工业机器人第三章欧拉角DH参数.ppt

1、3.5坐标系和机器人常用的变换方程，3.6 RPY角和欧拉角(1) RPY角RPY角是描述船舶在海上航行时姿态的一种方法。以船舶的行驶方向为Z轴，绕Z轴的旋转(角度)称为横摇。围绕Y轴的旋转(角度)称为俯仰。垂直方向作为x轴，围绕x轴的旋转(角度)称为偏航，如图1-9右侧所示。机械手抓取姿态的调整方法相似(如图1-10所示)，所以习惯上称之为RPY角度法。1-9滚转、俯仰和偏转，1-10机器人手滚转、俯仰和偏转。描述可移动坐标系方向的规则如下：可移动坐标系的初始方向与固定坐标系一致。首先，围绕固定坐标系的X轴旋转可移动系统，然后围绕固定坐标系的Y轴旋转，最后围绕固定坐标系的Z轴旋转，如图1-1

2、1所示。由于这三次旋转都是相对于固定坐标系的，所以得到相应的旋转矩阵：1-11 RPY角，其中：矩阵相乘得到：表示旋转矩阵是围绕固定坐标系的三个轴依次旋转得到的，所以称为绕固定轴X-Y-Z-Y-Z旋转的RPY角法.(11)，现在我们将讨论反问题：从给定的旋转矩阵中找到绕固定轴的等效旋转角。公式中有三个未知数和九个方程，其中六个不是独立的，所以我们可以用其中的三个来解这些未知数。从等式(11)和(12)可以看出，如果cos为0，每个角度的反正切表达式为：其中Atan(y，x)是二元反正切函数。通常，公式(13)中的根公式有两个解，我们总是取-900到900中的一个。欧拉角1绕运动系统X-Y-Z旋

3、转的欧拉角描述如下：运动坐标系的初始方位与参考坐标系的初始方位相同。首先，运动系统绕Z轴旋转，然后绕Y轴旋转，最后绕X轴旋转，如图1-12所示。在本说明中，每次旋转都是相对于移动坐标系的轴，而不是固定的参考系统。这个立方旋转角叫做欧拉角。因此，我们可以得到欧拉变换矩阵，欧拉角为1-12，绕着Z-Y-X旋转，欧拉变换矩阵：其中：乘以矩阵得到：这与绕着固定轴X-Y-Z-Y-Z旋转的结果完全相同。这是因为当绕着固定轴的旋转顺序与绕着移动轴的旋转顺序相反，并且旋转角度相应相等时，得到的变换矩阵是相同的。因此，用Z-Y-X欧拉角和固定轴X-Y-Z旋转角来描述运动坐标系是完全等价的。这个坐标系的运动描述如

4、下：首先，坐标系与参考坐标系重合。首先使运动系统绕Z轴旋转，然后绕运动系统的Y轴旋转，最后绕运动系统的Z轴旋转，如图3-9所示。欧拉角绕Z-Y-Z旋转，我们可以得到：类似地，求Z-Y-Z的欧拉角的逆方法如下：如果sin为0，那么：让：(1)Zi坐标轴是沿i 1关节的运动轴。(2)轴2)Xi沿着子和子-1之间的公共垂直线，指向远离子-1的轴。(3)易轴方向是根据子右手直角坐标系建立的。(4)公共垂直线的长度ai是两个轴Zi-1和Zi之间的最小距离，一个截面称为ai作为连杆长度。(5)两条公共垂直线ai-1和ai之间的距离称为连杆距离di。(6)Xi-1轴与Xi的夹角为I，绕子-1轴的右旋为正，一

5、般称为连杆角度。(7)Zi-1轴与Zi之间的角度为I，绕xi轴的右旋转为正，I称为扭转角。3.7、旋转连杆参数、机器人连杆参数和DH坐标变换。如果两个杆由一个移动副连接，连杆组件坐标系的建立和参数的调整如图2-2所示。图中符号所代表的含义仍然与图2-1中的含义相同。由于连杆长度ai对于移动副来说是没有意义的，所以它被设置为零，并且所形成的分量根据上述模型，我们给所有的连杆分配坐标系，并且我们可以建立i-1和I坐标系之间的转换关系。应该注意的是，尽管轴线Zi穿过关节i 1的轴线，但是坐标系伊稀Zi固定在连杆i1上并且随着连杆i1的运动而运动，1转动连杆坐标系及其D-H坐标变换、2移动连杆坐标系及

