中考数学总复习《实数》专题基础知识回顾一

1、中考数学总复习中考数学总复习 专题基础知识回顾一专题基础知识回顾一 实数实数 一、单元知识网络 有理数、无理数、实数、科学记数法、相反数和绝对值、数轴上的点与数的对应。 二、考试目标要求： 了解有理数、无理数、实数的概念；会比较实数的大小，知道实数与数轴上的点一一对应，会用科 学记数法表示有理数；理解相反数和绝对值的概念及意义.进一步，对上述知识理解程度的评价既可以用 纯粹数学语言、符号的方式呈现试题，也可以建立在应用知识解决问题的基础之上，即将考查的知识、方 法融于不同的情境之中，通过解决问题而考查学生对相应知识、方法的理解情况 .了解乘方与开方的概念， 并理解这两种运算之间的关系.了解平方

2、根、算术平方根、立方根的概念，了解整数指数幂的意义和基本 性质. 具体目标： 1.有理数 (1)理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小. (2)借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值(绝对值符号内不含字母). (3)理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步为主). (4)理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算. (5)能运用有理数的运算解决简单的问题. (6)能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断. 2.实数 (1)了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根. (2)了解开方与乘方互

3、为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立 方根，会用计算器求平方根和立方根. (3)了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一对应. (4)能用有理数估计一个无理数的大致范围. (5)了解近似数与有效数字的概念.在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对 结果取近似值. 三、知识考点梳理 知识点一、实数的分类知识点一、实数的分类 1.按定义分类： 1 / 18 2.按性质符号分类： 注：0 既不是正数也不是负数. 3.有理数： 整数和分数统称为有理数或者“形如 4.无理数： 无限不循环小数叫无理数 5.实数： 有理数和无理数统称为实数 知识点二、

4、实数的相关概念知识点二、实数的相关概念 1.相反数 (m，n 是整数 n0)”的数叫有理数 (1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数0 的相反数是 0. (2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数 轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称. (3)互为相反数的两个数之和等于0、b 互为相反数 2.绝对值 (1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0可用式子 0. 2 / 18 表示为： (2)几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离距离是一个非负数，所

5、以 绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数用式子表示：若a 是实数，则 0 3.倒数 (1)实数的倒数是；0 没有倒数； .(2)乘积是 1 的两个数互为倒数a、b 互为倒数 4.平方根 (1)如果一个数的平方等于a， 这个数就叫做 a 的平方根 一个正数有两个平方根， 它们互为相反数； 0 有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根a(a0)的平方根记作 (2)一个正数 a 的正的平方根，叫做 a 的算术平方根a(a0)的算术平方根记作 5.立方根 如果 x3，那么x 叫做 a 的立方根一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立 方根仍是零 知识点三

6、、实数与数轴数轴定义知识点三、实数与数轴数轴定义： 规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数 知识点四、实数大小的比较知识点四、实数大小的比较 1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大. 2.正数都大于 0，负数都小于 0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而 小. 3.对于实数 a、b，若0 0 0 ab； a； ab. 4.对于实数 a，b，c，若 ab，bc，则 ac. 5.无理数的比较大小： 利用平方转化为有理数：如果 ab0，a2b2 3 / 18

7、 ab； 或利用倒数转化：如比较 知识点五、实数的运算知识点五、实数的运算 1.加法 与. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的 加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同 0 相加，仍 得这个数 2.减法 减去一个数等于加上这个数的相反数 3.乘法 几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数 个时，积为负几个数相乘，有一个因数为0，积就为 0 4.除法 除以一个数，等于乘上这个数的倒数两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除0 除以 任何一个不等于 0

8、 的数都得 0 5.乘方与开方 (1)所表示的意义是 n 个 a 相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负 数 (2)正数和 0 可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0 都可以开立方 (3)零指数与负指数 6.实数的六种运算关系 加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算；乘方与开方互为逆运算. 7.实数运算顺序 加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算这三级运算的顺序是三、二、一如 果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算 8.实数的运算律 加法交换律： 加法结合律：()() 乘法交换律： 乘法结合律：()() 4 /

9、18 乘法分配律：() 知识点六、有效数字和科学记数法知识点六、有效数字和科学记数法 1.近似数： 一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到哪一位 2.有效数字： 一个近似数，从左边第一个不是0 的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似 数的有效数字 3.科学记数法： 把一个数用 四、规律方法指导四、规律方法指导 1.数形结合思想 实数与数轴上的点一一对应，绝对值的几何意义等，数轴在很多时候可以帮助我们更直观地分析题 目，从而找到解决问题的突破口. 2.分类讨论思想 （算术）平方根，绝对值的化简都需要有分类讨论的思想，考虑问题要全面，做到既不重复又不遗漏 . 3.从实

