高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.3 空间图形的基本关系与公理课件 理 北师大版

1、8.3空间图形的基本关系与公理,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.四个公理 公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内). 公理2：经过 的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面). 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 通过这个点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线 .,知识梳理,两点,不在一条直线上,有且只有一条,平行,定义：过空间任意一点p分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(al1，bl2)，这两条相交直线所成的 叫作异面直线a，b所成的角(或夹角). 范围

2、： .,2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类,共面直线,直线,直线,异面直线：不同在 一个平面内，没有公共点,相交,平行,任何,(2)异面直线所成的角,锐角(或直角),3.直线与平面的位置关系有 、 、_ 三种情况. 4.平面与平面的位置关系有 、 两种情况. 5.等角定理 空间中，如果两个角的 ，那么这两个角相等或互补.,两边分别对应平行,平行,相交,直线在平面内,直线与平面相交,直线与,平面平行,1.唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)过平面外

3、一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 2.异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.() (2)两个平面，有一个公共点a，就说，相交于过a点的任意一条直线.() (3)两个平面abc与dbc相交于线段bc.() (4)经过两条相交直线，有且只有一个平面.() (5)没有公共点的两条直线是异面直线.(),1.下列命题正确的个数为 梯形可以确定一个平面； 若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； 两两相交的三条直线最多可以确定三

4、个平面； 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. a.0 b.1 c.2 d.3,考点自测,答案,解析,中两直线可以平行、相交或异面，中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，正确.,2.(2016浙江)已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足m，n，则 a.ml b.mn c.nl d.mn,答案,解析,由已知，l，l，又n，nl，c正确.,3.(2016合肥质检)已知l，m，n为不同的直线，为不同的平面，则下列判断正确的是 a.若m，n，则mn b.若m，n，则mn c.若l，m，m，则ml d.若m，n，lm，ln，则l,答案,解析,m，n可能的位置关系为平行，相交，异面，

5、故a错误； 根据面面垂直与线面平行的性质可知b错误； 根据线面平行的性质可知c正确； 若mn，根据线面垂直的判定可知d错误，故选c.,4.(教材改编)如图所示，已知在长方体abcdefgh中，ab2 ，ad2 ，ae2，则bc和eg所成角的大小是_，ae和bg所成角的大小是_.,答案,解析,45,60,bc与eg所成的角等于eg与fg所成的角即egf， tanegf 1，,egf45，,5.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且abcd，则直线ef与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_.,答案,解析,4,ef与正方体左、右两侧面均平行.所以与ef相交的侧面有4个.,题型分类深

6、度剖析,题型一平面基本性质的应用,例1(1)(2016山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的 a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件,答案,解析,若直线a和直线b相交，则平面和平面相交；若平面和平面相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选a.,(2)已知空间四边形abcd(如图所示)，e、f分别是ab、ad的中点，g、h分别是bc、cd上的点，且cg bc，ch dc.求证： e、f、g、h四点共面；,证明,连接ef、gh，如图所示， e、f分别是ab、ad的中点， efbd. 又cg bc

7、，ch dc， ghbd，efgh， e、f、g、h四点共面.,几何画板展示,三直线fh、eg、ac共点.,证明,易知fh与直线ac不平行，但共面， 设fhacm， m平面efhg，m平面abc. 又平面efhg平面abceg， meg，fh、eg、ac共点.,思维升华,共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合. (2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上. (

8、3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.,跟踪训练1如图，平面abef平面abcd，四边形abef与四边形abcd都是直角梯形，badfab90，bcad且bc ad，beaf且be af，g、h分别为fa、fd的中点. (1)证明：四边形bchg是平行四边形；,证明,由已知fgga，fhhd，,四边形bchg为平行四边形.,(2)c、d、f、e四点是否共面？为什么？,解答,四边形befg为平行四边形，efbg.,efch，ef与ch共面. 又dfh，c、d、f、e四点共面.,题型二判断空间两直线的位置关系,例2(1)(2015广东)若直线l1和l2是异

