平面向量数量积的物理背景及其含义 教学设计

1、.平面矢量数量积的物理背景及其意义教学设计一、教授分析如上所述，矢量的线性运算具有非常明确的几何意义，因此可以使用矢量运算来讨论某些几何元素的位置关系。自然的想法是两个矢量是否可以乘法，因为矢量可以加法和减法。如果可能，计算结果应该是什么？距离和角度也是描述几何元素(点、直线、面)之间测量关系的基本量。需要矢量运算来反映矢量的长度和两个矢量之间的角度关系。向量概念的引入与物理研究密切相关，物理学家认为，如果物体在力F的作用下产生变位S(图1)图1w=| F | | s | Coss工作W是同时包含“长度”和“角度”的数量。仅与向量F，s相关。熟悉数的运算将常识解释为两个矢量的运算，从而启发引入

2、矢量的数量积定义。Ab=| a | | b | cos。这是一个既满足人们熟知的计算方法(如交换法、分配法等)，又能更简洁地表达几何的很多结果的好定义。矢量的数量积是一种新的矢量运算，和矢量的加、减、数乘法一样，具有明显的物理意义、几何意义。但是与矢量的线性运算不同，结果不是矢量，而是数量。二、教育目标1、知识和技能：掌握平面向量的数量积和几何意义。掌握平面矢量数量积的重要特性和运算规律。了解平面矢量的数量积可以帮助您处理有关长度、角度和垂直的问题。掌握矢量的垂直条件。2、流程和方法：通过物理中的“操作”等例子，理解平面矢量数量积的意义和物理意义。体会平面向量的数量积和向量投影的关系。3、情感

3、态度和价值：与物理学中的“球”相比，抽象向量的数量，培养学生的抽象概括能力。三、重点难点教育焦点：平面矢量数量积的定义。教学难点3360平面矢量数量积的定义及其算法理解及平面矢量数量积的应用四、教育假设(a)引入新课想法1。我们前面知道的矢量概念的原型是物理的力、速度、变位、几何的方向段等概念。矢量是大小和方向都有的量，与物理力学、运动学等自然相连。将矢量这个工具应用到物理上，物理问题的解决可能会更简单、更明确，矢量知识也可能更简单，并且通过数学思维方式观察相关物理现象，研究相关物理问题，可以更深入地了解物理问题。力、速度、加速度、变位等物理现象都有很多矢量，这些物理现象都可以用矢量研究。在物

4、理课上，我们学了球的概念。也就是说，如果物体在力F的作用下产生变位S，那么力F所做的工作W可以如下计算：w=| F | | s | Coss其中是F和S之间的角度。我们知道力和位移都是向量，球是标量(数量)。因此，从力所做的事情开始，我们自然地引入矢量数量积的概念。事故2。如上所述，任意两个矢量可以加法和减法，两个矢量的和和差仍然是一个矢量。我们可以在任意两个实数之间组合，进行加法、乘法、除法、除法、除法、除法、除法、除法、除法、除法，如果可以的话，计算结果是什么？(b)推进新课堂，探索新知识，毽子提问ab的结果是矢量还是数量？它叫什么名字？从所学的知识可以看出，任何运算都有相应的计算方法，数

5、量积是矢量的乘法运算，它满足实数的乘法运算方法吗？我们对任意a，br的常数(a b)2=a2 2ab b2，(a b)(a-b)=a2-b2。对任意矢量a，b也知道是否有以下结论(1)(a b)2=a2 2ab B2；(2)(a b)(a-b)=a2-b2。活动：知道两个不是0牙齿的矢量A和B，我们将数量| A | | B | COS称为A和B的数量积(或内在)，也就是abab=| a | | b | Coss(0)。其中是a和b之间的角度，| a | Coss(| b | Coss)是矢量a在b方向(a方向)上的投影。图2显示了两个矢量的数量积的关系，并且矢量角度的范围为0 图2教师和学生一

6、起探索的活动中要特别安排学生，注意：(1)两个非0牙齿向量的数量积不是向量，而是数量，其值是两个向量的模和两个向量的角度乘以馀弦。(2)矢量0和任意矢量的数量积为0，即a0=0。(3)符号“”在向量操作中不是乘法，不能省略或替换为“”。(4)0为cos0时的ab0时，cos0，所以ab0 .与学生一起探索和证明数量积的计算方法。如果a、b、c和实数已知，则向量的数量积满足以下运算方法：ab=ba(交换法)；(a)b=(ab)=a(b)(数乘结合法)；(a b)c=ac BC(分配法)。特别是在：(1) a0时，不能推给ab=0的B必须是0向量。因为垂直于a的非零牙齿向量B都是ab=0。图3(2

7、)实数A，B，c(b0)已知时，ab=bca=c。但是，向量的数量积的推论不正确。也就是说，ab=bc不能推出a=c。在图3中很容易看到。虽然AB(3)对于实数a、b、c，(ab)c=a(BC)；但是，对于矢量a、b、c，(ab)c=a(bc)不成立。这是因为(ab) c表示与c共线的矢量，a (BC)表示与a共线的矢量，c不与a共线讨论结果为：数量，数量乘积。满足ab=ba(交换法)的数量产品；(a)b=(ab)=a(b)(数乘结合法)；(a b)c=ac BC(分配法)。(1)(a b)2=(a b)(a b)=ababbbb=a2 2abb2(2)(a b)(a-b)=aa-ab ba-