10、际问题中抽象出数学模型 以现实生活为背景的题目，我们要抓住问题的实质，明确该用哪一个知识点来解决问题，然后有的 放矢. 4.注意观察、分析、总结 对于寻找规律的题目，仔细观察变化的量之间的关系，尝试用数学式子表示规律 .对于阅读两量大的 题目，经常是把规律用语言加以叙述，仔细阅读，找到关键的字、词、句，从而找到思路 . 经典例题精析. 考点一、实数概念及分类考点一、实数概念及分类 1. （2010 上海）下列实数中，是无理数的为（ ）A. 3.14 B. 思路点拨：考查无理数的概念. 【答案】C C.D. (110，n 为整数)的形式记数的方法叫科学记数法 2.下列实数、60、3.14159、

11、中无理数有( )个A1 B2 C3 D4 答案：C.无理数有 60、. 5 / 18 总结升华：对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断 举一反三：举一反三： 【变式 1】把下列各数填入相应的集合里： (1)自然数集合： (2)整数集合： (3)分数集合： (4)无理数集合： 答案：(1)自然数集合： (2)整数集合： (3)分数集合： (4)无理数集合： 3 （2010 北京）右图为手的示意图， 在各个手指间标记字母 A，B，C，D请你按图中箭头所指方向(即 ABCDCBABC的方式)从 A 开始数连续的正整数 1，2，3，4，当数到 12 时，对应 的字母是 ；当字母C

12、第 201 次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第 21 次出现时(n 为正整数)，恰好数 到的数是 （用含 n 的代数式表示） 思路点拨：字母 C 第“奇数”次出现时，恰好数到的数是这个“奇数”的3 倍。 【答案】B,603，6n3 考点二、数轴、倒数、相反数、绝对值考点二、数轴、倒数、相反数、绝对值 4 （2010 湖南益阳）数轴上的点A 到原点的距离是6，则点 A 表示的数为（ ）A.或 B. 6 C.D.或思路点拨: 数轴上的点 A 到原点的距离是 6 的点有两个，原点 的左边、右边各有一个。 6 / 18 【答案】A 5(1)a 的相反数是，则 a 的倒数是 (2)实数 a、b 在

13、数轴上对应点的位置如图所示: 则化简 思路点拨: (1)注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个数要改变 分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0，互为倒数的两个数乘积等于1 来计算.由 a 的相反数是，所以，的倒数为 5. (2)此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的 数的性质符号. 由图知： 答案：(1)5；(2). 举一反三：举一反三： 【变式 1】化简-(-2)的结果是( )A-2 B 答案：选 D. C D2 【变式 2】若 1 与 m3 互为相反数，则.思路点拨：互为相反数的两个数之

14、和等于0.13=0，解 得 1. 答案：1. 【变式 3】-2 的倒数是.思路点拨：注意倒数与相反数的区别，乘积为1 的两个数互为倒数.答 案：. 【变式 4】的绝对值是( )A B C D 答案：选 B. 【变式 5】若 11，则 x 的取值范围是( )Ax1 Bx1 Cx1 答案：选 B. 总结升华： 7 / 18 (1)考查绝对值的意义； (2)考查绝对值的非负性，绝对值具有以下性质： 0，即绝对值的非负性；若(a0)，则a，即绝对值的原数的双值性. 【变式 6】下列说法正确的是( ) A-1 的倒数是 1B-1 的相反数是-1C1 的算术平方根是 1D1 的立方根是1 思路点拨：本例考

15、查了实数中涉及的四个重要概念：互为倒数、互为相反数、算术平方根、立方根 .解 答时，一方面应从概念蕴含着的数学关系式入手，可知 -1 的倒数是-1，-1 的相反数是 1；另一方面根据定 义具有的双重性，可知 1 的算术平方根是 1，1 的立方根是 1. 答案：选 C. 【变式 7】甲、乙两同学进行数字猜谜游戏：甲说一个数a 的相反数就是它本身，乙说一个数b 的倒 数也等于它本身，请你猜一猜. 解析：欲求，首先应知道 a、b 的值.由于甲、乙两同学所说的内容隐含着a 和 b 的值，因 此易得，0，1，11. 的点是 .【变式 8】(长沙市)如图，数轴上表示数 思路点拨：实数与数轴上的点一一对应，

