: (1) 当x0时,= 0,(2)当0 x1时,= P(X=0) = 0.3,(3)当1x时,= P(X=0)+P(X=1) = 1,3. 离散型随机变量X的分布函

2、数,离散型随机变量X的分布函数的性质 (1)分布函数是分段函数, 分段区间是由X的取值点划分成的 左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是x取值区间中新增加点的对应概率值; (4)分布函数是右连续的；,X的分布函数为:,分布函数图形如下:,例2. 设X的分布函数为,求X的概率分布及P(1X3)。,对应概率值为 P 0.4 0.4 0.2,解: X的取值为 X 0 1 2,(5) P(X=xi)=F(xi)-F(xi-0),P(1X3)=P(X3)-P(X1)=F(3)-F(1)=0.2,例3. 设10件产品中恰好有3件次品，现在接连进行

3、不放回抽样, 每次抽一件，直至抽到正品为至。求 抽取次数X的概率分布，X的分布函数, P( X=3.5), P( X-2), P( 1X3), P(1X3),解:(1) X 1 2 3 4 P 7/10 7/30 7/120 1/120,(2)F(x)=,7/10 7/10+7/30 7/10+7/30+7/120,x1 1x2 2x3 3x4 4x,0,1,(3) P(X=3.5)=0 P(X-2)=1-P(X-2) =1-F(-2)=1 或 P(X-2)=P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)+ P(X=4)=1 P(1X3)=P(X=2) =7/30 P(1X3)=F(3)-F(1)

4、 =7/30+7/120,4、连续型随机变量的分布函数,例4. 设随机变量X服从-1,2区间上的均匀分布，求X的分布函数。,解: X,如图:,分析:,F(-2)=,=0,F(1)=,=2/3,F(3)=,=1,所以,(1) x-1时, F(x)=,=0,(2) -1x2时, F(x)=,(3) 2x时, F(x)=,=1,可见: (1) F(x)为从0到1单调递增的连续函数; (2) F(x)为分段函数, 区间划分与f(x)的区间划分相同, 区间 划分点可以属于该点左右的任何一个区间.,X的分布函数为:,分布函数图形如下:,(3)PaXb=PaXb=PaXb=PaXb=F(b)-F(a).,连

5、续型随机变量的分布函数的性质:,(1)F(x)是(-,+)上的连续函数; (2)P(X=x)=F(x)-F(x-0)=0; 由此可得,解:,(1) x0时, F(x)=,=0,(2) x0时, F(x)=,例5. 设随机变量X服从参数为 的指数分布，求X的分布函数。,例6. 设连续型随机变量X的分布函数为,求: (1) A; (2) P(0.3X0.7); (3) X的概率密度f(x),解: (1) F(x)在x=1点连续,由左连续性得:,即:,所以,A=1,(2) P(0.3X0.7)=F(0.7) - F(0.3)=,0.72-0.32=0.4,(3) f(x) =,=,0 x0 2x 0

6、 x1 0 1x,即:,(4) f(x) =,变上限的定积分公式,两种类型的比较:,连续型,1. 概率密度 Xf(x): P(aXb)=,2.,4. PaXb=PaXb =PaXb=PaXb =F(b)-F(a)=,离散型,1. 概率分布: pn = P(X=xn) (n=1,2,.),2. F(x) =,3. P(aa)=1-F(a); P(X=a)=F(a)-F(a-0),4. P(xA)=,5. F(x)有可列个间断点,且右连续,5. F(x)连续, 且f(x)=,P(X=a)=0,P(X=xi)=F(xi)-F(xi-0),课堂练习,1. 设X, 求F(x).,2. 设X, 求(1)P

7、(-2X3/2); (2)F(x).,3. X的分布函数为,求(1) P(X3); (2) P(X2) (3)f(x),4. 已知连续型随机变量X的分布函数为,F(x)=A+Barctanx,求:(1)A, B; (2)X的概率密度 f(x).,5.（934）设Xf(x)，且f(-x)=f(x)，F(x)是X的分布 函数，则对 任意实数a，有( ) F(-a)=1- F(-a)= F(-a)=F(a) F(-a)=2F(a)-1,定义:,若=0,2=1,即,称X服从标准正态分布.,XN(0,1),性质:,f(x),x,0,(1)f(x)以y轴为对称轴;,(2)分布函数为:,(3),x,-x,1

