高三数学一轮复习讲义 两角和与差的正弦、余弦和正切教案 新人教A版

1、两角和与差的正弦、余弦和正切知识梳理:1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin() . cos() . tan() . (，均不等于k，kZ)其变形为：tan tan ,tan tan (1) sin cos cos sin sin cos cos sin (2) cos cos sin sin cos cos sin sin (3)tan()(1tan tan )，tan()(1tan tan )2二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 . cos 2 . tan 2 . .2sin cos cos2sin2 2cos21 12sin2 倍角公式变形：降幂公式cos2 ， sin2 ；配

2、方变形：1sin , 1cos ， 1cos 2 2cos2 2sin2.3辅助角公式(利用辅助角公式求最值、单调区间、周期.)asin bcos sin()，其中角称为辅助角热身练习:1计算sin119 sin181 sin 91sin29的结果等于 () A. B. C. D.解：sin119 sin181 sin 91sin29=cos29(sin 1) cos 1sin29=(sin 1cos29+cos 1sin29) cos 1sin29=sin 30=2已知，那么的值为（）A、B、C、D、3已知sin ，sin cos 0，则sin 2的值为 () A B C D.解析：sin

3、cos 0，sin ，cos .sin 22sin cos 2().4已知(0，)，sin ，则tan 2的值为_解析： (0，)，sin ，cos cos ，tan . tan 27.5已知cos ，且(，)，则tan ()等于_ 解析：cos ，且(，)，sin .tan，tan()7.6已知(，)，sin ，则tan 2_.解析：依题意得cos ，tan ，tan 2. 7.已知，则的值是（ ）A B C D 2典例探究例1化简下列各式：(1) (0)；解(1)原式 .因为0，所以00，所以原式cos .(2)2.(2)原式22|cos4|22|cos4|2|sin 4cos4|4.co

4、s40，sin 4cos40. sin 4cos40.从而原式2cos42sin 42cos42sin 4.（3）.sin(75)cos(45)cos(15)解:原式sin(45)30cos(45)cos(45)30sin(45)cos(45)cos(45)cos(45)sin(45)0 (4)tan()tan()tan()tan()原式tan()()1tan()tan()tan()tan().变式训练一：（1）若270360，则等于 ( ) Asin Bcos Csin Dcos解：cos22cos21 cos2cos21又270360 135180原式（2）tan2Atan（30A）tan

5、2Atan（60A）tan（30A）tan（60A） （3）(1tan1)(1tan2)(1tan3)(1tan44)(1tan45) （4）化简： 解： 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子的结构与特征 2.对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： 化为特殊角的三角函数值； 化为正、负相消的项，消去求值； 化分子、分母出现公约数进行约分求值例2 (1)的值是 () A.B. C. D.解(1)原式.(2). 化简：解：sin 50(1tan 10)sin 50sin 501，cos 80sin 10sin210.考点二 三角函数的给值

6、求值问题例3若0，0， cos()，cos()，则cos() ()A.B C. D解:0，0，则cos等于 () A. B C. D解析：由题意知，cos m，在第二象限所以cos4已知sin(A)，A(，)求cos A的值；解：因为A，且sin(A)，所以A，cos(A).因为cos Acos(A)cos(A)cossin(A)sin，所以cos A.5.已知tan2，则的值为_.【解析】由tan(x)2得tan x，(1tan2x).6.已知f(x)sin2x2sinsin.(1)若tan 2，求f()的值；(2)若x，求f(x)的取值范围.解(1)f(x)(sin2xsin xcos x

7、)2sincossin 2xsin(sin 2xcos 2x)cos 2x(sin 2xcos 2x).由tan 2，得sin 2.cos 2.所以，f()(sin 2cos 2).(2)由(1)得f(x)(sin 2xcos 2x)sin.由x，得2x. sin1,0f(x)，所以f(x)的取值范围是.考点三 三角函数的给值求角问题 例4已知cos ，cos()，且0.(1)求tan 2的值；(2)求.解(1)由cos ，0，得sin ，tan 4.于是tan 2.(2)由0，得0. 又cos()，sin().由()，得cos cos()cos cos()sin sin().1.解决给值求角

8、问题的一般步骤是： (1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角的范围； (3)根据角的范围写出要求的角 2.在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数： (1)已知正切函数值，选正切函数； (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是(0，)，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为(，)，选正弦较好变式训练三：1已知，(0，)，且tan()， tan ，求2的值解：tan tan()， ，(0，)，tan 1，tan 0，0，20，2.2.已知函数f(x)tan(2x)设(0，)，若f()2cos 2，求的大小解：由f()2cos 2，得tan

