高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组.ppt_第1页
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组.ppt_第2页
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组.ppt_第3页
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组.ppt_第4页
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组.ppt_第5页
已阅读5页，还剩7页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

1、6.3 正定二次型与正定矩阵,第六章 二次型,由上节的讨论可知,化一个实二次型为标准形, 用不同的可逆线性变换可得到不同的标准形,也就 是说二次型的标准形不唯一,但标准形中所含的项 数(即二次型的秩)是确定的.还可证明:同一个实二 次型的不同标准型中正系数的个数相同,负系数的 个数也相同,即有下面的定理.,定理1:,设二次型 f =xTAx 的秩为r, 若有两个实,的可逆变换 x=Cy 及 x=Pz 使,及,个数相等.,二次型的标准型中,正项项数 p 称为正惯性指 数,负项项数 r-p 称为负惯性指数,而正负惯性指数的差称为符号差, 所以这个定理也称为惯性定理.,定义1:,设有二次型f(x1

2、,x2 , ,xn) = xTAx ，,如果对任意的x0 (xRn),都有,（1） xTAx 0 ，则称 f 为正定二次型，相应地矩阵A称为正定矩阵；,（2） xTAx 0 ，则称 f 为负定二次型，相应 地矩阵A称为负定矩阵；,（3）xTAx 0 ，则称 f 为半正定二次型，相应 地矩阵A称为半正定矩阵；,（4）xTAx 0 ，则称 f 为半负定二次型，相应 地矩阵A称为半负定矩阵.,不是正定、半正定、负定、半负定的二次型称 为不定二次型.,定理2:,下面我们主要研究正定二次型的判别方法.,实二次型,为正定的充分必要,条件是：它的标准型的n个系数全为正.,证,设有可逆变换 x=Cy 将二次型

3、,化为标准形：,充分性,设ki0 (i=1,2,n),任给x0,故,则 y = C-1x 0 ,0,即 f 为正定二次型.,必要性,依次取y =e s (第 s 个单位坐标向量),s=1,2,n, 显然 Ces 0 , 因此,f (Ces) = ks 0,证毕.,推论,对称矩阵A为正定的充分必要条件是:,A的所有特征值均为正.,定理3:,(1)对称矩阵A为正定的充分必要条件,是:A的各阶顺序主子式都为正,即,0 ,0 ,0,(2) 对称矩阵A为负定的充分必要条件是:A的,奇数阶顺序主子式为负,偶数阶顺序主子式为正.,此定理称为霍尔维茨定理, 这里不予证明.,例1,判定二次型,f (x, y,

4、z) = 3x2+2y2+2z2+2xy+2xz 的正定性.,解,该二次型的矩阵为,解法一,因其特征多项式为,|A-E| = -(-1)(-2)(-4),故A的特征值1=1 , 2=2 , 3=4 , 均大于0,所以该二次型为正定二次型.,解法二,由于,a11=30 ,0,0,即A的各阶顺序主子式都大于0, 由定理4知,该二次型为正定二次型.,另外,此题也可将二次型化为标准型,各项系数均为正,该二次型是正定的.,例 2,问t取何值时, 二次型,为正定二次型?,解,二次型的矩阵为,要使二次型为正定二次型 , 则A的各阶顺序 主子式均为正 , 即,10 ,0,0,因此,解之得,t0,故当,t0,时,该二次型为正定二次型.,例3,判断下列对称矩阵的正定

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课设设计

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论