高三数学二轮复习专题四第3讲空间向量与立体几何教案

1、第三讲空间矢量和立体几何自主学习指导真实问题的情感1.(陕西，2012)如图所示，如果在空间直角坐标系中有一个直三棱柱ABCA1B1C1，且ca=cc1=2cb，则直线BC1与直线AB1之间的夹角余弦为A.B.C.D.矢量法解析求解。设CB=1，ca=cc1=2。O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，=(0,2,-1),=(-2,2,1)，cos,=0.和之间的角度是线BC1和线AB1之间的角度。线BC1和线AB1之间的夹角的余弦为。回答一2.(辽宁，2012)如图所示，直三棱柱abcaBc，Bc=90，ab=AC=aa，m点和n点分别为

2、aB和Bc的中点。(1)证明MN平面aACC；(2)如果二面角MNC是一个直的二面角，求的值。分析(1)证明方法一连接AB，AC，并且已知BC=90，AB=AC，三棱镜ABCABC是直三棱镜，所以M是AB的中点，并且因为N是BC、MNAC和MN平面A的中点证明2取AB的中点P，连接MP和NP，M和N是AB和BC的中点，所以MPAA，PNAC，所以MP平面AACC，PN平面AACC。(2)以a为坐标原点，分别以直线AB、AC和AA为x轴、y轴和z轴，建立XYZ空间直角坐标系，如图所示。假设AA=1，那么AB=AC=，那么A(0，0，0)，B(，0，0)，C(0 0，0)，A(0，0，1)，B(，

3、0，1)，C(0假设m=(x1，y1，z1)是平面AMn的法向量，尤德M=(1，-1，)。假设n=(x2，y2，z2)是平面MNC的法向量，尤德N=(-3，-1，)。因为MNC是一个直的二面角，所以Mn=0。即，-3 (-1) (-1) 2=0，解为=(负值被截断)。试题分析运用空间向量解决立体几何问题是高考必考的一个知识点。空间向量的工具性主要体现在平行度和垂直度的判断，以及空间角度的大小。解决问题时应特别注意避免计算错误。网络建设高频测试点的突破测试点1:用向量证明平行度和垂直度示例1如图所示，在具有矩形底面的p-ABCD中，PA底面ABCD、e和f是PC和PD的中点，pa=ab=1，BC

4、=2。验证：(1)EF平面PAB；(2)pad飞机PDC。【考试指南】建立空间直角坐标系后，利用向量的共线定理证明可以根据向量的垂直关系证明第一题(1)和第二题(2)证明直线是垂直的，进而证明直线和平面是垂直的。【规格解答】以甲为原点，甲乙丙的直线分别为X轴、Y轴和Z轴。建立如图所示的空间直角坐标系，然后是A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P=，=(1，0，-1)、=(0，2，-1)、=(0，0，1)、=(0，2，0)、=(1，0，0)、=(1，0，0)。(1)因为=-，所以，即EFAB。ab平面PAB、ef平面PAB，所以EF平面PAB。(2)因为=(0

5、，0，1) (1，0，0)=0，=(0，2，0)(1，0，0)=0，的，也就是ADDC.的APDC并且接入点ad=a，接入点平面焊盘，广告平面焊盘，因此，DC飞机垫。因为DC平面PDC，平面PAD平面PDC。规则摘要用空间向量证明位置关系的一种方法(1)线对线平行性：要证明一条直线平行于一条直线，只需证明它们的方向向量是平行的；(2)线-面平行度：利用线-面平行度的判定定理，证明了直线的方向向量与平面内直线的方向向量平行；利用共向量定理，证明了平面外直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量共面。证明直线的方向向量垂直于平面的法向量；(3)平面平行度：只要证明两个平面的法向量是平行的，就可以

