高阶差分方程.ppt

1、2020/7/31，刘亚娟，经济与管理学院金融与投资系，1，第6章，高阶差分方程，2020/7/31，刘亚娟，经济与管理学院金融与投资系，2，在离散时间分析中，这可能发生：T期的经济变量，如yt，不仅取决于yt-1，还取决于yt-2。这导致了二阶差分方程。严格地说，二阶差分方程是包含表达式2yt的方程，但是不高于二阶差分。2yt被读取为yt的二阶差。符号2是离散时间中符号d2ydt2的对应物，这意味着“取二阶差”如下：2yt=(yt)=(YT 1-YT)=(YT 2-YT 1)-(YT 1-YT)=(YT 2-2YT 1YT，2020/7/31因为像2yt和YT这样的表达式很难写，所以我们将二

2、阶差分方程重新定义为包含变量的两个时间延迟周期的方程。类似地，三阶差分方程是具有三级延迟的方程；等等。我们首先关注二阶差分方程的解，然后在后面的章节中把它推广到高阶差分方程。为了控制讨论的范围，在本章中，我们只讨论常系数线性差分方程。然而，常数项和变量项都被研究。2020/7/31，刘亚娟，经济管理学院金融与投资系，4。常系数常项二阶线性差分方程。一个简单的二阶差分方程的形式是yt 2 a1yt 1 a2y=c，它是线性的和非齐次的，具有常数系数(a1，a2)和常数项c。二阶差分方程的通解由余函数和特殊积分组成：ytyc yp。2020/7/31，刘亚娟，经济管理学院金融与投资系，5。特别积分

3、为、2020/7/31，刘亚娟，经济管理学院金融与投资系，6。为了找到余函数，我们必须讨论简化方程yt 2 a1yt 1 a2y0。求解一阶差分方程的经验告诉我们，Abt在这个方程中。因此，我们首先尝试ytAbt形式的解决方案，这自然意味着YTABt 1 aBt 1，以此类推。我们的任务是确定a和b的值。将暂定解代入简化方程，方程变为Abt 2 a1Abt 1 a2Abt0或在消除(非零)公因式Abt后，有b2a1a20，2020/7/31，刘亚娟，7，经济管理学院金融与投资系。该二阶差分方程的特征方程与二阶微分方程的特征方程相似。它有两个特征根：对于求解Abt中的B，上述每个根都是可以接受的

4、。事实上，b1和b2都应该出现在齐次差分方程的通解中，就像在微分方程中一样，这个通解必须包括两个线性独立的部分，每个部分都有自己的任意乘积常数。与微分方程特征根的三种情况一样，差分方程的特征根也有三种情况：两个不相等的实根，两个相等的实根和一对共轭复根。2020/7/31，刘亚娟，经济管理学院金融与投资系，8，第一种情况(不同的实根):b1和b2在a124a2时是不同的实根。在这种情况下，b1t和b2t是线性独立的，余函数可以简单地写成b1t和b2t的线性组合，即yc=A1b1t A2b2t。2020/7/31，刘亚娟，经济管理学院金融与投资系，9，第二种情况(重实根):当a124a2时，特征

5、根为重根：b(b1b2)-a12。现在，如果余函数以不同的实数根的形式表示，这两个部分将合并成一个项：a1b1ta2bit (a1a2) bta3bt。此公式无效，因为现在缺少一个常数。为了弥补缺失的部分(我们记得这部分应该与A3bt项线性无关)，还需要用bt乘以变量T的旧方法。通过这种方式，这个新项目可以采用A4tbt的形式。显而易见，它与A3bt项没有线性关系，因为我们永远也不能把一个常数加到A3bt项上得到一个4tb。像A3bt一样，A4tbt可以用作简化方程的解，这一事实很容易验证：通过将yt=A4tbt和yt 1=A4(t 1)bt 1代入简化方程，我们可以看出该方程是一个恒等式。因

6、此，重实根情况下的余函数是YC=A3bta4tbt，2020年7月31日，刘亚娟，经济管理学院金融与投资系，10，例如：求下式(1)的通解；(2)；(3)，2020/7/31，刘亚娟，经济管理学院金融与投资系，11，解：(1)方程的特殊积分为：方程的特征方程为b2-10b 16=0，所以特征根为：因此，方程的通解为y0=10，Y1=0。刘亚娟，经济管理学院金融与投资系，12，设t=0，t=1:根据初始条件，设y0=10，y1=36，然后A1A2 2=102A1 A22=36，用联立方程求解A15和A2=3，最后代入通解，得到特解：2020/7/。(2)方程的特殊积分是：方程的特征方程是b2-6