8、bb=a2-b2。提出问题如何理解矢量投影和数量积？它们和矢量有什么关系？可以用“投影”解释数量积的几何意义吗？活动：教师引导学生总结投影的概念，结合“探究”，使学生可以使用平面向量的数量乘的定义，从数和形的两个茄子角度进行探究研究。教师可以提出图形，得出结论，注意“投影”的概念，如图4所示。图4: | B | COS 称为A方向上的矢量B投影。引导学生思考：1投影也是数量，不是向量。2 为锐角时，投影为正。为钝角时的投影为负值。为直角时，投影为零。=0时投影为| b |=180时的投影是-|b|。教师结合学生对“投影”的理解，使学生可以总结矢量数量乘积的几何意义3360数量乘积ab等于A的长

9、度乘以B在A方向的投影| B | b | cos的乘积。因为让学生认为：牙齿投影值可以是正数、负数或0牙齿，所以矢量数量积的结果称为实数。教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质：将a，b设置为两个非0牙齿的矢量，e是与b方向相同的单位矢量。1ea=ae=| a | cos。2aBab=0。如果3 a与b方向相同，则ab=| a | | b |如果a与b反向，则ab=-|a|b|。特别是aa=|a|2或|a|=。4cos=。5 | ab | | a | | b |。上述性质要求学生结合数量滴定的定义，尝试自行作证，教师提供必要的补充和提示，并在柔道过程中理解和记住这些性质。讨论结果：有点(见活

10、动)。矢量的数量积的几何意义是数量积ab是A的长度和B在A方向投影的| B | b | cos的乘积。(c)应用程序示例想法1范例1已知平面上的3点a，b，c满意度|=2，|=1，|=，计算值。活动：教师指导学生利用矢量的数量积结合两个矢量的夹角进行解决，首先分析问题设置，然后寻找必要的条件。已知的、解决方案3360被称为|2 |2=|2，因此ABC是直角三角形。和ACB=90，因此，sin ABC=，sin BAC=。ABC=60，BAC=30。和的角度为120，的角度为90，的角度为150。所以=21cos120 1cos90 2cos150=-4。评论：确定两个矢量的包含角。首先要转换向

11、量，使起点相同，然后调查角度的大小，而不是简单地把它看作两个线段的夹角。例如，在示例中，和夹角为120，而不是60牙齿。变式训练已知的|a|=6，|b|=4，a和b之间的角度为60，(a 2b)(a-3b)。解决方案3360(a 2b)(a-3b)=aa-ab-6bb=|a|2-ab-6|b|2=| a | 2-| a | | b | Coss-6 | b | 2=62-64cos60-642=-72。范例2已知的|a|=3，|b|=4，并且a和b不共线，如果k值为什么向量a kb和a-kb徐璐互垂？解析：a kb和a-kb徐璐互垂的条件为(a kb)(a-kb)=0。即a2-k2b2=0。a

12、2=32=9，b2=42=16，9-16k 2=0。k=。也就是说，当k=时，a kb和a-kb徐璐垂直。评价：问题主要调查矢量数量性质的垂直要求。变式训练已知向量A，B符合：a2=9，ab=-12，得出|b|的范围。解决方案3360| a | 2=a2=9，| a |=3。另外ab=-12，| ab |=12。| ab | | a | | b |、123 | b |，| b | 4。因此，|b|的范围为4，。想法2示例1在四边形ABCD中，已知=a、=b、=c、=d、ab=cd=bc=da。四边形ABCD的形状怎么样？解决方案3360=0，A b c d=0。a b=-(c d)。可以从上面

13、获得的(a b)2=(c d)2，也就是a2 2ab b2=c2 2cd D2。另外ab=cd，所以a2 b2=c2 D2。同样，可以得到a2 d2=b2 C2。以上两个表达式得出a2=c2，b2=d2。也就是说，|a|=|c|和|b|=|d|，也就是说，AB=CD，BC=DA。ABCD是平行四边形。因此=，即a=-C另外，ab=bc=-ab，Ab=0，ab，即.总而言之，ABCD是矩形的。综述：牙齿问题研究了矢量数量积的性质应用，利用矢量数量积解决垂直问题，然后结合四边形的特征判断四边形的形状。范例2已知的A，B是两个非0牙齿向量，并取得|a|-|b|=|a b|，向量B与A-B之间的角度。

14、活动：教师对学生使用矢量减法的平行四边形法则绘制以a，b为邻居的ABCD，通过=a，=b，=a b，=a-b . | a |-| b |=| a b |解决方案3360 b |=| a b |，| b |=| a |，| B2=(a b)2。| b | 2=| a | 2 2ab | b | 2。ab=-| b | 2。B (a-b)=ba-B2=| b | 2-| b | 2=| b | 2，1(a-b)2=a2-2ab B2=| b | 2-2()| b | 2 | b | 2=3 | b | 2，相反，|a-b|2=(a-b)2=3|b|2，| a-b |=3 | b |。cos =替代，cos =-。此外，0，、=。评论：牙齿问题是利用平面矢量的数量解决夹角问题，解决结束后，教师及时指导学生反思、总结和体会牙齿解法。变式训练向量c=ma nb (m，n-r)，已知| a |=2，| c |=4，a-c，BC=-4，b和c之间的角度为120解决方案3360 a c，ac=0。另外，c=ma nb，也就是说| c | 2=MAC NBC。| c | 2=NBC。已知|c|2=16，bc=-4，16=-4n。n=-4。因此c=ma-4b。BC=| b | | c | cos 120=-4，| b | 4()=-4。| b |=2。