9、面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是 a.l与l1，l2都不相交 b.l与l1，l2都相交 c.l至多与l1，l2中的一条相交 d.l至少与l1，l2中的一条相交,答案,解析,若l与l1，l2都不相交，则ll1，ll2，l1l2，这与l1和l2异面矛盾， l至少与l1，l2中的一条相交.,(2)如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是bc1，cd1的中点，则下列判断错误的是 a.mn与cc1垂直 b.mn与ac垂直 c.mn与bd平行 d.mn与a1b1平行,答案,解析,几何画板展示,连接b1c，b1d1，如图所示， 则点m是b1c的中点，

10、mn是b1cd1的中位线，mnb1d1， 又bdb1d1，mnbd. cc1b1d1，acb1d1， mncc1，mnac. 又a1b1与b1d1相交， mn与a1b1不平行，故选d.,(3)在图中，g、n、m、h分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线gh、mn是异面直线的图形有_.(填上所有正确答案的序号),答案,解析,图中，直线ghmn； 图中，g、h、n三点共面，但m面ghn， 因此直线gh与mn异面； 图中，连接mg，gmhn，因此gh与mn共面； 图中，g、m、n共面，但h面gmn， 因此gh与mn异面. 所以图中gh与mn异面.,思维升华,空间中

11、两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决.,跟踪训练2(1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有下列结论：若ab，ac，则bc；若ab，ac，则bc；若ab，bc，则ac.其中正确的个数为 a.0 b.1 c.2 d.3,答案,解析,在空间中，若ab，ac，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以错，显然成立.,(2)(2016南昌一模)已知a、b、c是相异直线，、是相异平面，则下列命题中正确的是 a.a与b异面，

12、b与c异面a与c异面 b.a与b相交，b与c相交a与c相交 c.， d.a，b，与相交a与b相交,答案,解析,如图(1)，在正方体中，a、b、c是三条棱所在直线，满足a与b异面，b与c异面，但aca，故a错误； 在图(2)的正方体中，满足a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故b错误；如图(3)，c，ac，则a与b不相交，故d错误.,题型三求两条异面直线所成的角,例3(2016重庆模拟)如图，四边形abcd和adpq均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线ap与bd所成的角为_.,答案,解析,如图，将原图补成正方体abcdqghp，连接gp，则gpbd，所以apg为异面直线ap与bd所

13、成的角， 在agp中，aggpap， 所以apg .,引申探究,在本例条件下，若e，f，m分别是ab，bc，pq的中点，异面直线em与af所成的角为，求cos 的值.,解答,设n为bf的中点，连接en，mn，则men是异面直线em与af所成的角或其补角. 不妨设正方形abcd和adpq的边长为4，,在men中，由余弦定理得,思维升华,用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.,跟

14、踪训练3已知正四面体abcd中，e是ab的中点，则异面直线ce与bd所成角的余弦值为,答案,解析,画出正四面体abcd的直观图，如图所示. 设其棱长为2，取ad的中点f， 连接ef， 设ef的中点为o，连接co， 则efbd， 则fec就是异面直线ce与bd所成的角. abc为等边三角形， 则ceab，,故cecf. 因为oeof，所以coef.,典例已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题： 若m，n，mn，则； 若m，n，mn，则； 若m，n，mn，则； 若m，n，则mn. 其中所有正确的命题是_.,构造模型判断空间线面位置关系,思想与方法系列16,答案,解析,思想方法

15、指导,本题可通过构造模型法完成，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误.对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.,返回,借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面、互相垂直，如图(1)所示，故正确； 对于，平面、可能垂直，如图(2)所示，故不正确； 对于，平面、可能垂直，如图(3)所示，故不正确； 对于，由m，可得m，因为n，所以过n作平面，且g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为mg，所以mn，故正确.,返回,课时作业,1.设a，b是两条不同的直线，

16、是两个不同的平面，a，b，则“”是“ab”的 a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,若a，b，则由，bb， 又a，所以ab；若ab，a，b， 则b或b或b，此时或与相交， 所以“”是“ab”的充分不必要条件，故选a.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016福州质检)在三棱柱abca1b1c1中，e、f分别为棱aa1、cc1的中点，则在空间中与直线a1b1、ef、bc都相交的直线 a.不存在 b.有且只有两条 c.有且只有三条 d.有无数条,答案,

