高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.4 直线、平面垂直的判定与性质课件 文 苏教版

1、8.4直线、平面垂直的判定与性质,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面内的 直线都垂直，则直线l与平面垂直. (2)判定定理与性质定理,知识梳理,相交,a，b,abo,la,lb,任意一条,平行,a,b,2.平面与平面垂直 (1)平面和平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直. (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理,直二面角,垂线,交线,重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直

2、线(证明线线垂直的一个重要方法). (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.() (2)垂直于同一个平面的两平面平行.() (3)直线a，b，则ab.() (4)若，aa.() (5)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直.(),考点自测,1.(教材改编)下列命题中正确的是_. 如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面； 如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面； 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面；

3、 如果平面平面，平面平面，l，那么l.,答案,解析,根据面面垂直的性质，知不正确，直线l可能平行平面，也可能在平面内，正确.,2.设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的_条件.,答案,解析,充分不必要,若，因为m，b，bm， 所以根据两个平面垂直的性质定理可得b， 又a，所以ab； 反过来，当am时，因为bm， 且a，m共面，一定有ba， 但不能保证b，所以不能推出.,3.(2016连云港模拟)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是_. 若，m，n，则mn； 若，m，n，则mn； 若mn，m，n，则； 若m，mn，n，则.,

4、答案,解析,中，m与n可垂直、可异面、可平行； 中，m与n可平行、可异面； 中，若，仍然满足mn，m，n，故错误； 中，m，mn，n，又n，存在l，ln，l，.,4.(2016徐州模拟)、是两个不同的平面，m、n是平面及平面之外的两条不同的直线，给出四个论断：mn；n；m，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.,答案,可填与中的一个,5.(教材改编)在三棱锥pabc中，点p在平面abc中的射影为点o. (1)若papbpc，则点o是abc的_心.,答案,解析,外,如图1，连结oa，ob，oc，op， 在rtpoa、rtpob和rtpoc中，papcpb，

5、 所以oaoboc， 即o为abc的外心.,(2)若papb，pbpc，pcpa，则点o是abc的_心.,垂,答案,解析,如图2，延长ao，bo，co，分别交bc，ac，ab于h，d，g. pcpa，pbpc，papbp， pc平面pab，ab平面pab，pcab， 又abpo，popcp，ab平面pgc， 又cg平面pgc， abcg，即cg为abc边ab的高. 同理可证bd，ah为abc底边上的高， 即o为abc的垂心.,题型分类深度剖析,题型一直线与平面垂直的判定与性质 例1如图，菱形abcd的对角线ac与bd交于点o，ab5，ac6，点e，f分别在ad，cd上，aecf ，ef交bd于

6、点h.将def沿ef折到def的位置.od . 证明：dh平面abcd.,证明,由已知得acbd，adcd.,又由aecf得 ，故acef.,因此efhd，从而efdh.,由ab5，ac6得dobo 4.,由efac得 .,所以oh1，dhdh3. 于是dh2oh2321210do2，故dhoh. 又dhef，而ohefh，且oh，ef平面abcd， 所以dh平面abcd.,证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂

7、直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.,思维升华,跟踪训练1(2015江苏)如图，在直三棱柱abc-a1b1c1中，已知acbc，bccc1.设ab1的中点为d，b1cbc1e. 求证：(1)de平面aa1c1c；,证明,由题意知，e为b1c的中点， 又d为ab1的中点，因此deac. 又因为de平面aa1c1c，ac平面aa1c1c， 所以de平面aa1c1c.,(2)bc1ab1.,证明,因为棱柱abc-a1b1c1是直三棱柱，所以cc1平面abc. 因为ac平面abc，所以accc1. 又因为acbc，cc1平面bcc1b1， bc平面bcc1b1，bcc

8、c1c， 所以ac平面bcc1b1. 又因为bc1平面bcc1b1，所以bc1ac. 因为bccc1，所以矩形bcc1b1是正方形，因此bc1b1c. 因为ac，b1c平面b1ac，acb1cc，所以bc1平面b1ac. 又因为ab1平面b1ac，所以bc1ab1.,题型二平面与平面垂直的判定与性质 例2如图，四棱锥pabcd中，abac，abpa，abcd，ab2cd，e，f，g，m，n分别为pb，ab，bc，pd，pc的中点. (1)求证：ce平面pad；,证明,方法一取pa的中点h，连结eh，dh. 又e为pb的中点，,所以eh綊 ab.,又cd綊 ab，,所以eh綊cd. 所以四边形d

9、ceh是平行四边形，所以cedh. 又dh平面pad，ce平面pad. 所以ce平面pad.,方法二连结cf. 因为f为ab的中点，,所以af ab.,又cd ab，,所以afcd. 又afcd，所以四边形afcd为平行四边形. 因此cfad，又cf平面pad，ad平面pad， 所以cf平面pad.,因为e，f分别为pb，ab的中点，所以efpa. 又ef平面pad，pa平面pad， 所以ef平面pad. 因为cfeff，故平面cef平面pad. 又ce平面cef，所以ce平面pad.,(2)求证：平面efg平面emn.,证明,因为e、f分别为pb、ab的中点，所以efpa. 又因为abpa，