7、b 5=0，所以特征根是：所以，方程的通解是，2020/7/31，刘亚娟，经济管理学院金融与投资系，14，(3)方程的特殊积分是：方程的特征方程是：2020/7/31，刘亚娟，经济管理学院金融与投资系，15，第三种情况(复数具体地说，根是hvi的形式，其中，因此，余函数变成yc=a1 B1 ta2 b2t=a1(h VI)ta2(h-VI)t。上述公式表明，解释YC不容易。幸运的是，由于迪尔莫夫定理，这个余函数可以很容易地转换成三角函数，我们知道如何解释三角函数。具体如下。2020/7/31，刘亚娟，经济与管理学院金融与投资系，16，如果v=Rsin，h=Rcos，共轭复数可转换如下：hviR

8、cosRisinR(cosisin)。此外，欧拉关系(即ei=cos isin，e-i=cos-isin)可以改写为hviRei，相应地(h vi)n(Rei)n=Rnein，类似地，(h-VI)n(Re-I)n=Ree in，所以(HVI) NR(科斯尼辛)根据蒂莫弗定理，我们可以写出(HVI) tr(科斯尼辛)TRT(科斯蒂辛)，2020/7/31，刘亚娟，金融与投资系，学校满足条件，2020/7/31，刘亚娟，经济管理学院金融与投资系，18。因此，余函数可以转换如下：YC=A1RT(成本isint) A2RT(成本isint) RT (A1A2)成本(A1-A2) isint) RT (

9、A5成本A6sint)首先，成本和Sint这两个表达式取代了cosvt和sinvt。其次，产品因素Rt(基于R的指数)取代了自然指数eht。总之，我们已经从笛卡儿坐标系的复数根(H和V)转换到极坐标系统(R和V)。一旦h和v已知，r和的值可以相应地确定，或者可以直接由参数a1和a2确定。2020/7/31，刘亚娟，经济管理学院金融与投资系，19，示例：找到yt 2 1/4yt=5的一般解。这里，系数a10和a21/4是a124a2的复数根的例子。根的实部和虚部分别为h0和v1/2。可以得到，由于该值可以满足两个方程，/2，/2020/7/31，和刘亚娟，20，经济管理学院金融与投资系，因此，余

10、函数为yp，所以我们尝试求解完整方程中的常值ypk。这就产生了k4，所以yp4，一般解可以写成：2020/7/31，刘亚娟，经济管理学院金融与投资系，21，时间路径的收敛性与一阶差分方程中的相同。时间路径yt的收敛性仅取决于当T时yc是否趋近于零。因此，我们在7个关于T的区域分布图中所知道的关于bt类型的各种图仍然可以应用，尽管这里我们必须检验两个特征根而不是一个。2020/7/31，刘亚娟，经济管理学院金融与投资系，22，收敛的时间路径，首先，检查不同的真正根源：b1b2。如果b11，b21，共函数中的两个项A1b1t和A2b2t将被放大，那么yc一定是发散的。相反，如果b11和b21，当t

11、无限增加时，yc中的两个项将收敛到零，yc也将收敛到零。但是如果b11和b21呢？在这种中间情况下，很明显A2b2t项将“消失”，而另一项将越来越偏离零值。因此，A1b1t最终将控制局面，使路径发散。2020/7/31，刘亚娟，经济管理学院金融与投资系，23，我们称之为绝对值较大的根为强根。从这个角度来看，实际上决定时间路径的特征，至少是关于它的收敛和发散，是有很强的根源的。因此，我们可以这样说；不管初始条件如何，当且仅当强根的绝对值小于1时，时间路径将收敛。然而，应该注意的是，虽然收敛最终只取决于强根，但非强根也会对时间路径产生一定的影响，至少在初始阶段是这样。因此，yt的精确图形仍然依赖于

12、两个根。2020/7/31，刘亚娟，经济管理学院金融与投资系，24。其次，研究了余数函数包含项A3bt和项A4tbt时的多根情况。我们对前者很熟悉，但我们仍然需要解释后者(它包含一个产品因素)。如果b1，bt项将被放大，乘积项T将随着T的增加而进一步增强放大。另一方面，如果b1，bt部分(当T增加时，M趋于零)和T部分反方向变化，即T值将抵消而不是增强bt。那么，哪种力量更强大？答案是，bt的衰减功率总是超过t的放大功率。因此，在多根的情况下，收敛的基本要求是根的绝对值小于1。2020/7/31，刘亚娟，经济管理学院金融与投资系，25，例如，解是：其特征根分别为2和8，瞬时均衡值为2。因为强根

