2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数的几何意义学案 新人教A版选修2-2

1、1.1.3导函数的几何意义预习教科书P68，考虑下面的问题并完成(1)导函数的几何意义是什么？(2)导函数的概念是什么？ 你是怎样寻求导函数的？(3)怎样求出了一点曲线的切线方程式？1 .导函数的几何意义(1)切线的概念：如图所示，对于分割线PPn，当点Pn接近点p时，分割线PPn接近所决定的位置，将该所决定的位置的直线PT称为点p处的切线.(2)导函数的几何意义：函数f(x )在x=x0时的导函数是切线PT的斜率k，即k=f(x0 )。2 .导函数的概念(1)定义： x变化时，f(x )是x的函数，将其称为f(x )的导函数(简称为导函数)。(2)记数法： f(x )或y，即f(x )=y=

2、。“点睛”曲线的切线不一定只是与曲线的一个升交点，可以是多个，也可以是无限的。 曲线和共同点只有一条的直线也不一定是曲线的切线判断(正确的打击、错误的打击)(1)导函数f(x )的定义域与函数f(x )的定义域相同。直线与曲线相切，直线与已知的曲线只有一个共同点。函数f(x)=0是没有导函数的。答案： 1、2、3假设f(x0)=0，则在曲线y=f(x )的点(x0，f(x0) )处的切线()与a.b.x轴平行或不重叠与垂直于c.x轴的d.x轴斜交回答： b在已知曲线y=f(x )的点(1，f(1) )处的切线方程式是2x-y 2=0，其中f(1)=()A.4 B.-4C.-2 D.2战斗机回答

3、： d4 .抛物线y2=x轴和x轴、y轴只有一个共同点，在x轴和y轴这两条直线中，只有_是其切线，_ _ _ _ _不是其切线回答： y轴x轴求曲线的切线方程已知曲线C:y=x3，求出曲线c上的横坐标为2的点的切线方程式。如果将x=2代入解曲线c的方程式，则y=4，接点p (2，4 )。y| x=2=4 2x (x)2=4。k=y| x=2=4。曲线在点p (2，4 )的切线方程式是y-4=4(x-2 )，即，4x-y-4=0。1 .通过曲线上的一点求切线方程式的3个步骤2 .求曲线y=f(x )的外点P(x1，y1)的切线方程式的6个步骤(1)设定接点(x0，f(x0) )。(2)利用设定接

4、点求出斜率k=f(x0)=。用(f(x0，f(x0) )、P(x1，y1)表示斜率。(4)根据斜率相等求出x0，然后求出斜率k。由(5)点斜式写切线方程式(6)使切线方程式成为一般式。活用通过点(1，-1)并与曲线y=x3-2x相切的直线方程式是()A.x-y-2=0或5x 4y-1=0B.x-y-2=0C.x-y-2=0或4x 5y 1=0D.x-y 2=0解析：选择a明显的点(1，-1)在曲线y=x3-2x上，如果接点是(1，-1)，则f(1)=(x)2 3x 1=1，切线方程式是y-(-1)=1(x-1 )，即，x-y-2=0。如果接点不是(1，-1)，则将接点设为(x0，y0)，k=x

5、 x0-1，从导函数的几何意义上也可以看出k=f(x0)=3x-2，x x0-1=3x-2，2x-x0-1=0，x01，x0=-。k=x x0-1=-，切线方程式是y-(-1)=-(x-1 )，即5x 4y-1=0，因此选择a。求切点坐标已知抛物线y=2x2 1分别满足以下条件，求出接点的坐标。(1)切线的倾斜角为45。(2)切线平行直线4x-y-2=0。(3)切线与直线x 8y-3=0垂直。解设接点坐标为(x0，y0)时二十一-二十一-一=四十八二。40 2x，以及，在x0的情况下，4x0，即f(x0)=4x 0。(1)抛物线切线的倾斜角为45斜率是tan 45=1。即f(x0)=4x0=1

6、，x0=、切点的坐标是(2)抛物线的切线与直线4x-y-2=0平行，k=4，即f(x0)=4x0=4，x0=1，切点坐标是(1，3 )。(3)抛物线的切线与直线x 8y-3=0垂直，k=-1，即k=8，因此，f(x0)=4x0=8，x0=2，接点坐标为(2，9 )。求出接点坐标可以按照以下步骤进行(1)设定接点坐标(2)用导函数或倾斜公式求出倾斜(3)使用斜率关系的列方程式，求出接点的横坐标(4)将横坐标代入曲线或切线方程式，求出接点纵坐标。活用直线l:y=x a(a0 )与曲线C:y=x3-x2 1相接时，a的值为分析：将直线l和曲线c的切点设为(x0，y0)，因为是y=3x2-2x，y|x

