高一数学 反函数 第五课时 第二章

1、反函数 第五课时课 题2.4.1 反函数教学目标(一)教学知识点1.反函数的概念.2.反函数的求法.(二)能力训练要求1.使学生了解反函数的概念.2.使学生会求一些简单函数的反函数.(三)德育渗透目标培养学生用辩证的观点，观察问题、分析问题、解决问题的能力.教学重点1.反函数的概念.2.反函数的求法.教学难点反函数的概念.教学方法师生共同讨论法通过师生的共同讨论，使学生清除自学中遇到的疑点、困感点，弄清楚反函数的概念，掌握求反函数的方法.教具准备幻灯片两张：第一张：反函数的定义，记法、习惯记法(记作2.4.1A)第二张：本课时教案后面的预习内容及预习提纲(记作2.4.1B)教学过程.复习回顾师

2、上节课我们学习了函数单调性的概念，请同学们回忆一下：增函数、减函数的意义，并复述证明函数单调性的步骤.生设函数的定义域为，对于属于内某个区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么f（x）在这个区间上是增函数，这个区间是函数的单调递增区间.都有f（x1）f（x2），那么f（x）在这个区间上是减函数，这个区间是函数的单调递减区间.师好.此位同学没有机械地照课本上的表述来回答增函数、减函数的意义，而是通过分析、整理、归纳，做出了回答.我们每个同学在学习上都要发扬这种精神.请同学复述判断函数单调性的方法步骤.生判定函数单调性的步骤是：a.设任意x1、x2给定区间，

3、且x1x2.b.计算f（x1）f（x2）至最简.c.判断上述差的符号.d.下结论(若差0，则为增函数；若差0，则为减函数.)师好.同学的回答非常完整、严密.另外需要注意，函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，它是一个局部的概念，因此，某个函数在其整个定义域内，单调性可能不存在.师好，这节课我们来学习反函数（板书课题）.讲授新课师我们知道，物体做匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即svt其中速度是常量.反过来，也可以由位移s和速度(常量)确定物体做匀速直线运动的时间，即t这时，位移s是自变量，时间t是位移s的函数，在这种情况下，我们说t是函数svt的反函数.又如在函数y2x6（xR）中，x

4、是自变量，y是x的函数，我们从函数y2x6中解出x，就可以得到式子x3（yR）.这样对于y在R中任何一个值，通过式子x3，x在R中都有惟一的值和它对应，也就是说，可以把y作为自变量(yR)，x作为y的函数，这时我们就说x3（yR）是函数y2x6（xR）的反函数.一般地，(打出幻灯片2.4.1A)(教师读)师同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来分析一下，反函数的定义着重强调了几点，分别是什么?(学生仔细观察定义、分析、寻求)生反函数的定义着重强调了两点：根据yf（x）（xA，yC）中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x (y)对于y在C中的任一个值，通过x (y).x在A中

5、都有惟一的值和它对应满足了上述两点，x（y）（yC）就叫做yf（x）（xA）的反函数.生甲函数yf（x）是从定义域A到值域C的映射，从yf（x）中解出x（y）之后，强调的实质是对于x（y）是从C到A的映射，因此我认为定义只强调了一点，即从yf（x）中解得x（y）.其他是从C到A的映射，那么x（y）就是yf（x）的反函数.师两位同学所读哪个正确呢?(留出点时间让学生考虑)师(自问自答)两位同学所谈都是正确的.生甲同学从映射的角度谈，表述更简单些，第一位同学所谈的第二点实质上就是从C到A的映射.很好，两位同学谈得都很好，都动了脑筋，进行了积极的思维.生乙对于函数yf（x）（xA，yC）若从值域C到

6、定义域A是映射，那么从y f（x）中解得的x（y）就是函数yf（x）的反函数.生丙对于函数yf（x）（xA，yC），若从定义域A到值域C是一一映射，那么从yf（x）中解得的x（y）就是函数yf（x）的反函数.师好.问题越讨论越清楚，生丙同学的回答不但揭示了反函数定义的实质，还告诉了我们怎样的函数才具有反函数，是什么呢?生一一映射确定的函数才有反函数.师很好.比方说yx2在它的定义域内有没有反函数呢?生没有，因为yx2不是一一映射确定的函数，即从定义域到值域不是一一映射.师函数yx2（x0)有没有反函数呢?若有，是怎样的.生函数yx2（x0)有反函数，因为从定义域集合到值域集合是一一映射，它的反

7、函数是x（y0）.师回答正确.在函数xf1（y）中，y是自变量，x表示函数，但在习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调xf1（y）中的x、y，把它改写成yf1（x）今后凡不特别说明函数yf（x）的反函数都采用这种经过改写的形式，这种改写的形式称为习惯记法.例如函数y2x的反函数是y（xR）.函数y5x6的反函数是y（xR)等等.师请注意：在yf（x）与xf1（y）中的x、y所表示的量相同(前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此)，但地位不同(前者x是自变量，y是函数值；后者y是自变量，x是函数值).在yf（x）与yf1（x）中的x都是自变量，y都是函数值，即

8、x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同(前者中的x是后者中的y，前者中的y是后者中的x).请同学们谈一下，函数yf（x）与它的反函数yf1（x）两者之间，定义域、值域存在什么关系呢?生函数的定义域、值域分别是它的反函数的值域、定义域.(学生作答，教师板书)师从反函数的概念可知，如果函数yf（x）有反函数yf1（x），那么函数y f1（x）的反函数就是yf（x），即函数yf（x）与yf1（x）互为反函数.从反函数的概念我们还可以知道，求函数的反函数的方法步骤为：由yf（x）解出xf1（y），即把x用y表示出来.将xf1（y）改写成yf1（x），即对调xf1（y）中的x、y.指出反函数的定义域.例题分析课本P62例1，让学生自己看.课堂练习课本P64练习1，2，3，4.课时小结本节课我们学习了反函数的概念，从中知道了怎样的映射确定的函数才有反函数并求函数的反函数的方法步骤，大家要熟练掌握.课后作业(一)课