1.4角平分线的性质

1、第1章 直角三角形 1.4 角平分线的性质 第1课时 角平分线的性质（1） 湘教版八年级数学下册,益阳市赫山万源学校 姚芳,1.点到直线距离:,从直线外一点,到这条直线的垂线段,的长度，,叫做点到直线的距离。,如图，线段PO的长度叫点P到直线AB的距离。,2.角平分线的定义：,从角的顶点出发引出的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。,如图，射线OCAOB的平分线。,如图，在纸上画一个角AOB， （1）用折叠法画出AOB的平分线； （2）在AOB的平分线OC上任取一点P，过点P作PDOA, PEOB，垂足分别为点D,E，试问PD与PE相等吗？,将AOB沿OC对折，PD与

2、PE会重合，即PD=PE,你能证明吗？,证明： PDOA，PEOB PDO=PEO=90,在PDO和PEO中, PD=PE, PDO PEO（AAS）,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,由此得到角平分线的性质定理：,角平分线上的点到角的两边的距离相等.,用符号语言表示为：,1= 2 PD OA ， PE OB PD=PE.,角平分线的性质定理,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。,定理的作用：,证明线段相等,如图，点P在AOB的内部，作PDOA，PEOB，垂足分别为点D，E，若PD=PE.那么点P在AOB的平分线上吗？,分析： 只要画射线OP，证明OP平分 AOB即可。,角的

3、内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？,证明：过点O,P作射线OC. PDOA，PEOB PDO=PEO=90,在PDO和PEO中, OC是AOB的平分线，, Rt PDORt PEO（HL）,AOC=BOC,即点PAOB的平分线OC上。,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.,由此得到角平分线的性质定理的逆定理：,用几何语言表示为：,PD=PE PD OA ， PE OB 1= 2. 即点PAOB的平分线OC上。,角平分线的性质定理的逆定理,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.,定理的作用：,证明点的位置,判

4、定 定 理,性质定理 角的平分线上的点到这个角的两 边的距离相等。,判定定理 角的内部到角的两边距离相等的点 在角的平分线上。,如图，PDOA，PEOB,点P在AOB的 平分线上,PD=PE,例1 如图， BAD=BCD=900 ，1=2 （1）求证:点B在ADC的平分线上； （2）求证:BD是ABC的平分线。,思考：AC被BD垂直平分吗？,举 例,证明(1)在ABC中， 1=2 BA=BC. 又BAAD, BCCD, 点B在ADC的平分线上.,(2)在RtBAD和RtBCD中， BA=BC，BD=BD; RtBADRtBCD(HL) ABD=CBD. BD是ABC的平分线.,1.如图，在直线

5、MN上求作一点P，使P点到AOB两边的距离相等,O,A,B,M,N,2. 如图,在ABC中，AD平分BAC，DEAB，DFAC， 垂足分别是E,F,BD=CD. 求证:AB=AC.,1.如左下图, DEAB, DFBC, 垂足分别是E，F，DE =DF, EDB= 60, 则EBF= 度，BE= 。,60,BF,随堂练习,2.如图, ABC中, C=90, DEAB, 1=2, 且AC=6cm, 那么线段BE是ABC的 ，AE+DE= .,角平分线,6cm,驶向胜利的彼岸,3.如图,AD,AE分别是ABC中A的内角平分线外角平分线,它们有什么关系?,老师期望: 你能说出结论并能证明它.,4.如图：在RtABC中，C=900，BD平分ABC，BD=5，BC=4，则点D到AB的距离是_.,3,5.在V型公路（AOB）内部，有两个村庄C、D。你能选择一个纺织厂的厂址P，使P到V型公路的距离相等，且使C、D两村的工人上