圆、相似三角形、二次函数经典综合题 (1)

1、标准中考数学圆综合复习【1】已知：如图，ABC内接于O，BAC的平分线交BC于D，交O于E，EFBC且交AC延长线于F，连结CE.求证：(1)BAE=CEF；(2)CE2=BDEF.【2】如图，ABC内接于圆，D为BA延长线上一点，AE平分BAC的外角，交BC延长线于E，交圆于F.若AB=8，AC=5，EF=14.求AE、AF的长. 【3】如图，已知AB是O的弦，OB2，B30，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交于O于点D，连接AD (1)弦长AB等于 （结果保留根号）； (2)当D20时，求BOD的度数； (3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与

2、以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程【4】如图，在中，是的中点，以为直径的交的三边，交点分别是点的交点为，且，EADGBFCOM第9题图（1）求证：（2）求的直径的长【5】如图右，已知直线PA交0于A、B两点，AE是0的直径点C为0上一点，且AC平分PAE，过C作CDPA，垂足为D。(1)求证：CD为0的切线；(2)若DC+DA=6，0的直径为l0，求AB的长度.【6】【7】如图，已知O1与O2都过点A，AO1是O2的切线，O1交O1O2于点B，连结AB并延长交O2于点C，连结O2C.（1）求证：O2CO1O2；（2）证明：ABBC=2O2BBO1；（3）如果ABBC=12，O2C=

3、4，求AO1的长.O1O2ABC第24题图OBDECFxyA【8】如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF（1）当AOB=30时，求弧AB的长度； （2）当DE=8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由【9】 如图（18），在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，以为直径的圆过点若点的坐标为，A、B两点的横坐标，是关

4、于的方程的两根（1）求、的值；（2）若平分线所在的直线交轴于点，试求直线对应的一次函数解析式；yx图（3）NBACODMEF(0，2)l（3）过点任作一直线分别交射线、（点除外）于点、则的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由【10】如图l0在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10以AB为直径的O与y轴正半轴交于点C连接BC，AC。CD是O的切线ADCD于点D，tanCAD=，抛物线过A、B、C三点。（1）求证：CAD=CAB；（2）求抛物线的解析式； 判断抛物线的顶点E是否在直线CD上并说明理由：（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形若存在，直接写出点

5、P的坐标(不写求解过程)；若不存在请说明理由【1】证明：(1)EFBC，BCE=CEF. 又BAE=BCE，BAE=CEF.(2)证法一：BADCAD，BAECEF，CADCEF.又ACDF，ADCECF. 又BADEAC，BAEC，ABDAEC，. 由得，CE2BDEF.【2】解：连结BF.AE平分BAC的外角，DAE=CAE. DAE=BAF，CAE=BAF.四边形ACBF是圆内接四边形，ACE=F.ACEAFB.AC=5，AB=8，EF=14，设AE=x，则AF=14x，则有，整理，得x2-14x+40=0.解得x1=4,x2=10，经检验是原方程的解.AE=4,AF=10或AE=10，

6、AF=4.【3】【4】（1）连接 是圆直径，即， 在中，2分（2）是斜边的中点，又由（1）知，又，与相似 又，设，直径【5】 (1)证明：连接OC,点C在0上，0A=OC,OCA=OAC，CDPA，CDA=90，有CAD+DCA=90，AC平分PAE，DAC=CAO。DC0=DCA+ACO=DCA+CAO=DCA+DAC=90。 又点C在O上，OC为0的半径，CD为0的切线(2)解：过0作0FAB，垂足为F，OCA=CDA=OFD=90，四边形OCDF为矩形，0C=FD，OF=CD.DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x，O的直径为10，DF=OC=5，AF=5-x，在RtAOF中，

7、由勾股定理得.即，化简得：解得或。由ADDF，知，故。从而AD=2, AF=5-2=3.OFAB，由垂径定理知，F为AB的中点，AB=2AF=6.【6】【7】解：（1）AO1是O2的切线，O1AAO2 O2AB+BAO1=90又O2A=O2C，O1A=O1B，O2CB=O2AB，O2BC=ABO1=BAO1O2CB+O2BC=O2AB+BAO1=90，O2CO2B，即O2CO1O2O1O2ABCD（2）延长O2O1交O1于点D，连结AD.BD是O1直径，BAD=90又由（1）可知BO2C=90BAD=BO2C，又ABD=O2BCO2BCABDABBC=O2BBD 又BD=2BO1ABBC=2O

8、2BBO1（3）由（2）证可知D=C=O2AB，即D=O2AB，又AO2B=DO2AAO2BDO2AAO22=O2BO2DO2C=O2AO2C2=O2BO2D 又由（2）ABBC=O2BBD 由得，O2C2ABBC= O2B2 即4212=O1B2O2B=2，又O2BBD=ABBC=12BD=6，2AO1=BD=6 AO1=3【8】（1）连结BC,OBDECFxyAA（10，0）, OA=10 ,CA=5,AOB=30,ACB=2AOB=60,弧AB的长=; 4分（2）连结OD,OA是C直径, OBA=90,又AB=BD,OB是AD的垂直平分线,OD=OA=10,在RtODE中，OE=,AE=

9、AOOE=10-6=4,由 AOB=ADE=90-OAB，OEF=DEA，得OEFDEA,即，EF=3；4分（3）设OE=x，当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角OBDFCEAxy形与AOB相似，有ECF=BOA或ECF=OAB，当ECF=BOA时，此时OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=，E1（，0）；当ECF=OAB时，有CE=5-x, AE=10-x，CFAB,有CF=,ECFEAD,即,解得：,E2（，0）;当交点E在点C的右侧时，OBDFCEAxyECFBOA，要使ECF与BAO相似，只能使ECF=BAO，连结BE，BE为RtADE斜边上的中线，BE=AB=BD,BEA=BAO,BEA=ECF,CFBE, ,ECF=BAO, FEC=DEA=Rt， CEFAED, ,而AD=2BE, OBDFCEAxy ,即, 解得, 0（舍去），E3（，0）;当交点E在点O的左侧时，BOA=EOFECF .要使ECF与BAO相似，只能使ECF=BAO连结BE，得BE=AB，BEA=BAO ECF=BEA,CFBE,又ECF=BAO, FEC=DEA=Rt， CEFAED, ，而AD=2BE, , 解得, 0（舍去）,点E在x轴负半轴上, E4（，0）,综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似,此时点E坐标为：（，0）、