7、=x0=3x-2x0=1，x0=1或x0=-，在x0=1的情况下，y0=x-x 1=1，另外，在(x0，y0)直线y=x a上，将x0=1、y0=1代入，截断a=0和已知条件的不符点。在x0=-的情况下，y0=3-2 1=、接点坐标代入直线y=x a，成为a=。答案：一级的学业水平达到了1 .下面的说法正确的是()如果不存在a.f(x0)，则曲线y=f(x )在点(x0，f(x0) )上没有切线b .如果曲线y=f(x )与点(x0，f(x0) )相切，则f(x0)必定存在如果c.f(x0)不存在，则在曲线y=f(x )的点(x0，f(x0) )处的切线梯度不存在如果曲线y=f(x )在点(x

8、0，f(x0) )处没有切线，则可能存在f(x0)分析：选择cf(x0)的几何意义是曲线y=f(x )的点(x0，f(x0) )处的切线的斜率，如果切线垂直于x轴，则不存在切线的斜率，但是存在切线。2 .曲线y=点处的切线斜率为()A.2 B.-2C.4 D.-4解析：选择d的是y=-。在该曲线的点处的切线斜率是k=y| x=-4。在曲线y=x3-2的点处的切线的倾斜角是()A.1 B.C.D.-解析： by=x2，切线的斜率k=y| x=1=1。切线的倾斜角为，请选择b4 .如果曲线y=ax2在点(1，a )处的切线平行于直线2x-y-6=0，则a等于()甲级联赛。C.- D.-1分析： a

9、-y| x=1=li=(2a ax)=2a，2a=2，a=1。5 .过正弦曲线在y=sin x上的点的切线和y=sin x的图像之间的升交点的数量是()A.0个B.1个c .两个d .无数个解析：选择d是题意，y=f(x)=sin x，f=。在x0时，cos x1，f=0。曲线y=sin x的切线方程式是y=1，有y=sin x的图像和无数的升交点。在点M(1，f(1) )处的已知函数y=f(x )的图像的切线方程式是y=x 2，其中f (1) f(1)=_ _ .分析：从导函数的几何意义得到f(1)=从点m在切线上得到f(1)=1 2=，得到f (1) f(1)=3。回答： 37 .假设已知

10、曲线f(x)=、g(x)=通过两条曲线的升交点的两条曲线的切线，则曲线f(x )在升交点中的切线方程为解析：由，得两曲线的升交点坐标为(1，1 )。f(x)=、f(x)=、y=f(x )的点(1，1 )处的切线方程式是y-1=(x-1 )。即x-2y 1=0，答案： x-2y 1=08 .如果曲线y=x2-3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为分析：设f(x)=y=x2-3x，接点坐标为(x0，y0)，f(x0)=因为=2x0-3=1所以x0=2，y0=x-3x0=4-6=-2，接点坐标为(2，-2)。回答： (2，-2)9 .求从抛物线上的点到直线的最短距离，可知抛物线上的y=x2，直线x-

11、y-2=0。解：从对应于与题意平行于直线x-y-2=0的抛物线y=x2的切线的接点到直线x-y-2=0的距离最短，设接点坐标为(x0，x )，则y| x=x0=。从切点到直线x-y-2=0的距离d=为，从抛物线上的点到直线x-y-2=0的最短距离为。10 .通知直线l:y=4x a和曲线C:y=x3-2x2 3相接，求出a的值和接点的坐标。解：如果直线l和曲线c与点P(x0，y0)相接，=(x)2 (3x0-2)x 3x-4x0。在x0的情况下，3x-4x0、即f(x0)=3x-4x0，从导函数的几何意义来看，3x-4x0=4，求解x0=-或x0=2。接点的坐标为或(2，3 )接点为时=有4

12、a，a=，接点为(2，3 )时，3=42 a，a=-5，a=时，切点为a=-5时，接点为(2，3 )。二级的考试能力已经达到了如果已知的y=f(x )的图像如图所示，则f(xa )与f(XB )的大小关系为()a.f(xa)f(xb )b.f(xa)0，对于任意的实数x，如果有f(x)0，则的最小值为解析：根据导函数的定义，f(0)=(=ax b )=b另外，对于任意的实数x，f(x)0，所以AC所以c0所以=2。回答： 27 .求出曲线y=和y=x2的这些升交点中的两条切线和x轴包围的三角形的面积。解：联合两个曲线方程即，升交点坐标为(1，1 )。曲线y=点(1，1 )处的切线的倾斜度f(1)=-1，在曲线y=的点(1，1 )处的切线方程式是y-1=-1(x-1 )，即y=-x 2。同样，曲线y=x2的点(1，1 )处的切线的倾斜度f(1)=(2 x)=2。因此，曲线y=x2的点(1，1 )处的切线方程式成为由y-1=2(x-1 )、即y=2x-1、两条切线y=-x 2、y=2x-1和x轴包围的图形将过