6、其D-H坐标变换、 第三节建立机器人机构运动学方程的实例根据前一节所述的方法，首先建立机器人各杆的部件坐标系，然后得到齐次变换矩阵Ti。 T矩阵只能描述连杆坐标系之间相对平移和旋转的齐次变换。T1描述第一连杆相对于特定坐标系(例如机身)的姿态，而T2描述第二连杆(部件)坐标系相对于第一连杆(部件)坐标系的姿态。如果有一个六连杆机器人，机器人手的末端(即连杆坐标系6)相对于固定坐标系的变换可以表示为，一个六连杆机器人有六个自由度(每个连杆有一个自由度)。机器人的最后一个部件(手)有三个自由度来确定其位置，三个自由度来确定其方向。对于如图2-3所示的机器人手，我们可以将描述其位置和方向的坐标系的原

7、点设置在两个手指的中点，并使用向量P来描述这个原点。机器人的姿态由三个向量n、o和a描述。图2-3手抓取坐标系，当手处于初始位置和姿态时，向量Z指向手接近物体的方向。单位向量a称为逼近向量。向量y的单位向量o称为方向向量。最后一个单位向量称为正交向量n.上述矢量构成右手矢量积，由矢量的矢量积表示：n=oa。这样，变换T60可以由下面的矩阵表示为：机器人的姿态方程可以根据前两个公式建立。坐标转换图如图2-4所示。图2-4机器人手坐标转换图。下面是求解两个机器人手的运动方程的一个例子。例1 PUMA560六自由度机械手由旋转坐标臂(RRR)和欧拉腕组成。其结构示意图见图2-5。关节变量是1，2和6

8、，如果我们知道PUMA560 6自由度机械手是1900，200，3900，400，500，600，a2431.8mm毫米，d2149.09mm毫米，d4433.07mm毫米，D656.25毫米。图2-5 PUMA-560机械手坐标系，解决方案(1)根据图2-5所示的DH坐标系设置机器人各杆的坐标系，建立各杆的坐标系。将o0z0设置在接头1的旋转轴上，o0和o1重合；O1z1 o2z2沿着关节2和3的旋转轴，o1z1 o2z2。z3和z2轴的交点为O3；O2和o3重合，d30、o3x3y3z3没有放置在臂的末端。O3z3是手腕的第一个旋转轴。z4和z3的交点为o4，位于臀部末端，是手腕结构的中心

9、，o4z4是手腕的第二个旋转轴。z5和z4的交点是o5。O4和o5重合，o5z5是手腕的第三个旋转轴。O6x6y6z6是终端坐标系，它考虑了刀具长度d6。y6、x6和z6的单位向量分别表示为n、o和a。(2)确定连杆的D-H参数和关节变量，(3)求出两杆之间的位姿矩阵Ai根据表2-1所示的D-H参数和公式(1)，可以求出Ai、其中：(4)求出最终的杆位姿矩阵、其中：200、3900、400、500、600，并将相关常数代入T6矩阵，有：例2斯坦福机器人的结构图如图2-6所示，它由球坐标臂组成找出Ai (i=1，2，3，4，5，6)和T6的表达式。解决方案(1)设置机器人各杆的坐标系根据DH坐标

10、系建立各杆的坐标系，如图2-6所示。在该图中，z0轴沿着关节1的轴，而zi轴沿着关节(i 1)的轴，因此所有轴xi都平行于的x0轴(2)确定连杆和关节变量的D-H参数。斯坦福机器人的二维参数见表2-2、表2-2。(3)求出两杆之间的姿态矩阵Ai。根据表2-2所示的D-H参数和公式(1)，我们可以求出Ai、(4)求出机器人的运动学方程。对于具有N个自由度的操作臂，其运动学方程可以写成：方程的左侧表示末端连杆相对于参考坐标系的位置和姿态。根据机器人各关节变量的qi(i1，2，n)的值，可以计算出机器人末端的位姿方程，称之为机械手的运动分析或正向运动学。相反，为了使机器人所持工具的姿态满足给定的要求

