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文档简介

1、第九章 数量值函数的积分学,数学能从多方面锻炼人的思维，然而，被动地听讲和单纯地机械性的操作，思维是得不到锻炼的。只有在数学活动中积极地、主动地思维，思维才能得到锻炼。 数学的艺术欧阳绛,严格性对于数学家，就如道德之对于人。 韦伊（法国数学家）,主题词：曲顶柱体体积、二重积分、三重积分、重积分的性质、累次积分、先一后二法、先二后一法、第一类曲线积分，第一类曲面积分,曲顶柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体的体积,二重积分问题的提出：,9.1.1 二重积分的概念,特点：平顶.,9.1 二重积分的概念与性质,步骤如下：,(3)用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积:,曲顶柱体的体积为:,

2、(1)先把曲顶柱体的底区域D分割为n个小区域:，,求平面薄片的质量,(2)取典型小块，将其近似看作均匀薄片，,(3)所有小块质量之和近似等于薄片总质量,(1)将薄片分割成若干小块,区域D分割为n区域:,二重积分的定义,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,对二重积分定义的说明：,二重积分的几何意义,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数有正有负时，是各部分柱体体积的代数和。,物理意义: 平面薄板的质量.,思考题： 根据二重积分的几何意义计算积分,性质,当 为常数时，,性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,（性质1、2 称为积分的线性性质）,9.1.2

3、二重积分的性质,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积，,性质,若在D上,特殊地,则有,（不等式性质）,性质,（二重积分估值不等式）,性质,（二重积分中值定理）,性质8 对称性,(右),D关于X轴对称,函数f(x,y)关于y有奇偶性.,解,解,解,解,解,（1）先画出积分区域的图形,小结,二重积分的定义,二重积分的性质,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（和式的极限）,二重积分的物理意义,（平面薄板的质量）,求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似代替求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取

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