第七章相关与回归分析.ppt

1、第八章 相关与回归分析,第三节 非线性回归分析,第二节 简单线性回归分析,第一节 相关关系分析,父代与子代之间的关系,高尔顿被誉为现代回归和相关技术的创始人。1875年他利用豌豆实验来确定尺寸的遗传的规律，他挑选了7组不同尺寸的豌豆，并说服了他在英国不同地区的朋友每一组种植10粒种子，最后把原始的豌豆种子（父代）与新长的豌豆种子（子代）进行尺寸比较。 当结果被绘制出来之后，他发现了并非每一个子代都与父代一样，不同的是尺寸小的豌豆得到了更大的子代，而尺寸大的豌豆得到了较小的子代，他把这一现象称为“返祖”（趋向于祖先的某种平均类型）后来又称之为“向平均回归”。一个总体个在某一时期具有某种极端特征(

2、低于或高于平均值）的个体在未来某一 个时期将减弱它的极端性，这一趋势称为回归效应。,学习目标,理解相关关系的含义 掌握相关分析的方法 掌握一元线性回归分析与预测,第一节 相关分析,第八章 相关与回归分析 第一节 相关分析,相关关系的描述与测定,变量相关的概念,一、变量相关的概念,第八章 相关与回归分析 第一节 相关分析,变量间的关系（函数关系）,定义：当一个或几个变量取一定的值 另一个变量有确定的值与之对应 特点：是一一对应的确定关系 设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数

3、，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量 各观测点落在一条线上,第八章 相关与回归分析 第一节 相关分析,变量间的关系（函数关系）, 函数关系的例子,第八章 相关与回归分析 第一节 相关分析,企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位产量消耗(x2) 、 原材料价格(x3)之间的关系可表示为y = x1 x2 x3,圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S = R2,某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可 表示为 y = p x (p 为单价),变量间的关系（相关关系）,定义：当一个或几个变量取一定的值 ，另一个变量的值虽然不固定但仍按某种规律在一定的范围

4、内变化 特点：变量间关系不能用函数关系精确表达 一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定 当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个 各观测点分布在直线周围,第八章 相关与回归分析 第一节 相关分析,变量间的关系（相关关系）, 相关关系的例子,第八章 相关与回归分析 第一节 相关分析,粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、温度(x3)之间的关系,商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系,商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系,收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系,父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系,相关关系的类型,相关关系,非线性相关,线性相关,正相

5、关,完全相关,负相关,不完全相关,不相关,第八章 相关与回归分析 第一节 相关分析,单 相 关,复 相 关,偏 相 关,相关关系的图示,第八章 相关与回归分析 第一节 相关分析,二、相关关系的测定,定性判断： 根据研究着的理论知识和和实践经验对客观现象之间是否存在相关关系以及何种相关关系作出判断。 定量分析： 在定性分析的基础上绘制散点图，计算相关系数来判断现象之间的相关方向和程度,散点图,含义： 对于两个变量x和y，通过观察或实 验可以得到若干组数据，记为（xi，yi） i=1,2n,用坐标轴的横抽代表变量x，纵轴代表y，每组数据在坐标轴上用一个点表示，n组数据就形成n个点（散点），由坐标轴

6、及散点形成的二维图形称为散点图。,散点图（绘制）案例,【例8.1】在研究人均消费水平的问题中，把人均消费额记为y，把人均国民收入记为x。我们收集到1995年的2007样本数据(xi ，yi)，i =1,2,，13，数据见表8-1，绘制散点图。,第八章 相关与回归分析 第一节 相关分析,相关关系的测度（相关系数）,对变量之间关系密切程度的度量 对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为 若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为,第八章 相关与回归分析 第一节 相关分析,r,相关关系的测度（相关系数）,样本相关系数的计算公式

7、:,或化简为:,第八章 相关与回归分析 第一节 相关分析,相关关系的测度（相关系数取值及其意义）,第八章 相关与回归分析 第一节 相关分析,5. 0 r 1,4. -1 r 0,3. r = 0,r =-1 为完全负相关,r =1，为完全正相关,2. |r|=1,1. r 的取值范围是 -1,1,为完全相关,不存在线性相关关,为负相关,为正相关,|r|越趋于1表示关系越密切； |r|越趋于0表示关系越不密切,相关关系的测度（相关系数取值及其意义）,r,第八章 相关与回归分析 第一节 相关分析,相关关系的测度（相关系数计算例）,【例8.1】在研究人均消费水平的问题中，把人均消费额记为y，把人均国