10、 所以efab，同理可证abfg. 又因为effgf，ef平面efg，fg平面efg. 所以ab平面efg. 又因为m，n分别为pd，pc的中点， 所以mncd，又abcd，所以mnab， 所以mn平面efg. 又因为mn平面emn，所以平面efg平面emn.,引申探究 1.在本例条件下，证明：平面emn平面pac.,证明,因为abpa，abac， 且paaca，pa平面pac，ac平面pac， 所以ab平面pac. 又mncd，cdab，所以mnab， 所以mn平面pac. 又mn平面emn， 所以平面emn平面pac.,2.在本例条件下，证明：平面efg平面pac.,证明,因为e，f，g分

11、别为pb，ab，bc的中点， 所以efpa，fgac， 又ef平面pac，pa平面pac， 所以ef平面pac. 同理，fg平面pac. 又effgf， 所以平面efg平面pac.,(1)判定面面垂直的方法 面面垂直的定义； 面面垂直的判定定理(a，a). (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化. 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.,思维升华,跟踪训练2(2016江苏)如图，在直三棱柱abc-a1b1c1中，d，e分别为ab，bc的中点，点f在侧棱b1b上，且b1da1f，a1c1a1b1. 求证：(1)直线de平面a1c1f；,证明,由已知，de为

12、abc的中位线， deac，又由三棱柱的性质可得aca1c1， dea1c1， 又de平面a1c1f，a1c1平面a1c1f， de平面a1c1f.,(2)平面b1de平面a1c1f.,证明,在直三棱柱abc-a1b1c1中，aa1平面a1b1c1， aa1a1c1， 又a1b1a1c1， 且a1b1aa1a1，a1b1，aa1平面abb1a1， a1c1平面abb1a1， b1d平面abb1a1，a1c1b1d， 又a1fb1d， 且a1fa1c1a1，a1f，a1c1平面a1c1f， b1d平面a1c1f， 又b1d平面b1de，平面b1de平面a1c1f.,题型三直线、平面垂直的综合应用

13、 例3如图所示，在四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，abdc，pad是等边三角形，已知bd2ad8，ab2dc (1)设m是pc上的一点，求证：平面mbd平面pad；,证明,在abd中，ad4，bd8，ab ad2bd2ab2，adbd. 又平面pad平面abcd， 平面pad平面abcdad，bd平面abcd， bd平面pad. 又bd平面mbd， 平面mbd平面pad.,(2)求四棱锥pabcd的体积.,解答,过p作poad，平面pad平面abcd，po平面abcd， 即po为四棱锥pabcd的高. 又pad是边长为4的等边三角形，po 在四边形abcd中，abdc，ab2dc，

14、 四边形abcd为梯形. 在rtadb中，斜边ab边上的高为 此即为梯形的高.,垂直关系综合题的类型及解法 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. (3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.,思维升华,跟踪训练3如图，平面pac平面abc，acbc，pecb，m是ae的中点. (1)若n是pa的中点，求证：平面cmn平面pac；,因为平面pac平面abc， 且平面pac平面abcac，acbc，bc平面abc， 所以bc平面pac，又m，n分

15、别为ae，ap的中点，所以mnpe， 又pecb，所以mnbc，即mn平面pac， 又mn平面cmn，所以平面cmn平面pac.,证明,(2)若mn平面abc，求证：n是pa的中点.,因为pecb，bc平面abc，pe平面abc， 所以pe平面abc， 设平面pae平面abcl，则pel. 又mn平面abc，mn平面pae，所以mnl. 所以mnpe， 因为m是ae的中点，所以n是pa的中点.,证明,典例(14分)如图所示，m，n，k分别是正方体abcda1b1c1d1的棱ab，cd，c1d1的中点. 求证：(1)an平面a1mk； (2)平面a1b1c平面a1mk.,立体几何证明问题中的转化

16、思想,思想方法系列17,规范解答,思想方法指导,(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理； (2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等； (3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.,返回,证明(1)如图所示，连结nk. 在正方体abcda1b1c1d1中， 四边形aa1d1d，dd1c1c都为正方形， aa1dd1，aa1dd1， c1d1cd，c1d1cd.2分 n，k分别为cd

17、，c1d1的中点， dnd1k，dnd1k，,四边形dd1kn为平行四边形，3分 kndd1，kndd1， aa1kn，aa1kn， 四边形aa1kn为平行四边形， ana1k.4分 a1k平面a1mk，an平面a1mk， an平面a1mk.6分,(2)如图所示，连结bc1. 在正方体abcda1b1c1d1中， abc1d1，abc1d1. m，k分别为ab，c1d1的中点， bmc1k，bmc1k， 四边形bc1km为平行四边形， mkbc1.8分 在正方体abcda1b1c1d1中， a1b1平面bb1c1c，bc1平面bb1c1c，a1b1bc1.,mkbc1，a1b1mk. 四边形b

