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文档简介

1、第三章 一元函数积分学,一元函数积分学包括不定积分和定积分两部分.一元函数积分学在高等数学中占有重要的地位,是整个积分学的基础 .本章主要介绍原函数与不定积分的概念、性质及不定积分的计算方法与技巧; 介绍定积分的概念、性质、微积分基本定理与定积分的计算方法; 微元分析法和定积分的应用.,3.1不定积分的概念及其基本性质,3.1.1原函数与不定积分概念,3.1.2不定积分的基本性质,基本要求,理解原函数、不定积分的概念; 2.掌握不定积分的性质，牢记并能熟练应用不定积分的基本积分公式; 3.了解微分与不定积分关系.,3.1.1原函数与不定积分概念,一、原函数与不定积分的定义,定义1设 为定义在某

2、个区间 上的函数,在该区间 上 ,满足,如果,或,则称 为函数 在区间 上的一个原函数。,例,1.原函数概念,注意 :关于原函数的三个问题： 一是原函数的存在性 二是原函数的个数 三是原函数之间的关系,当 时,是 在 上的原函数.,原函数存在定理：,即连续函数一定有原函数.,若 在区间 内连续，则 在区间 内,定理1,必定存在原函数。,定理2 设函数 和 定义在同一区间 内,则,（1）若 ，则对于任意常数 ，,包括了 的所有原函数.,(2),证 (1),对于任意常数C,是 在区间 内的原函数.,(2)设 为 在区间 内的任一个原函数,2.不定积分概念,定义2 函数 在区间 内的全体原函数称为,

3、在 内的不定积分, 记为,.,积分号;,被积表达式;,被积函数;,积分变量.,即 若,则,其中C为任意常数,称为积分常数.,例1 求,解,.,例2 求,解,且当 时 ,求物体的运动方程 .,例3已知物体在时刻 的运动速度为,解 由导数的物理意义知,即 是 的原函数,由 得,.所求运动方程为,例4 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,即,二、 原函数与不定积分的几何意义,由,不定积分 在几何上表示积分曲线族 .,积分曲线 沿着 轴方向从 到 连续地,平行移动所生成的一族曲线.,它由,0,0,1,三、基本积分表,(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10),(11),(12),例5 求,.,解,提示 当被积函数是用根式或分式表示时,应先,把它们化为 的形式,再用基本积分公式求之.,例6求,.,解,提示 若基本积分表中没有这种类型的积分，可先将被积函数变形化为表中类型的积分后再求之.,例7 求,解,3.1.2不定积分的基本性质,由不定积分的定义，可以直接得到下列性质:,性质1,或,即如果不考虑积分常数C, 积分号 与微分号,重叠作用时,不论先后次序,都恰好相互抵消.,性质2,其中 为常数.,说明微分运算与求不定

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