8、民收入记为x。我们收集到1995年的2007样本数据(xi ，yi)，i =1,2,，13，数据见表8-1，计算相关系数。,第八章 相关与回归分析 第一节 相关分析,相关关系的测度（计算结果）,解：根据样本相关系数的计算公式有 人均国民收入与人均消费金额之间的相关系数为 0.9987,第八章 相关与回归分析 第一节 相关分析,相关系数的显著性检验（概念要点）,1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系 2. 等价于对回归系数 b1的检验 3. 采用 t 检验 4. 检验的步骤为,计算检验的统计量：,确定显著性水平，并作出决策,第八章 相关与回归分析 第一节 相关分析,若tt，接受H0,若tt，

9、拒绝H0,提出假设：H0： ；H1： 0,相关系数的显著性检验（实例）,第八章 相关与回归分析 第一节 相关分析,由于t=64.9809t(13-2)=2.201，拒绝H0，人均消费金额与人均国民收入之间的相关关系显著,2.根据显著性水平0.05，查t分布表得t(n-2)=2.201,计算检验的统计量:,提出假设：H0： ；H1： 0,1. 对前例计算的相关系数进行显著性检(0.05),相关系数的显著性检验（相关系数检验表的使用）,若IrI大于表上的=5%相应的值，小于表上1%相应的值，称变量x与y之间有显著的线性关系 若IrI大于表上=1%相应的值，称变量x与y之间有十分显著的线性关系 若I

10、rI小于表上=5%相应的值，称变量x与y之间没有明显的线性关系 根据前例的r=0.9987=5%(n-2)=0.553,表明人均消费金额与人均国民收入之间有十分显著的线性相关关系,第八章 相关与回归分析 第一节 相关分析,第二节 简单线性回归分析,预测及应用,回归方程的显著性检验,参数的最小二乘估计,一元线性回归模型,什么是回归分析？（内容）,从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精

11、确程度,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,回归分析与相关分析的区别,相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,回归模型的类型,一个自变量,两个及两个以上自变量,回

12、归模型,多元回归,一元回归,线性回归,非线性回归,线性回归,非线性回归,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,回归模型与回归方程,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,回归模型,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,3. 主要用于预测和估计,用于预测的变量,1 个或多个数字的或分类的自变量 (解释变量),被预测的变量,1 个数字的因变量(响应变量),2. 方程中运用,1. 回答“变量之间是什么样的关系？”,一元线性回归模型 （概念要点）,当只涉及一个自变量时称为一元回归，若因变量 y 与自变量 x 之间为线性关系时称为一元线性回归 对于具有线性关系的两个变量

13、，可以用一条线性方程来表示它们之间的关系 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,一元线性回归模型（概念要点）,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,对于只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表示为,y = 0 + 1 x + e,y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项,线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化,误差项 是随机变量,0 和 1 称为模型的参数,反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响,是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性,一元线性回归模型（基

14、本假定）,误差项是一个期望值为0的随机变量，即E()=0。对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E ( y ) = 0+ 1 x 对于所有的 x 值，的方差2 都相同 误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即N( 0 ,2 ),第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,独立性意味着对于一个特定的 x 值，它 所对应的与其他 x 值所对应的不相关,对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值 与其他 x 所对应的 y 值也不相关,回归方程 （概念要点）,描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程称为回归方程 简单线性回归方程的形式如下 E( y ) = 0+ 1 x,第八章

15、 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值,0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值,方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程,估计(经验)的回归方程,简单线性回归中估计的回归方程为,其中： 是估计的回归直线在 y 轴上的截距， 是直线的斜率，它表示对于一个给定的 x 的值，是 y 的估计值，也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值,用样本统计量 和 代替回归方程中的未知参数 和 ，就得到了估计的回归方程,总体回归参数 和 是未知的，必需利用样本数据去估计,第八章 相关与回归分析 第

16、二节 简单线性回归分析,参数 0 和 1 的最小二乘估计,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,最小二乘法 （概念要点）,使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 和 的方法。即,用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,最小二乘法（图示）,x,y,(xn , yn),(x1 , y1),(x2 , y2),(xi , yi),第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,最小二乘法 （ 和 的计算公式）,根据最小二乘法的要求，可得求解 和 的标准方程如下,第八章 相关与回归分

17、析 第二节 简单线性回归分析,估计方程的求法（实例）,根据 和 的求解公式得,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,【例】根据例7.1中的数据，配合人均消费金额对 人均国民收入的回归方程,估计(经验)方程,人均消费金额对人均国民收入的回归方程为,y = 54.22286 + 0.52638 x,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,估计方程的求法（Excel的输出结果）,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,回归方程的显著性检验,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,离差平方和的分解,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,2. 对一个

