《抛物线的简单几何性质》第一课时.ppt

1、2020/7/27,基础回顾,1.定义:,2.标准方程:,在平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 其中定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线.,y2=2px (p0),y2=-2px (p0),x2=-2py (p0),x2=2py (p0),四种形式,抛物线,焦点,准线,基础回顾,x,y,o,M,F,L,焦半径:,焦点弦:,N,|MN|=p+(x1+x2),(x1,y1),(x2,y2),y2=2px (p0),3.相关概念:,1.定义,2.标准方程,基础回顾,通 径:,|AB|=2p,x,y,o,M,F,L,N,焦半径:,焦点弦:,|MN|=p+(x1+x2)

2、,y2=2px (p0),3.相关概念:,1.定义,2.标准方程,思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？,2020/7/27,抛物线y2=2px (p0),探索新知,(1)范 围: (2)对称性: (3)顶 点: (4)离心率:,x0(yR),关于X轴对称,(0,0),M,N,观察与探索,2020/7/27,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,x0 yR,x0 yR,y0 xR,y 0 xR,(0,0),x轴,y轴,1,特点,1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;,2.抛物线只有一条

3、对称轴,没有对称中心;,3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;,4.抛物线的离心率是确定的,为1;,5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.,P越大,开口越开阔,例1.已知一抛物线关于X轴对称,它的顶点在原点,且经过点M(2,-2 2),求它的标准方程并用描点法作图.,例题分析,解:依题意,可设抛物线的 标准方程为y2=2px(p0),因为点M在抛物线上, 所以 8=4p, 即 p=2,故所求方程为 y2=4x,2020/7/27,变式: 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点 M(2, )的抛物线有几条,求它的标准方程.,典型例题：,例1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,

4、并且过点M(2, ),求它的标准方程.,当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0),可避免讨论,解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1,解法二:由题意可知,分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷,变式： 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m， 交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切,练习: 1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是_. 2.过抛物线 的焦点,作倾斜角为 的直线,则被抛物线截得的弦长为_ 3.垂直于x轴

5、的直线交抛物线y2=4x于A、B,且|AB|=4 ,求直线AB的方程.,y2 = 8x,X=3,2020/7/27,例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.,x,O,y,F,A,B,D,2020/7/27,例3 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。,x,y,O,F,A,B,D,实际应用,2米,下图是一座抛物线形拱桥，此时水面宽4米，拱顶离水面2米，问:水下降1米后水面宽多少？,x,y,o,-2,2,(2,-2),4

6、 米,?,x2=-2py (p0),-3,A,B,答案: 米,2020/7/27,小结:,1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径; 2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;,2020/7/27,关于x 轴 对称，无 对称中心,关于x 轴 对称，无 对称中心,关于y 轴 对称，无 对称中心,关于y 轴 对称，无 对称中心,e=1,e=1,e=1,e=1,分析:直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形：一种是直线平行于抛物线的对称轴； 另一种是直线与抛物线相切,判断直线与抛物线位置关系的操作程序,把直线方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元

7、二次方程,直线与抛物线的 对称轴平行,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,分析: 直线与抛物线有两个公共点时0,分析: 直线与抛物线没有公共点时0,注:在方程中,二次项系数含有k,所以要对k进行讨论 作图要点:画出直线与抛物线只有一个公共点时的情形,观察直线绕点P转动的情形,变式一:已知抛物线方程y2=4x,当b为何值时,直线l:y=x+b与抛物线(1)只有一个公共点(2)两个公共点(3)没有公共点.当直线与抛物线有公共点时,b的最大值是多少?,分析:本题与例1类型相似,方法一样,通过联立方程组求得. (1)b=1 (2)b1,当直线与抛物线有公共点时,b的最大值当直线与抛物线相切时取得.其

8、值为1,2020/7/27,变式二:已知实数x、y满足方程y2=4x,求函数 的最值,变式三:点(x,y)在抛物线y2=4x上运动,求函数z=x-y的最值.,本题转化为过定点(-2,1)的直线与抛物线有公共点时斜率的最值问题.,本题转化为直线y=x-z与抛物线有公共点时z的最值问题.,无最大值,2020/7/27,x,y,解：因为直线AB过定点F且不与x轴平 行,设直线AB的方程为,x,y,x,y,抛物线的焦点弦的特征,1、已知AB是抛物线y22px的任意一条焦点弦，且A（x1，y1）、B（x2，y2）,1）求证：y1y2P2，x1x2p2/4。,2）设为直线AB的倾斜角，求证：当90o时，取

9、得AB的最小值2p。,3）若弦AB过焦点，以AB为直径的圆与准线相切。,例2、已知直线l：x=2p与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点，求证：OAOB.,证明：由题意得，(2p,2p), B(2p,-2p)所以 =1， =-1 因此OAOB,推广1 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点，求证：OAOB.,证明：设l 的方程为y=k(x-2p) 或x=2p,直线l过定点(2p,0),推广2： 若直线l与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点，且OAOB ，则_,验证：由 得 所以直线l的方程为 即 而因为OAOB ，可知 推出 ，代入 得到直线l 的方程为 所

10、以直线过定点（2p,0).,高考链接：过定点Q（2p,0)的直线与y2 = 2px（p0）交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H(H为圆心），试证明抛物线顶点在圆H上。,1.顶点在原点,焦点为F(0,5)的抛物线方程为_. 2.顶点在原点,对称轴为X轴,且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程为_. 3.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线交该抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2),若x1+x2=6,则|AB|=_.,强化训练,X2=20y,8,答案:,1,2,3,2020/7/27,4.抛物线2x+3y2=0的准线方程为( ) A. x= B. y= C. x= D. y=,5.抛物线y2= x关于直线x-y=0对称的抛物线的焦点坐标是 ( ) A. (1,0) B. (0,1) C. ( ,0) D. (0, ),6. 过点(0,1)作直线, 使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有( )条 A 1 B 2 C 3 D 4,强化训练,C,C,D,答案:,4,5,