16、表示正数的点在原点 的右侧，.答案：B.考点三、近似数、有效数字、科学记数法 6(1)根据统计，某市 2008 年财政总收入达到 105.5 亿元.用科学记数法(保留三位有效数字)表示 105.5 亿元约为( ) A1.0551010 元B1.061010 元C1.061011 元D1.051011 元 (2)2007 年 5 月 3 日， 中央电视台报道了一则激动人心的新闻， 我国在渤海地区发现储量规模达10.2 亿吨的南堡大油田，10.2 亿吨用科学记数法表示为(单位：吨)( ) A1.02107B1.02108C1.02109D1.021010 思路点拨：解答本题的关键是正确理解近似数的

17、精确度及有效数字等概念.精确度的形式有两种： (1)精确到哪一位；(2)保留几个有效数字.一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位； 一个近似数，从左边第一个不为0 的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字. 一个数的近似数，常常要用科学记数法来表示.用科学记数法表示数的有效数字位数，只看乘号前的部分， 因此(1)中 105.5 亿元=10 550 000 000 元，用科学记数法表示为1.0551010，保留三个有效数字为 1.06 1010；(2)中应表示为 1.02109. 8 / 18 答案：(1)B；(2)C.举一反三： 【变式 1】废旧电池对环境的

18、危害十分巨大， 一粒纽扣电池能污染 600 立方米的水(相当于一个人一生 的饮水量).某班有 50 名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生 一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为立方米. 解：60050=30000=3104.总结升华：本题既考查有理数的乘法运算，又考查科学记数法以及 分析问题的能力.从数学的角度来考查废旧电池对环境造成的危害，促使我们从小就要热爱大自然，树立 环保意识. 【变式 2】用科学记数法表示 0.00608 的结果是( ) A B C D 思路点拨：首先选项 C、D 所表示的记数方法不是科学记数法，因为它们中的a 不符合只有

19、一位整数 数位，B 中的 n 值错误.科学记数法只是一种表示数的方法，并没有改变数的大小. 答案：A. 【变式 3】近似数 0.030 万精确到位，有个有效数字，用科学记数法表示记作万. 思路点拨：带有单位或以科学记数法形式给出的近似数，首先要把它转化为以“个”为单位的数，再 确定其精确的位数.如 十位，而不是百位. 答案：十；2；. ，即“1”后面的第一个“0”在十位上，因此精确到 7 （2010 安徽芜湖）2010 年芜湖市承接产业转移示范区建设成效明显，一季度完成固定资产投资238 亿元，用科学记数法可记作（ ） A238108 元B23.8109 元 C2.381010 元D0.238

20、1011 元 思路点拨：238 亿元=23 800 000 000 【答案】C 8 （2010 山东青岛）由四舍五入法得到的近似数8.8103，下列说法中正确的是（ ） A精确到十分位，有2 个有效数字B精确到个位，有 2 个有效数字 C精确到百位，有 2 个有效数字D精确到千位，有 4 个有效数字 思路点拨：8.8103 =8800 精确到百位，用科学记数法表示的数有效数字个数要看乘号前的。 【答案】C考点四、实数的大小比较 9比较下列每组数的大小：(1)与； (2)与； 9 / 18 (3)与 思路点拨： ； (4)a 与(a0). (1)有理数比较大小：两个负数，绝对值大的反而小.因此比

21、较 化成同分母分数比较大小； (2)无理数比较大小，往往通过平方转化以后进行比较； 和的大小，可将其通分，转 (3)有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较； (4)这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道， 0 没有倒数，1 的倒数等于它本身，这样数轴就被这 3 个数分成了 4 部分，下面就可以分类讨论每种情况. 解：(1)，所以 (2) 因为 所以； (3)， ， 而 所以 与可以很容易进行比较得到 ； ， (4)当 a-1 或 Oa1 时，a； 当-1a1 时，a 当 1 或-1 时，1. ； 总结升华：第(

22、4)题我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把 10 / 18 的值看成是关于 a 的反比例函数， 把 a 的值看成是关于 a 的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小.考 点五、快速准确地进行实数运算 10计算：. 思路点拨：该题是实数的混合运算，包括绝对值，0 指数幂、负整数指数幂，正整数指数幂只要准确 把握各自的意义，就能正确的进行运算 解： 总结升华：本题考点是实数的混合运算.易错点是忘记负整数指数(0 指数)幂的意义， 而使 举一反三： 【变式 1】填空： 1-1-11； ； ；(为正整数) ； ； ； . 思路点拨： (1)根据同号两数、异号两数相加、减

23、、乘、除的法则，先确定符号，再算绝对值. (2)多个因数相乘时，由负因数个数的奇偶先定符号，再将绝对值相乘，乘方时注意负数的偶次方 为正，奇次方为负，先乘方，再乘除. (3)合理运用乘法分配律和使用可使运算显得更加简便. 答案：-4、+1、-1、-5、-6、4096、. 11 / 18 【变式 2】计算： (1) (2) (3) 思路点拨： (1)题可将 结果； 改写成，然后用加法的交换律、结合律将整数和分数分别放在一起便得 (2)题善于使用乘法分配律的顺逆两用，可使运算简便； (3)题注意混合运算的顺序，不能先算 11已知：x，y 是实数， 思路点拨：此题考查的是非负数的性质. 解：即 .答