18、具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示,除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响,由于自变量 x 的取值不同造成的,1. 因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面,离差平方和的分解（图示）,x,y,离差分解图,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,离差平方和的分解 （三个平方和的关系）,2. 两端平方后求和有,从图上看有,SST = SSR + SSE,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,离差平方和的分解 （三个平方和的意义）,总平方和(SST) 反映因变量的 n 个观察值与其均值

19、的总离差 回归平方和(SSR) 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和 残差平方和(SSE) 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,样本决定系数 （判定系数 r2 ）,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,4. 判定系数等于相关系数的平方，即R 2r2,说明回归方程拟合的越差,r20,说明回归方程拟合的越好,r2 1,3. 取值范围在 0 , 1 之间,2. 反映回归直线的拟合程度,1. 回

20、归平方和占总离差平方和的比例,估计标准误差 Sy,实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根 反映实际观察值在回归直线周围的分散状况 从另一个角度说明了回归直线的拟合程度 计算公式为,注：上例的计算结果为1.979948,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,显著性检验,线性关系的检验,检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著 将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著 回归均方：回归平方和SSR除以相应的自由度(自变量的个数k) 残差均方：残差平方和SSE除以相应的自由度(n-k-1),第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,

21、如果不显著，两个变量之间不存在线性关系,如果是显著的，两个变量之间存在线性关系,回归方程的显著性检验 （检验的步骤）,提出假设 H0：线性关系不显著,计算检验统计量F,确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F 作出决策：若FF ,拒绝H0；若FF ,接受H0,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,线性关系的检验 (检验的步骤),提出假设 H0：1=0 线性关系不显著,2. 计算检验统计量F,确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F 作出决策：若FF ,拒绝H0；若FF ,不拒绝H0,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,线

22、性关系的检验 (例题分析),提出假设 H0：1=0 不良贷款与贷款余额之间的线性关系不显著 计算检验统计量F,确定显著性水平=0.05，并根据分子自由度1和分母自由度25-2找出临界值F =4.28 作出决策：若FF ,拒绝H0，线性关系显著,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,线性关系的检验 (方差分析表),Excel 输出的方差分析表,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,回归系数的检验,在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验 采用t检验,检验 x 与 y 之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量 x 对因变量 y 的影响是否显著,理论基础是回归系数 的抽样

23、分布,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,回归系数的检验 (检验步骤),提出假设 H0: b1 = 0 (没有线性关系) H1: b1 0 (有线性关系) 计算检验的统计量,确定显著性水平，并进行决策 tt，拒绝H0； tt，不拒绝H0,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,回归系数的检验 (例题分析),P 值的应用,P=0.000000=0.05，拒绝原假设，不良贷款与贷 款余额之间有显著的线性关系,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,建立的模型是否合适？或者说，这个拟合的模型有多“好”？要回答这些问题，可以从以下几个方面入手 所估计的回归系数 的符号

24、是否与理论或事先预期相一致 如果理论上认为x与y之间的关系不仅是正的，而且是统计上显著的，那么所建立的回归方程也应该如此,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,回归模型在多大程度上解释了因变量y取值的差异？可以用判定系数R2来回答这一问题 考察关于误差项的正态性假定是否成立。,回归分析结果的评价,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,回归模型在多大程度上解释了因变量y取值的差异？可以用判定系数R2来回答这一问题 在不良贷款与贷款余额的回归中，得到的R2=71.16%，解释了不良贷款变差的2/3以上，说明拟合的效果还算不错 考察关于误差项的正态性假定是否成立。因为我们在对

25、线性关系进行F检验和回归系数进行t检验时，都要求误差项服从正态分布，否则，我们所用的检验程序将是无效的。,回归分析结果的评价,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,Excel输出的部分回归结果,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,预测及应用,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,利用回归方程进行估计和预测,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,y 的个别值的预测区间估计,y 的平均值的置信区间估计,区间估计,y 的个别值的点估计,y 的平均值的点估计,点估计,2. 估计或预测的类型,1. 根据自变量 x 的取值估计或预测因变量 y的取值,利用回

26、归方程进行估计和预测（点估计）,2. 点估计值有,对于自变量 x 的一个给定值x0 ，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计值,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,3. 在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的的点估计是一样的，但在区间估计中则不同,y 的个别值的点估计,y 的平均值的点估计,y 的平均值的点估计,利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的平均值的一个估计值E(y0) ，就是平均值的点估计 在前面的例子中，假如我们要估计贷款余额为100亿元时，所有分行不良贷款的平均值，就是平均值的点估计 。根据估计的回归方程得,y 的个别值的点估

