高三数学一轮 6.2 等差数列及其前n项和导学案 理 北师大版

1、6.2算术级数及其前N项2014年高考将以这种方式进行。1.在回答问题时，结论的计算将通过算术级数来判断和证明；2.用基本量方法解决算术级数的基本量问题；3.检查算术级数的性质和综合应用。复习并为考试做准备。1.准确理解概念，掌握算术级数的相关公式和性质；2.注意不同性质的适用条件和注意事项。1.算术级数的定义如果一个数列从第2项开始，并且每一项和前一项之间的差等于同一个常数，我们称这个数列为算术级数，并且称这个常数为算术级数的容差，它通常用字母_d_表示。2.算术级数的一般公式如果算术级数an的第一项是a1，公差是d，那么它的通项公式是an=a1 (n-1) d .3.算术平均项如果在A和B

2、之间插入一个数字A，使A，A和B成为算术级数，那么A被称为A和B的算术平均值.4.算术级数的共同性质(1)通项公式的推广：an=am (n-m) d，(n，m n *)。(2)如果an是算术级数，k l=m n，(k，l，m，nN*)，那么AK al=am an。(3)如果an是公差为D的算术级数，a2n也是公差为2d的算术级数。(4)如果an和bn是算术级数，pan qbn也是算术级数。(5)如果an是公差为D的算术级数，那么ak，AK m，AK 2m，(k，mN*)是公差为MD的算术级数。5.算术级数的前N项和公式让算术级数an的容差为d，前n项和sn=或sn=na1 d .6.算术级数的

3、前N项以及公式和函数之间的关系Sn=n2+n。序列an是算术级数sn=an2 bn (a和b是常数)。7.算术级数的最佳值在算术级数an，a10，d0中，Sn的最大值为_ _，最大值为_ _；如果a10，d0，Sn有最大值和最小值。难点、原始疑点、明确来源1.算术级数的判断方法(1)定义方法：an-an-1=d(n2)；(2)算术平均项法：2an 1=an 2。2.算术级数和算术级数之间和平的本质(1)am，am k，am 2k，am 3k，仍然是算术级数，公差为kd。(2)系列Sm，S2M-SM，S3m-S2m，也是算术级数。(3)S2n-1=(2n-1)an。(4)如果n是偶数，那么s是偶

4、数-s是奇数=d如果n是奇数，那么s奇数-s偶数=a的中间项.3.算术级数和函数当d0时，an是关于n的线性函数，线性项的系数是d；Sn是关于n的二次函数，二次项的系数为0，常数项为0。1.(江西，2012)让数列an和bn成为算术级数。如果a1 B1=7，a3 B3=21，a5 b5=_ _ _ _ _ _ _。答案35两个算术级数的和序列仍然是算术级数。假设由两个算术级数组成的和序列是cn，新序列仍然是算术级数，C1=7，C3=21，那么C5=2c3-C1=221-7=35。2.众所周知，两个数列X，a1，a2，a3，Y和X，b1，b2，Y是等差数列，而xy，那么这个值就是_ _ _ _

5、_ _。回答解析方程a2-a1=(y-x)，B2-B1=(y-x)，=.3.众所周知，在算术级数an中，A3 A8=22，A6=7，那么A5=_ _ _ _ _ _ _。答案15分析表明 F3 是等差数列， a3 A8=a5 a6=22。a5=22-a6=22-7=15.4.(江西，2011)设an为算术级数，容差d=-2，Sn为其前n项之和，如果S10=S11，a1等于()a18 b . 20 c . 22d . 24回答乙分析因为S10=S11，A11=0。因为a11=a1 10d，a1=20。5.(辽宁，2012)在算术级数an中，已知A4 A8=16，则该系列的前11项和S11等于()