18、b1c1c为正方形，bc1b1c. mkb1c.12分 a1b1平面a1b1c， b1c平面a1b1c，a1b1b1cb1， mk平面a1b1c. 又mk平面a1mk， 平面a1b1c平面a1mk.14分,返回,课时作业,1.(2016扬州模拟)给出下列四个命题： 垂直于同一平面的两条直线相互平行； 垂直于同一平面的两个平面相互平行； 若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面. 其中真命题的个数是_.,由直线与平面垂直的性质，可知正确； 正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面，而不平行，故错； 由直线与平

19、面垂直的定义知正确，而错.,2,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016常州模拟)设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是_. 若mn，n，则m； 若m，则m； 若m，n，n，则m； 若mn，n，则m.,答案,解析,中，由mn, n，可得m或m或m与相交，错误； 中，由m，可得m或m或m与相交，错误； 中，由m，n，可得mn，又n，则m，正确； 中，由mn，n，可得m与相交或m或m，错误.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016无锡模拟)如图，在斜三棱柱abca1b1c1中，bac90，b

20、c1ac，则c1在底面abc上的射影h必在直线_上.,答案,解析,ab,由acab，acbc1，ac平面abc1. 又ac平面abc，平面abc1平面abc. c1在平面abc上的射影h必在两平面交线ab上.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.如图，三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1垂直底面a1b1c1，底面三角形a1b1c1是正三角形，e是bc中点，则下列叙述正确的是_. cc1与b1e是异面直线； ac平面abb1a1； ae与b1c1是异面直线，且aeb1c1； a1c1平面ab1e.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1

21、3,不正确，因为cc1与b1e在同一个侧面中，故不是异面直线； 不正确，由题意知，上底面abc是一个正三角形，故不可能存在ac平面abb1a1； 正确，因为ae，b1c1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线； 不正确，因为a1c1所在的平面与平面ab1e相交，且a1c1与交线有公共点，故a1c1平面ab1e不正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.正方体abcdabcd中，e为ac的中点，则与直线ce垂直的有_. ac bdad aa,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,连结bd， bdac，bdcc， 且a

22、cccc， bd平面cce. 而ce平面cce，bdce. 又bdbd，bdce.,6.如图所示，直线pa垂直于o所在的平面，abc内接于o，且ab为o的直径，点m为线段pb的中点.现有结论：bcpc；om平面apc；点b到平面pac的距离等于线段bc的长.其中正确的是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,对于，pa平面abc，pabc， ab为o的直径， bcac，bc平面pac， 又pc平面pac，bcpc； 对于，点m为线段pb的中点，ompa， pa平面pac，om平面pac， om平面pac； 对于，由知bc平面pac， 线段bc的长即是点b到

23、平面pac的距离，故都正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2016镇江模拟)已知a、b、l表示三条不同的直线，、表示三个不同的平面，有下列四个命题： 若a，b，且ab，则； 若a、b相交，且都在、外，a，a，b，b，则； 若，a，b，ab，则b； 若a，b，la，lb，则l. 其中正确命题的序号是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,在三棱柱中，三条侧棱互相平行，但三个侧面所在平面两两相交，故错误； 因为a、b相交，假设其确定的平面为，根据a，b，可得，同理可得，因此，正确； 由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直

24、线和另一个平面垂直，易知正确； 当且仅当a、b相交时结论正确，错误.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.如图所示，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，且底面各边都相等，m是pc上的一动点，当点m满足_时，平面mbd平面pcd.(只要填写一个你认为是正确的条件即可),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,dmpc(或bmpc等),由定理可知，bdpc. 当dmpc(或bmpc)时， 即有pc平面mbd， 而pc平面pcd， 平面mbd平面pcd.,9.如图，pa圆o所在的平面，ab是圆o的直径，c是圆o上的一点，e，f分别是点a

25、在pb，pc上的射影，给出下列结论： afpb；efpb；afbc；ae平面pbc. 其中正确结论的序号是_.,答案,解析,由题意知pa平面abc，pabc. bc平面pac，bcaf. af平面pbc，afpb，又aepb，aeafa， pb平面aef，pbef.,又acbc，且paaca，,afpc，且bcpcc，,故正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.已知，是三个不同的平面，命题“，且”是真命题，如果把，中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有_个.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,

26、2,若，换为直线a，b，则命题化为“ab， 且ab”，此命题为真命题； 若，换为直线a，b，则命题化为“a， 且abb”，此命题为假命题； 若，换为直线a，b，则命题化为“a， 且bab”，此命题为真命题.,11.(2016连云港模拟)如图，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，ab ，af1，m是线段ef的中点. (1)求证：am平面bde；,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,连结bd，bdaco，连结eo. o，m分别为ac，ef的中点， 且四边形acef为矩形， emoa，emoa， 四边形eoam为平行四边形， ameo， eo平面bde，am平面bde， am平面bde.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)求证：dm平面bef.,证明,由ab ，af1，得dfde . m是线段ef的中点，dmef， 连结bm，得bmdm ，又bd2，dmbm， 又bmefm，dm平面bef.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.(2016北京)如图，在四棱锥pabcd中