27、计,利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的一个个别值的估计值 ，就是个别值的点估计 例如，如果我们只是想知道贷款余额为72.8亿元的那个分行(这里是编号为10的那个分行)的不良贷款是多少，则属于个别值的点估计 。根据估计的回归方程得,区间估计,利用回归方程进行估计和预测 （区间估计）,点估计不能给出估计的精度，点估计值与实际值之间是有误差的，因此需要进行区间估计 对于自变量 x 的一个给定值 x0，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计区间 区间估计有两种类型,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,预测区间估计,置信区间估计,利用回归方程进行估

28、计和预测（置信区间估计）,y 的平均值的置信区间估计 利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的平均值E(y0)的估计区间 ，这一估计区间称为置信区间 E(y0) 在1-置信水平下的置信区间为,式中：Sy为估计标准误差,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,置信区间估计(例题分析),【例】求出贷款余额为100亿元时，不良贷款95%置信水平下的置信区间 解：根据前面的计算结果，已知n=25， se=1.9799，t(25-2)=2.069 置信区间为,当贷款余额为100亿元时，不良贷款的平均值在2.1141亿元到3.8059亿元之间,利用回归方程进行

29、估计和预测（预测区间估计）,y 的个别值的预测区间估计 利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的一个个别值的估计区间，这一区间称为预测区间 y0在1-置信水平下的预测区间为,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,预测区间估计(例题分析),【例】求出贷款余额为72.8亿元的那个分行，不良贷款95%的预测区间 解：根据前面的计算结果，已知n=25， se=1.9799，t(25-2)=2.069 预测区间为,贷款余额为72.8亿元的那个分行，其不良贷款的预测区间在-2.2766亿元到6.1366亿元之间,置信区间、预测区间、回归方程,xp,y,x,x

30、,预测上限,置信上限,预测下限,置信下限,第八章 相关与回归分析 第二节 简单线性回归分析,第三节 多元线性回归,多元线性回归模型 回归参数的估计 回归方程的显著性检验 回归系数的显著性检验 多元线性回归的预测,多元线性回归模型,第八章 相关与回归分析第三节 多元线性回归,多元回归模型 (multiple regression model),一个因变量与两个及两个以上自变量的回归 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x1 ， x2 ， xk 和误差项 的方程，称为多元回归模型 涉及 k 个自变量的多元回归模型可表示为,b0 ，b1，b2 ，bk是参数 是被称为误差项的随机变量 y 是x1,，x2

31、 ， ，xk 的线性函数加上误差项 包含在y里面但不能被k个自变量的线性关系所解释的变异性,第八章 相关与回归分析第三节 多元线性回归,估计的多元回归的方程(estimated multiple regression equation),是 估计值 是 y 的估计值,用样本统计量 估计回归方程中的 参数 时得到的方程 由最小二乘法求得 一般形式为,第八章 相关与回归分析第三节 多元线性回归,参数的最小二乘法,求解各回归参数的标准方程如下,使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 。即,第八章 相关与回归分析第三节 多元线性回归,参数的最小二乘法(例题分析),【例】一家大型商业银行

32、在多个地区设有分行，为弄清楚不良贷款形成的原因，抽取了该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据。试建立不良贷款y与贷款余额x1、累计应收贷款x2、贷款项目个数x3和固定资产投资额x4的线性回归方程，并解释各回归系数的含义,多元回归方程的拟合优度,多重判定系数 估计标准误差,多重判定系数(multiple coefficient of determination),回归平方和占总平方和的比例 计算公式为 因变量取值的变差中，能被估计的多元回归方程所解释的比例,修正多重判定系数(adjusted multiple coefficient of determination),用样本量n和自变量

33、的个数k去修正R2得到 计算公式为 避免增加自变量而高估 R2 意义与 R2类似 数值小于R2,估计标准误差 Sy,对误差项的标准差 的一个估计值 衡量多元回归方程的拟合优度 计算公式为,线性关系检验,线性关系检验,检验因变量与所有自变量之间的是否显著 也被称为总体的显著性检验 检验方法是将回归离差平方和(SSR)同剩余离差平方和(SSE)加以比较，应用 F 检验来分析二者之间的差别是否显著 如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性关系 如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性关系,线性关系检验,提出假设 H0：12p=0 线性关系不显著 H1：1，2，p至少有一个不等于0,2. 计算检验统计量F,3. 确定显著性水平和分子自由度p、分母自由度n-p-1找出临界值F 4. 作出决策：若FF ，拒绝H0,Excel 输出结果的分析,回归系数的检验,线性关系检验通过后，对各个回归系数有选择地进行一次或多次检验 究竟要对哪几个回归系数进