17、解析,在ef上任意取一点m，直线a1b1与m确定一个平面，这个平面与bc有且仅有1个交点n，当m的位置不同时确定不同的平面， 从而与bc有不同的交点n，而直线mn与a1b1、ef、 bc分别有交点p、m、n，如图，故有无数条直线与 直线a1b1、ef、bc都相交.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l a.平行 b.相交 c.垂直 d.互为异面直线,答案,解析,不论l，l，还是l与相交，内都有直线m使得ml.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.在四面体abcd的棱ab，bc，cd，da

18、上分别取e，f，g，h四点，如果ef与hg交于点m，则 a.m一定在直线ac上 b.m一定在直线bd上 c.m可能在ac上，也可能在bd上 d.m既不在ac上，也不在bd上,答案,解析,由于efhgm，且ef平面abc，hg平面acd，所以点m为平面abc与平面acd的一个公共点，而这两个平面的交线为ac，所以点m一定在直线ac上，故选a.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.四棱锥pabcd的所有侧棱长都为 ，底面abcd是边长为2的正方形，则cd与pa所成角的余弦值为,答案,解析,因为四边形abcd为正方形，故cdab，则cd与pa所成的角即为ab与pa所成的角

19、，即为pab.,利用余弦定理可知,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.下列命题中，正确的是 a.若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异 面直线 b.若a，b是两条直线，且ab，则直线a平行于经过直线b的所有平面 c.若直线a与平面不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行 d.若直线a平面，点p，则平面内经过点p且与直线a平行的直 线有且只有一条,答案,解析,对于a，当，a，b分别为第三个平面与，的交线时，由面面平行的性质可知ab，故a错误. 对于b，设a，b确定的平面为，显然a，故b错误.

20、 对于c，当a时，直线a与平面内的无数条直线都平行，故c错误.易知d正确.故选d.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2016南昌高三期末)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，底面为直角三角形.acb90，ac6，bccc1 ，p是bc1上一动点，则cppa1的最小值为_.,答案,解析,连接a1b，将a1bc1与cbc1同时展平形成一个平面四边形a1bcc1，则此时对角线cppa1a1c达到最小，在等腰直角三角形bcc1中，bc12，cc1b45，在a1bc1中，a1b 2 ，a1c16，bc12，,

21、a1c bc a1b2，即a1c1b90.,对于展开形成的四边形a1bcc1，在a1c1c中，c1c ，a1c16，a1c1c135，由余弦定理有，cppa1a1c 5 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，g、h、m、n分别为de、be、ef、ec的中点，在这个正四面体中， gh与ef平行； bd与mn为异面直线； gh与mn成60角； de与mn垂直. 以上四个命题中，正确命题的序号是_.,答案,解析,把正四面体的平面展开图还原，如图所示，gh与ef为异

22、面直线，bd与mn为异面直线，gh与mn成60角，demn.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.(2015浙江)如图，三棱锥a-bcd中，abacbdcd3，adbc2，点m，n分别是ad，bc的 中点，则异面直线an，cm所成的角的余弦值是_.,答案,解析,如图所示，连接dn，取线段dn的中点k，连接mk，ck. m为ad的中点， mkan， kmc为异面直线an，cm所成的角. abacbdcd3，adbc2， n为bc的中点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,在ckm中，

23、由余弦定理，得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.(2016郑州质检)如图，矩形abcd中，ab2ad，e为边ab的中点，将ade沿直线de翻折成a1de.若m为线段a1c的中点，则在ade翻折过程中，下面四个命题中不正确的是_.,答案,解析,bm是定值； 点m在某个球面上运动； 存在某个位置，使dea1c； 存在某个位置，使mb平面a1de.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,取dc中点f，连接mf，bf，mfa1d且mf a1d，fbed且fbed，所以mfba1de.由余弦定理可得mb2mf2fb22mffbcosmfb是定值，所以m是在以b为圆心，mb为半径的球上，可得正确； 由mfa1d与fbed可得平面mbf平面a1de，可得正确； a1c在平面abcd中的投影与ac重合，ac与de 不垂直，可得不正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.如图，在正方体abcda1b1c1d1中，o为正方形abcd的中心，h为直线b1d与平面acd1的交点.求证：d1、h、o三点共线.,解答,如图，连接bd，b1d1， 则bdaco， bb1綊dd1， 四边形bb1d1d为平行四边形，又h