9、()2cos 2，2(cos2sin2)，整理得2(cos sin )(cos sin )因为(0，)，所以sin cos 0.12(cos sin ) 21=2(cos2-2sin cos + sin 2),1=2(1-sin2 )(0，)，sin2 =2. 即.3已知tan 、tan 是方程x23x40的两根，且、，则tan()_，的值为_考点四 构造辅助角逆用和角公式解题例五：已知函数f(x)2cos xcossin2xsin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当0，时，若f()1，求的值.解(1)因为f(x)2cos xcossin2xsin xcos xcos2xsi

10、n xcos xsin2xsin xcos xcos 2xsin 2x2sin，所以最小正周期T.(2)由f()1，得2sin1，又0，所以2，所以2或2，故或.例六已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，|ab|.(1)求cos()的值；(2)若0，且sin ，求sin 的值解(1)|ab|，a22abb2.又a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，a2b21，abcos cos sin sin cos()，故cos().(2)0，0.cos()，sin().又sin ，0，cos .故sin sin()sin()cos cos()sin .变式训练四：1.已

11、知函数f(x)cos2sinsin，求函数f(x)在区间上的最大值与最小值.解由题意，得f(x)cos2sinsincos 2xsin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)cos 2xsin 2xsin2xcos2xcos 2xsin 2xcos 2xsin，又x，所以2x.又f(x)sin在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当x时，f(x)取得最大值1.又ff，所以当x时，f(x)取得最小值.故函数f(x)在区间上的最大值与最小值分别为1与.2.已知函数f(x)2sin，xR. (1)求f的值；(2)设，f，f(32)，求cos()的值.(1)(2)3.设函数f(x)co

12、ssin2x. (1)求函数f(x)的最大值；(2)设A，B，C为ABC的三个内角，若cos B，f ，且C为锐角，求sin A.解(1)f(x)cos 2xcos sin 2xsin cos 2xsin 2xcos 2xsin 2x.所以，当2x2k，kZ，即xk (kZ)时，f(x)取得最大值，f(x)max.(2)由 f ，即sin C，解得sin C，又C为锐角，所以C.由cos B求得sin B.因此sin Asin(BC)sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.4.已知0，cos， sin，求sin()的值解cossin，0，0，A，cos A3sin A，又sin

13、2Acos2A1，sin A，cos A，由cos B，得sin B.cos(AB)cos Acos Bsin Asin B.故cos Ccos(AB)cos(AB).练习一一、选择题1计算sin 43cos 13cos 43sin 13的结果等于 ()A.B.C.D.2.已知tan()，tan，那么tan等于 ()A. B. C. D.3.已知锐角满足cos 2cos，则sin 2等于 ()A. B. C. D.4若，且sin2cos 2，则tan 的值等于 ()A. B. C. D.5已知向量a(sin x，cos x)，向量b(1，)，则|ab|的最大值为()A1B.C3D96已知cos

14、sin ，则sin的值是 ()AB.CD.二、填空题7.化简：sin 200cos 140cos 160sin 40_.8.已知sin()，sin()，则的值为_.9.化简：sin2x2sin xcos x3cos2x_.10.函数f(x)2cos2xsin 2x的最小值是_.11sin ，cos ，其中，则_.三、解答题12. 2sin 50sin 10(1tan 10)；解原式sin 80 sin 80cos 10cos 10cos 102sin 602.13已知A、B均为钝角且sin A，sin B，求AB的值.解A、B均为钝角且sin A，sin B，cos A，cos B.cos(A

15、B)cos Acos Bsin Asin B.又A，B，AB0，0)的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值可能为 ()A.2 B.3 C.4 D.55. 设0cos ，则的取值范围是()A.B. C.D.6. 在ABC中，3sin A4cos B6,4sin B3cos A1，则C的大小为 ()A. B. C.或 D.或二、填空题7._4_.8.已知cos，则_._.9设sin ，tan()，则tan()_.10如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等设第i段弧所对的圆心角为i (i1,2,3)，则cos cos sin sin _.11.化简: ；12.已知0，tan ，cos().(1)求sin 的值；(2)求的值解(1)tan ，sin sin2sin cos .(2)0，sin ，cos .又0，0.由cos()，得sin().sin sin()sin()cos cos()sin .由得. (或求c