6、利用线平面平行度的判定定理，将平面间的平行度转化为线平面平行度；(4)直线垂直度：直线之间的垂直度，只要证明两条直线的方向向量是垂直的；(5)线面垂直度：利用线面垂直度的定义，证明了直线的方向向量垂直于平面内任意直线的方向向量；利用垂直线与平面的判定定理，证明了直线的方向向量垂直于平面上两条相交直线的方向向量；证明直线的方向向量平行于平面的法向量；(6)面对面垂直度：只有证明两个平面的法向量是垂直的，平面之间的垂直度才能转化为线对面垂直度。变体训练1.如图所示，在正方形金字塔p-ABCD中，PA平面ABCD、BD在点e处与AC相交，f是PC的中点，g是AC上的点。(1)核查：BDfg；(2)确

7、定线段AC上G点的位置，使FG平面PBD，并说明原因。分析(1)证明了以A为原点，AB、BD和PA的直线分别为X轴、Y轴和Z轴，建立了空间直角坐标系A-XYZ，如图所示。假设正方形ABCD的边长是1，然后是A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，设P(0，0，a) (a 0)，G(m，m，0) (0 m )，然后是e，f .(1)=(-1，1，0)=，=-m m- 0=0，所以BDFG.(2)为了制作FG平面PBD，只需要FGEP。并且=，通过=，可以得到解所以g，所以=。因此，当ag=交流时，FG平面PBD。测试点2:通过矢量找到线角度和线平面角度示例2如图所

8、示，在金字塔p-ABCD中，底部ABCD为矩形，PA平面ABCD，pa=ad=2，ab=1，BMPD位于m点.(1)验证：amPD；(2)求直线光盘和平面光盘之间角度的余弦。建立坐标系，求出平面圆弧的法向矢量，用矢量法求出直线圆与平面圆弧夹角的余弦值。证明PA飞机ABCD、ab平面ABCD，PAAB.ABAD，ADpa=a，ad平面焊盘，Pa平面焊盘，AB平面垫。* PD平面焊盘，ABPD.BMPD，abBM=b，ab飞机ABM，Bm飞机PD飞机ABM。plane abm飞机，AMPD.(2)如图所示，如果建立了直角坐标系，那么A(0，0，0)，C(1，2，0)，D(0,2,0),=(-1,0

9、,0)，让M(0，y0，z0)，=(0，y0，z0)，P(0,0,2),=(0,2,-2)，=(0，y0，z0-2)，从.获取=2y0-2z0=0也就是说，y0=z0，并且=，-2y0=2 (z0-2)，即-y0=z0-2。Y0=z0=1，即M(0，1，1)，假设平面ACM的法向量为n=(x，y，z)，让z=1，得到n=(2，-1，1)。cos，直线CD和平面ACM之间夹角的余弦值为。规则摘要矢量法求线角和线平面角应注意的问题(1)建立一个合适的直角坐标系，并根据对称原理，在坐标轴上尽可能多的点，这样就容易找到每个点的坐标；(2)直线与平面形成的角度主要由直线的方向向量与平面的法向向量之间的角

10、度得到，即sin =| cos |。变体训练2.(2012年山西四校模拟)在三角金字塔M-ABC中，AB=2ac=2，MA=MB=，AB=4an，ABAC，MAB平面ABC，s是BC的中点。(1)证据：cmsn；(2)找出SN和CMN平面之间的角度。分析(1)证明，取AB的中点o，连接MO、co和SO，MOAB，*mab飞机ABC，MO飞机ABC，ACAB，OSAC，OSAB，以o为坐标原点，OB为x轴，OS为y轴，OM为z轴，建立了空间直角坐标系。然后c (-1，1，0)，m，n，s，所以=，=，因此=0，即CMSN.(2)从(1)=，=，=，假设CMN平面的法向量为n=(x，y，z)，然后

11、，让x=2。那么平面CMN的法向量是n=(2，1，-2)，然后| cos |=，因此，SN和SMN平面之间的角度为。测试点3:用矢量找到二面角例3(泉州仿真2012)如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，b=90，d为边BB1上的一点，而平面DA1C为AA1C1C(1)验证：d为边缘BB1的中点；(2)为什么二面角a-a1d-c的平面角是60 ?检验指南 (1)取交流中点F和A1C中点E，由BDEF证明；(2)建立以D为原点的系统，设置相关点的坐标，并用公式求解。规范解 (1)证明通过点d是在点e处的DEA1C，并取AC的中点f，甚至BF和EF。*平面DA1C

