高中数学必修三课件1.3算法案例.ppt

1、算法案例,想一想，如何求8251与6105的最大公约数？,例、求18与24的最大公约数：,短除法,案例1、,8251=61051+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,1813=3335+148,333=1482+37,148=374+0,例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数,225=1351+90,135=901+45,90=452,显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数,显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数,思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？,S1：用大数除以小数,S

2、2：除数变成被除数，余数变成除数,S3：重复S1，直到余数为0,解：,辗转相除法（欧几里得算法）,辗转相除除法的程序框图与程序,开始,输入m,n,r=mMODn,m=n,n=r,r=0？,输出m,结束,否,是,INPUT m,n DO r=mMODn m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END,九章算术更相减损术,算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。,第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。,第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继

3、续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数或这个等数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数。,例、用更相减损术求98与63的最大公约数,解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减。,= 7,所以，98和63的最大公约数等于7。,（98，63） =（63，35）,98-63=35,63-35=28,=（35，28）,35-28=7,=（28，7）,28-7=21,=（21，7）,21-7=14,=（14，7）,14-7=7,=（7，7）,程序： INPUT “a,b”;a,b i=0 WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0 a=a/2 b=b/2 i=i

4、+1 WEND DO IF ba THEN t=a a=b b=t END IF a=a-b LOOP UNTIL a=b PRINT a*2i END,秦九韶（约1202年1261年）南 宋官员、数学家，与李冶、杨辉、 朱世杰并称宋元数学四大家。主要成就:1247年完成了数学名著数书九章，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。秦九韶算法就是中国古代数学的一枝奇葩。直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法 。 美国著名科学史家萨顿说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。,案例2、秦九韶算法,知识探究(一):秦九韶算法的

5、基本思想,思考1:对于多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1，怎么样求f(5)的值呢？,思考2:利用后一种算法求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的值，这个多项式应写成哪种形式？,f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0,(anxn-1+an-1xn-2+a2x+a1)x+a0,=(anxn-2+an-1xn-3+a2)x+a1)x+a0,=,= ,=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0,次乘法运算，,次加法运算.,n,n,例1 已知一个5次多项式为 用秦九韶算法求f(5)的值.,f(x)=(4x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)

6、x-0.8.,v1=,v2=,v3=,v4=,v5=,所以f(5)=14130.2.,解：根据秦九韶算法，把多项式改写成,v0=,4；,45+2=,22；,225+3.5=,113.5；,113.55-2.6=,564.9；,2826.2；,564.95+1.7=,14130.2.,2826.25-0.8=,求f(4)的值.,f(x)=(3x+2)x-9)x-11)x+1,解：根据秦九韶算法，把多项式改写成,v1=,v2=,v3=,v4=,f(4)=709.,v0=,3；,34+2=,14；,144-9=,47；,474-11=,177；,709；,1774+1=,程序？,INPUT “n=”

7、；n,INPUT “an=”；a,INPUT “x=”；x,v=a,i=n-1,WHILE i=0,INPUT “ai=”；a,v=v*x+a,i=i-1,WEND,PRINT v,END,是,PRINT “i=”；i,问题1我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间又有什么联系呢?,进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的一种记数系统，约定满二进一,就是二进制;满十进一,就是十进制;满十六进一,就是十六进制;等等.,“满几进一”,就是几进制,几进制的基数就是几.,可使用数字

8、符号的个数称为基数.基数都是大于1的整数.,案例3：进位制,一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式,anan-1a1a0(k),k进制的数也可以表示成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即,anan-1a1a0(k)=ankn+an-1kn-1 +a1k1+a0k0 .,注意这是一个n+1位数.,例1:把二进制数110011(2)化为十进制数.,分析:先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果.,解:110011(2) =125+124+023+022+121+120 =132+116+12

9、+1=51.,k进制数转化为十进制数的方法,先把k进制的数表示成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即,anan-1a1a0(k) =ankn+an-1kn-1+a1k1+a0k0 .,再按照十进制数的运算规则计算出结果.,课堂练习：,例：10231（4）=_,235（7）=_,301,124,例2:把89化为二进制的数.,十进制数转化为k进制数的方法,44 1,例2:把89化为二进制的数.,我们可以用下面的除法算式表示除2取余法:,22 0,11 0,5 1,2 1,1 0,0 1,把算式中各步所得的余数从下到上排列,得到,89=1011001(2).,这种方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法,称为除k取余法.,解：,例3:把89化为五进制的数.,解:以5作为除数,相应的除法算式为:,17 4,3