13、的绝对值大于1，所以时间路径分叉。解决办法是它的特征根是1和5，并且有一个移动平衡3t。因为强根的绝对值大于1，所以时间路径也会发散。2020/7/31，刘亚娟，经济管理学院金融与投资系，26岁，现在我们将调查复数根的情况。从余函数ycRt(A5cost A6sint)的一般形式可知，括号中的表达式，像连续时间状态下的表达式一样，将产生一个周期波动形式。但是在这里，变量t只取整数值0，1，2，我们只能捕捉和利用三角函数图中的一个子集。在每个这样的点上，y值在一个完整的周期内有效，直到到达下一个相关点。2020/7/31，经济管理学院金融与投资系刘亚娟，2020/7/31，27，经济管理学院金融

14、与投资系刘亚娟，28，如图17.1所示，生成的路径既不是通常的振荡形式(在近期，yp值不上下交替)，也不是通常的波动形式。就收敛性而言，虽然决定性因素实际上是Rt项，但它和连续时间状态下的eht项一样，将决定T增加时阶跃波动是增强还是减弱。在这种情况下，当也只有当R1时，波动才能逐渐减小。因为R定义为共轭复数根的绝对值，所以收敛条件是特征根的绝对值小于1。2020/7/31，刘亚娟，经济管理学院金融与投资系，29，总而言之，对于所有三种情况的特征根，无论初始条件是什么，当且仅当每个根的绝对值小于L时，时间路径将收敛到(稳定或移动的)瞬时均衡。示例：yt 2 1/4yt=5和yt 2-4yt 1

15、 16yt=0的时间路径是否收敛。这里，yt 2 1/4yt=5的一般解是R1/2，因此时间路径将收敛到稳定平衡(4)。2020/7/31，刘亚娟，经济管理学院金融与投资系，30，yt 2-4yt 1 16yt=0。一般的解决方法是存在R4，所以时间路径不再收敛于平衡(0)。2020/7/31，刘亚娟，经济管理学院金融与投资系，31，家庭作业，1。写出下列每个方程的特征方程，找出特征根：(1)yt2-yt11/2YT=2；(2)yt 2 1/2yt 1-1/2yt=5；(3)yt 2-4yt 1 4yt=7；(4)yt 2-2yt 1 3yt=4 2。对于上述问题中的每个差分方程，确定时间路径

16、是否包含振荡或阶跃波动，以及时间路径是否根据特征根而扩大。3.找出等式的特殊积分它们代表静止平衡还是运动平衡？2020/7/31，刘亚娟，经济管理学院金融与投资系，32，萨缪尔森乘数-加速相互作用模型，我们引用萨缪尔森教授的经典相互作用模型作为例子来描述二阶差分方程在经济学中的应用。该模型探讨了加速原理和基思乘数共同作用时收入决策的动态过程。此外，该模型还证明了只有乘数和加速度之间的相互作用才能产生内生的周期性波动。2020/7/31，刘亚娟，经济与管理学院金融与投资系，33，结构，假设国民收入Yt由三个支出流组成：消费CT；投资于它；政府支出Gt。Ct被认为是以前收入的Yt-1的函数，而不是

17、当前收入的函数。为简单起见，假设Ct与Yt-1严格成比例。作为一个“原因”变量，投资是消费者当前消费倾向的函数。当然，正是通过这种诱导投资，加速原理才能进入模型。具体来说，我们假设它与消费增量Ct-1Ct-Ct-1成固定比例。第三支出流Gt可以被视为一个外生变量。事实上，我们将假设它是一个常数，并将其表示为G0。2020/7/31，刘亚娟，经济管理学院金融与投资系，34，这些假设可以转化为以下等式：代表边际消费倾向和加速度数(加速度系数的缩写)。由于模型中包含了诱导投资，我们得到了一个描述乘数和加速度相互作用的二阶差分方程。2020/7/31，刘亚娟，经济与管理学院金融与投资系，35，利用第二个方程，我们可以表示如下：将这个方程和Ct代入第一个方程并进行排序，模型可以简化为一个方程或等效(将下标前移两个周期)，这是一个二阶常系数常项线性