12、平面AA1C和相交A1C，平面DA1C中的直线DEA1C，线DE飞机AA1C1C。和面对BAC面对AA1C和相交AC，很容易认识BFAC.BF飞机AA1C1C。因此，我们知道DEBF，所以d，e，f和b是共面的。很容易知道BB1平面AA1C，所以有DBEF。从而具有EFAA1，f点是交流中点，因此db=ef=aa1=bb1。D点是边BB1的中点。(2)建立如图所示的直角坐标系，AA1=2b，AB=BC=A。然后d (0，0，b)，A1(a，0，2b)，C(0，a，0)，因此，=(a，0，b)=(a，0，a，-b)、假设表面DA1C的法向量为n=(x，y，z)，然后，n=(b，-b，-a)，也可

13、以取平面AA1DB的法向量m=(0，a，0)，cos u n，m u=-，根据问题的意思：=，解决方法是：=。规则摘要用矢量求二面角应注意的问题(1)两个平面的法向量之间的角度不一定是二面角，但是两个法向量之间的角度的互补角是可能的。(2)求平面法向量的方法：待定系数法：设置法向量坐标，利用垂直关系建立坐标方程解。首先确定平面的垂直线，然后取相关线段对应的向量，确定平面的法向量。当平面的垂直线容易确定时，经常考虑这种方法。变体训练3.(2012北京东城第二模式)如图所示，矩形AMND平面与直角梯形MBCN平面相互垂直，mbcn，MNMB，MCCB，BC=2，MB=4，DN=3。(1)验证：AB

14、平面DNC；(2)计算二面角的余弦值.分析(1)证明了宏块数控、宏块平面数控、数控平面数控、所以MB平面DNC。因为AMND是长方形的。Ma平面DNC，dn平面DNC，所以MA平面DNC。和毫安兆=米，和毫安，兆平面AMB，因此，平面AMB平面DNC。和ab飞机AMB，所以AB飞机DNC。(2)已知平面AMND平面MBCN=Mn，DNMN，所以DN平面MBCN，和MNNC，所以空间直角坐标系N-XYZ是以点n为坐标原点建立的。根据已知的MC=2，mcn=30，可用Mn=，NC=3。然后D(0，0，3)，C(0，3，0)，b(，4，0)。=(0，3，-3)，=(，1，0)。假设DBC平面的法向量

15、n1是(x，y，z)，也就是说，让x=-1，然后y=，z=。所以n1=(-1，)。N2=(0，0，1)是平面NBC的法向量，因此cos =。因此，二面角d-BC-n的余弦为。史明雅提大学入学考试如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的边长度相等，CC1底ABC，m是侧边CC1的中点，因此不同平面上的直线AB1和BM形成的角度为A.B.C.D.分析表明三棱镜是一个正三棱镜。如果棱镜长度为2，=A，=B，=C，那么| A |=| B |=| C |=2，并且=，=，那么AC=22 COS=2回答一空间矢量与立体几何的结合是高考中的一个热点问题。高考空间向量的出现主要体现了其工具性，独立命题的可能

16、性很小。它一般用于解决立体几何中直线与平面位置关系的证明问题，以及空间角度和空间距离的大小计算。在四角锥的p-ABCD中，边PCD底ABCD，PDCD，底ABCD是右梯形，abCD,ADC=90，ab=ad=PD=1，CD=2。(1)验证：BC飞机pbd；(2)设E为侧边PC=上的一点，试着确定的值，这样二面角E-BD-P为45。分析(1)证明，因为侧PD CD底ABCD、PD底ABCD、PD底ABCD、PDAD，并且因为adc=90，即ADCD，所以图中所示的空间直角坐标系是以d为原点建立的。然后是甲(1，0，0)，乙(1，1，0)，丙(0，2，0)，丙(0，0，1)，所以=(1，1，0)，=(-1，1，0)。所以=0，所以BCDB.PD BC可以从PD底部ABCD获得。并且因为