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3 线性相关性的判别定理(1),线性相关性的几个重要定理,小 结 思 考,定理3,若一向量组的部分向量组线性相关,则该向量组也线性相关.,注: 这个定理的等价说法是:如果一个向量组线性无关,则其中任一个部分向量组也必线性无关. 也即一向量组部分线性相关,则整体必线性相关,一向量组整体线性无关,则其部分组必线性无关.,证 对任意的常数k1,k2,ks，,推论 含有零向量的向量组必线性相关,上两式只是各分量的排列顺序不同，因此,当且仅当,所以 和 有相同的线性相关性。,证 对列向量来证明定理。,利用(1)式,用反证法容易证明(2)式也成立。,因此, 也线性相关,即(1)式成立。,如果 线性相关,就有一个非零的s1矩阵X,使,用语言叙述为：低维无关，则高维无关；高维相关，低维相关。,向量组与矩阵,线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应,系数,未知数,线性方程组的行向量表示,定理,下面举例说明定理的应用.,证明（略）,解,例,解,例,分析,结论,推论,定理6 设A 是一个n阶方阵，则A的行(列)向量组线 性相关的充要条件是A的行列式等于零,定理7 n+1个n维向量组 必线性相关。,推论 当mn时,m个n维向量组线性相关。,或者用书本的表述,定理8 如果向量组 可由 线性表出且st，那么 线性相关。,推论1 如果向量组 ，可由向量组 线性表出，且 线性无关，那么

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