8、. 标准正态分布,思考:对一般正态分布 (3)成立吗?,二、正态分布的分布函数及其计算,计算,(1)x0时,查标准正态分布分布函数表:,(2)若x0,应用,转化为(1)的计算方法.,一般地,若XN(0,1),则 (1)P(X=a)=0; (2)P(Xa)=P(Xa)=P(Xa)=1-(a); (4)P(aXb)=(b)-(a); (5)P(|X|a)=P(-aXa) = (a)-(-a) = (a)-(1-(a) = 2(a)-1,例7. 设XN(0,1),求 P(X-1.96) P(|X|1.96),=1-(-1.96),= 1-(1-(1.96),= 0.975,= 2(1.96)-1,=

9、 0.95,= (1.96),解: P(X-1.96),P(|X|1.96),例8. 设XN(0,1), P(Xa)=0.95154, P(Xb)=0.04947, 求a, b.,解:(a)=0.951541/2, 所以,a0, 反查表得: (1.66)=0.95154, 故a=1.66,而(b)=0.049470,反查表得: (1.65)=0.95053, 即: -b=1.65, 故, b=-1.65,称 随机变量 X服从参数为 ,2的正态分布, 0， 是任意实数，若,正态分布,定义:,性质:,(1),(2) 概率密度图形是以 x=为对称轴的R上的连续函数,f(x),x,0,在 x=点 f(

10、x) 取得最大值;,(3) 若固定,改变,密度曲线随对称轴左右移动,形状保持不变;,若 固定, 改变,越大,曲线越平坦,越小,曲线越陡峭.,大,一般正态分布,X N(,2),2.一般正态分布与标准正态分布的关系,定理 设XN(,2),则YN(0,1).,推论:,若XN(,2), 则,证明:,F(x)=P(Xx)=,YN(0,1),所以, 若XN(,2), 则 P(Xa) = P(aXb)=,例9. 设XN(10,4), 求P(10X13), P(|X-10|2).,解:P(10X13)=,=(1.5)-(0)=,0.4332,P(|X-10|2)=,P(8X12),或,=2(1)-1,=2*0

11、.8413-1=0.6826,例10. 设XN(,2),P(X-1.6)=0.036, P(X5.9)=0.758, 求及.,解: P(X-1.6)=,反查表得:,又P(X5.9)=,反查表得:,联立解方程组得:,=3.8,=3,特别:(0)=0.5 ;(1.28)=0.90 ; (1.64)=0.95 ; (1.96)=0.975 ;(2.33)=0.99 .,例11.（904）某地抽样结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似 服从 正态分布，平均成绩为 72分，96分 以上 的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60 分至84分之间的概率。,解:设X为考生的外语成绩,则,XN(72

12、,2),由题意得:,P(X96)=0.023,=1-(96-72)/=,1-(24/),所以 ,(24/)=1-0.023=0.977,反查表得:,24/=2,故:,=12,所求P(60X84)=,=0.683,(2).设 XN(2,4), Y=a X+bN(0,1), 求a, b.,Y=aX+b=,所以, a = 1/2, b = -1,(1).设XN(,2), P(X-5)=0.045, P(X3)=0.621, 求及.,课堂练习:,=1.76 =4,解:(1),(2),例1 已知XN(3,22),且 PXC=PXC 则C=（ ）。,例2（935）设XN(，42),YN(，52), 记 p1=PX-4，p2=PY+5则( ) 对任意实数，都有p1=p2 对任意实数，都有p1p2,例3（954）设XN(，2),则随的增大，概率P|X-| （ ） 单调增大 单调减少 保持不变 增减不定,图示,3,练习,图示:,f(x),x,0,P(X),P(X),例4.(881)设 X N(10，0.0004),(2.5) = 0.9938，则 X 落在区间（9.95，10.05）内的概率为( ). 例5(911)