6、A.58 B.88 C.143 D.176回答乙解析S11=88。问题1算术级数基本量的计算例1(福建2011)在算术级数an中，a1=1，a3=-3。(1)找到序列an的通项公式；(2)如果序列an的前K项和SK=-35之和，求K的值.启示：算术级数计算基本量的基本思想是根据条件方程找到算术级数的第一项和容差。(1)让算术级数an的容差为d，然后an=a1 (n-1)(2)根据(1)，an=3-2n，因此sn=2n-N2。当sk=-35时，可以得到2k-k2=-35。即k2-2k-35=0，解为k=7或k=-5。和kN*，所以k=7。探索和改进(1)等差数列的通项公式和前N个项及公式，涉及a

7、1、an、D、N、Sn五个量，只要知道其中的三个就可以找到另外两个量，体现了用方程解决问题的思想。(2)数列的通项公式和前N项公式在解题中起着变量代换的作用，而a1和D是算术级数的两个基本量。用它们来表达已知和未知是一种常见的方法。设a1和d为实数，第一项为a1，公差为d的算术级数an的前n项之和为Sn，满足s5s6 15=0。(1)如果S5=5，计算S6和a1；(2)找出D的取值范围.解(1)从问题的含义可知：S6=-3，A6=S6-S5=-8。因此解是A1=7，所以S6=-3，A1=7。(2)方法一s5s6 15=0，(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0，也就是说，2a 9da1

8、 10d2 1=0。因为对于a1有二次方程的解，所以=81 D2-8(10 D2+1)=D2-80。d2或d2。方法2s5s 615=0，(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0，也就是说，2a 9da1 10d2 1=0。因此，(4a1 9d) 2=D2-8，因此d28。因此，d的范围是d2或d2。第二题算术级数的前N项之和及其综合应用例2 (1)在算术级数an中，已知a1=20，前n项之和为Sn，S10=S15。当n取任何值时，Sn取最大值并找到它的最大值。(2)已知序列an的通项公式为an=4n-25，因此求序列 | an | 的前n项之和。思维启示：(1) d可以从a1=20和S

9、10=S15得到，然后可以得到通项。从广义上讲，这个数列前面有多少项是正的，或者Sn是关于n的二次函数，用二次函数求最大值的方法可以解决这个问题。(2)利用算术级数的性质，可以判断序列从哪一项开始改变符号。解决方案(1)方法1A1=20，S10=S15，1020+d=1520+d,d=-.an=20+(n-1)=-n+. a13=0，即当n12时，an0，当n14时，an0，当n=12或13时，Sn得到最大值，最大值是S13=S12=1220=130。方法2与方法1相同，得到d=-。Sn=20n+=-n2+n=-2+。nn *，当n=12或13时，Sn具有最大值，最大值为S12=S13=130

10、。方法3与方法1相同，得到d=-。从S10=S15，a11 a12 a13 a14 a15=0。 5 A13=0，即A13=0。当n=12或13时，Sn具有最大值。最大值是S12=S13=130。(2)an=4n-25，an+1=4(n+1)-25， an 1-an=4=d，a1=41-25=-21。因此，数列an是一个递增的算术级数，第一项是-21，公差是4。制造从得到n6；根据，n5，所以n=6。也就是说，数列|an|的前六项是公差为-4的算术级数，公差为4的算术级数由第七项形成。和| a7 |=a7=47-25=3。让|an|的前n项之和为t n，然后Tn=为了探索如何提高等差数列前N项

11、之和的最大值，常用的方法如下：利用等差数列的单调性找出其正负转折项；利用性质找出正负转折项，可以得到和的最大值；算术级数的前n项和sn=an2 bn (a和b是常数)被视为二次函数，根据二次函数的性质得到最大值。(湖北，2012)算术级数an前三项之和为-3，前三项之积为8。(1)求算术级数的通式 an ；(2)如果a2、a3和a1是几何级数，求级数的前n项之和|an|。(1)让算术级数an的容差为d，那么a2=a1 d，a3=a1 2d。从问题的含义来看解决或所以它可以通过算术级数的通项公式得到An=2-3 (n-1)=-3n 5或an=-4 3 (n-1)=3n-7。因此，an=-3n 5