24、案：(1)11109；(2)-110；(3) ，若 3，则实数 a 的值是. . 两个非负数相加和为 0，则这两个非负数必定同时是0 ，(3)2=0， ， 3 又3， 举一反三：举一反三： . 【变式 1】已知 思路点拨：利用0，0， ，求的值. 0(为自然数)等常见的三种非负数及其性质，分别令它们 12 / 18 为零，得一个三元一次方程组，解得、的值，再代入 答案：-3.考点六、探索与创新 12计算： 后本题得以解决. 思路点拨：近年来，为了突出考察学生创造思维的 水平，中考命题时不仅考查运算的熟练，准确，更注重考查算理的运用和灵活处理运算问题的能力，使运 算更加合理简便的能力、我们从复习

25、数开始，就要加强含字母的式子变形技能的训练及能力的提高 . 解：设 2001，则原式= (把 n2+3n 看作一个整体) =2+31(3)+1 =20012004+1=4010005. 13. 下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第个图形是由个正方形组成的，通过观察可以发现： (1)第四个图形中火柴棒的根数是； (2)第个图形中火柴棒的根数是. 思路点拨： 观察各个图形的根数与图形个数之间的关系， 并由此归纳出第个图形中火柴棒的根 数. 答案：(1)13；(2). 14细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题 (1)请用含有 n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出 10 的长；(

26、3)求出 S122232+102 的值. 思路点拨：近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目，这些问题素材的 选择、文字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识，基本技能，更重点考察了创新意识和能力， 还考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力. 13 / 18 (1)由题意可知，图形满足勾股定理， (2)因为 1= 所以 10= ，2=，3=， (3)S12+ S22+ S32+ S102 15 （2010 山东日照）如果 . =（a，b 为有理数） ，那么等于（ ） （A）2（B）3（C）8（D）10 思路点拨： 【答案】D =6+ 4，64,=10

27、. 16 （2010 安徽蚌埠）若表示不超过的最大整数（如等） ，则 。 思路点拨：= ,= 1，= , = 1， 1， 原式=2000 个 1 相加=2000 【答案】2000 中考题萃：实数中考题萃：实数 一、考试目标一、考试目标： 了解有理数、无理数、实数的概念；会比较实数的大小，知道实数与数轴上的点一一对应，会用科 学记数法表示有理数；理解相反数和绝对值的概念及意义。进一步，对上述知识理解程度的评价既可以用 14 / 18 纯粹数学语言、符号的方式呈现试题，也可以建立在应用知识解决问题的基础之上，即将考查的知识、方 法融于不同的情境之中， 通过解决问题而考查学生对相应知识、 方法的理解

28、情况。 了解乘方与开方的概念， 并理解这两种运算之间的关系。了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解整数指数幂的意义和基本 性质。 二、中考真题： 1 （2010 北京）2 的倒数是（ ）ABC2D 22. （2010 四川内江）的倒数是（ ）A2010B2010C D 3(河北省)(2 分)的相反数是( )A7 B ，则 C D 4. （2010 山东济宁)若的值为 （ ） A1B1C7D7 5. （2010 湖南怀化）若 AB ，则、的大小关系是（ ） DC 6(北京)(4 分)国家游泳中心“水立方”是北京2008 年奥运会场馆之一，它的外 层膜的展开面积 约为 260 000 平方米，

29、将 260 000 用科学记数法表示应为( ) A0.26106 B26104 C2.6106 D2.6105 7.（2010 山东省德州） 德州市2009年实现生产总值 （） 1545.35亿元， 用科学记数法表示应是 （结果保留 3 个有效数字） （ ） A元B元C元D元 8(河北省)(2 分)据 2007 年 5 月 27 日中央电视台“朝闻天下”报道，北京市目前汽车拥有量约为 3 100000 辆则 3 100 000 用科学记数法表示为( ) A0.31107 B31105C3.1105 D3.1106 9. （2010 年连云港）今年 1 季度，连云港市高新技术产业产值突破110 亿元，同比增长 59%数 据 “110 亿”用科学记数可表示为（ ） A1.11010B111010 C1.1109D11109 10. （2010 四川成都）上海“世博会”吸引了来自全球众多国家数以千万的人前来参观据统计， 2010 年 5 月某日参观世博园的人数约为256 000，这一人数用科学记数法表示为（ ） 15 / 18 ABCD 1