11、并计算相应的关节变量，这个过程称为逆运动学求解。从工程应用的角度来看，运动学逆解往往更为重要，是机器人运动规划和轨迹控制的基础。前向运动学的解是唯一确定的，即在给定每个关节变量后，手臀部末端的爪或工具的姿态是唯一确定的；然而，运动学逆解通常有多个解，或者可能没有解。另外，对于运动学逆解，用某种方法求解是不够的，对各种计算方法的计算效率和精度有很多要求。以PUMA机器人为例，讨论机器人的逆运动学求解。示例3为了在示例1中找到PUMA560机器人的逆运动学解，PUMA机器人的运动学方程(6)可以写成，在矩阵方程(7)中，左侧矩阵元素nx、pz是已知的，而右侧六个矩阵是未知的，这取决于关节变量1、6

12、。为了求解1和3，矩阵方程(7):被左乘以逆矩阵，因此有：其可以通过公式(5)获得。通过使上述公式两边的(2，4)元素相等，可以得到：其中：(8)，(9)，将公式(9)代入公式(8)，你可以得到3360，所以你可以解1:其中加号和减号分别为，让我们使矩阵两边的(1，4)元素和(3，4)元素相等，得到下面的等式：(10)，其通过公式(10)和公式(8)的平方和获得，其中：(11)被消去让上述公式两边的矩阵元素(1，4)和(2，4)相等，得到：(12)、(14)，(13)，因为c23和s23表达式的分母相等。因此，我们得到4个可能的解2:因为矩阵方程(12)的左边是已知的，所以方程两边的元素(1，

13、3)和(3，3)是相等的，我们可以得到4:只要s5 0，我们就可以得到4:(3)在解5和4之后，我们可以继续把左边的表达式乘以左边。(17)，使等式(17)两边的(1，3)元素和(3，3)元素相等，并得到：(4)解6，用上述方法继续解6，并使等式两边的(3，1)元素和(1，1)元素相等.这是因为解1/3时有符号，所以有可能得到4个解。下图显示了这四种解决方案的相应形式。第五节机器人的差动运动和差动变换在机器人的操作和控制中，由于各种原因，机器人末端执行器的姿态与目标之间会产生姿态误差。为了补偿这个位姿误差，末端执行器需要产生微小的运动。此外，机器人在操作时，有时会遇到两个不同坐标系之间的微位移

14、关系问题。例如，当使用照相机时，照相机安装在特定的杆上，并且照相机所拍摄的微位移由固定到照相机的坐标系来描述。待补偿末端执行器的微位移由基本坐标系描述，末端执行器的微位移由关节空间中各关节的微动实现，因此存在不同坐标系之间的微位移关系问题。1.变换的微分假设是有一个变换，其元素是变量的函数，这个变换的微分是由变换矩阵的每个元素的偏导数乘以这个变量的微分形成的变换矩阵。假设变换t是变量x的函数，变换t的微分是：2.微运动、微平移和微旋转所谓微运动是指无限小的运动，即无限小的运动和无限小的旋转。它可以用给定的当前坐标系矩阵t或基本坐标系来描述。给定坐标系矩阵T，微分运动后它变成T dT。使用相对于

15、基本坐标系的左乘法，T dT可以表示为：其中，是基本坐标系描述的微运动dx，dy，dz的运动变换。它是由基本坐标系描述的绕K轴的微旋转D的旋转运动变换。从上面的公式中，得到：I是44的单位矩阵，它表示微分平移和微分旋转的变换。差动运动的齐次变换矩阵为：差动旋转的齐次变换矩阵为：绕k轴旋转d相当于分别绕x、y和z三个轴旋转x、y和z。让kx d=x，ky d=y，kz d=z，代入上面的公式，得到：1。例如，假设有一个相对于基本坐标系具有微分平移和微分旋转的坐标系A，并试图找到具有D和相应的A的微分变换。首先，构造微分平移和旋转变换。讨论了三个直角坐标系和两个直角坐标系之间的微分变换。由参考坐标系和当前T坐标系描述的微分运动分别为和。不同坐标系的微分运动和之间的关系如下：因此，像前面的变换方程一样，这个变换方程可以用一个变换图来表示。上述公式也可以直接从图表中获得。等式2很重要，因为它将不同坐标系之间的差异变化联系起来。首先，我们在方程的右端展开矩阵乘积，这在展开过程中被简化，并且我们可以得到微分变化向量d的元素和。变换t被称为微分