12、或an=3n-7。(2)当an=-3n 5时，a2、a3和a1分别为-1、-4和2，这不是几何级数；当an=3n-7时，a2、a3和a1分别为-1、-2和-4，它们是几何级数，满足条件。因此，| an |=| 3n-7 |=请记住，数列的前n项之和|an|是Sn。当n=1时，S1=| a1 |=4；S2=| a1 | | a2 |=总而言之，sn=算术级数性质在第三题中的应用例3:设算术级数的前n项之和为Sn，已知前6项之和为36，sn=324，后6项之和为180 (n6)，求出序列n中的项数.启示：在算术级数中，如果m n=p q，那么am a=AP AQ，这常用于涉及数列前n项和某些项的和

13、的问题。根据问题的意思，a1 a2.a6=36 an+an-1+an-2+an-5=180 获取(a1 an) (a2 an-1) (a6 an-5)=6(a1+an)=216。a1=36。sn=324。18n=324.n=18.提高本课题解题水平的关键是将算术级数性质m n=p QAM an=AP AQ与前n项和公式sn=相结合，并采用整体思路简化解题过程。(1)让序列an=-7的第一项a1满足1=an 2 (n n)，然后a1 a2.a1=-7=_ _ _ _ _ _ _。(2)在算术级数an中，a1 a2 a3=-24，a18 a19 a20=78，则本系列前20项之和等于_ _ _ _

14、 _ _ _ _ _。答案(1)153 (2)180分析(1)1-an=2，an是算术级数。 an=-7 (n-1) 2，a17=-7+162=25，S17=153。(2)已知(a1 a2 a3)(a18 a19 a20)=-24 78(a1 a20)(a2 a19)(a3 a18)=54 a1 a20=18s 20=20=180整体思维在算术级数解题中的应用典型的例子：(12点)让和sn=m，和sm=n (m n)的算术级数an的前n项，并找到它的前m个n项的和sm n。考试视角：(1) Sm n=a1 (m n) d=(m n)，所以我们只需要找到a1 d；(2)a1-d可以由Sn和sm构

15、造而得。标准化解决方案在求解方法中，如果an的容差为d，sn=m，sm=n，获得4分- get (m-n) a1 d=n-m，* mn， a1 d=-1。8分Sm+n=(m+n)a1+d=(m n)=-(m n)。12分方法2:设sn=an2 bn (n n * ),然后4分-得到a(m2-N2)b(m-n)=n-m6分mn,A(m+n)+B=-1，A(m+n)2+B(m+n)=-(m+n)， sm n=-(m n)。12分温馨提示(1)这个问题的两种解决方案突出了整体思路，其中第一种方法将A1-D视为一个整体，第二种方法将A(M-N)B视为一个整体，非常方便求解。(2)整体思维是解决问题的重

16、要方法和技巧，要求学生掌握公式并理解其结构特征。(3)这一问题的易错点是，整体思路的计算方法不能正确运用，量与量之间的关系不能建立，从而导致错误。方法和技术1.算术级数的判断方法(1)定义：1-an=d (d是常数)an是一个算术级数。(2)算术：2an 1=an an 2 (n n *) an是算术级数。(3)通式：an=pn q (p，q为常数)an为算术级数。(4)前n项和公式：sn=an2 bn (a和b是常数)an是算术级数。2.等式思想和归约思想：在解决与算术级数相关的问题时，我们可以考虑归约为基本量，如a1和D，并通过建立等式(组)得到解。错误与预防1.如果p q=r s，那么AP AQ=ar，因为一般来说，AP AQ AP q必须是两个项的加和，或AP-t AP t=2ap。2.当容差d0时，算术级数的通项公式是N的线性函数，当容差D=0时，an是常数。3.具有非零容差的算术级数的前n项和公式是n的二次函数，常数项是0。如果一个序列的前n个项和公式是具有非零常数项的二次函数，那么该序列不是算术级数，而是从第二个项开始的算术级数。a组特殊基础训练(时间：35分钟，满分：57分)首先，多项选择题(每个小问题5分，共20分)1.在算术级数an中(福建，201